本章主要內容與重點頻率特性典型環節的頻率特性控制系統開環頻率特性作圖頻率穩定性判據閉環頻率特性系統時域指標估算第四章線性系統頻率分析法本章主要內容本章介紹了控制系統頻率分析法的相關概念和原理。包括頻率特性的基本概念和定義、開環頻率特性的極坐標圖表示法、波特圖表示法、控制系統穩定性的頻率特性分析法及其應用、控制系統閉環頻率特性、閉環頻率特性與時域性能的關系等。本章重點通過本章學習，應重點掌握頻率特性的概念與性質、典型環節及系統開環頻率特性的極坐標圖和波特圖的繪制和分析方法、控制系統穩定性的頻域分析法、系統穩定裕度的概念和求法、閉環頻率特性的求法、閉環系統性能指標的頻域分析法等。頻率分析法是應用頻率特性研究線性控制系統的一種經典方法，它有以下特點：(1)應用奈奎斯特穩定判據，可以根據系統的開環頻率特性研究閉環系統的穩定性，而不必解出特征根。(2)對于二階系統，頻率特性與過渡過程性能指標之間有確定的對應關系，對于高階系統，兩者也存在近似關系；因為頻率特性與系統的參數和結構密切相關，故可以用研究頻率特性的方法，把系統參數和結構的變化與過渡過程性能指標聯系起來。(3)頻率特性有明確的物理意義，很多元部件的這一特性都可以用實驗方法確定。這對于難以從分析其物理規律著手來列寫微分方程的元部件和系統，有很大的實際意義。(4)頻率特性不僅適用于線性定常系統的分析研究，還可以推廣應用于某些非線性控制系統。(5)當系統在某些頻率范圍內存在嚴重的噪聲時，應用頻率分析法可以設計出能滿意地抑制這些噪聲的系統。4-1頻率特性4-1-1基本概念由例2-1(P13)可知，該電路滿足的微分方程為其中，T=RC。對應的傳遞函數為引例4-1(P153)RC網絡如圖所示若網絡的輸入為單位正弦信號，即則網絡的輸出為經拉氏反變換，可得其中，第一項為輸出信號的動態分量，第二項為穩態分量。當時間t→∞時，第一項趨于零。于是由上式可知，網絡的穩態輸出仍然是正弦信號，其頻率和輸入信號的頻率相同，幅值是輸入的倍，相位比輸入滯后arctanT。顯然，和-arctanT皆為輸入信號頻率的函數，前者稱為RC網絡的幅頻特性，后者稱為RC網絡的相頻特性。下表列出了這兩個特性的計算數據根據上表數據可以繪制出如圖所示幅頻和相頻曲線。由曲線可見，當輸入信號頻率較低時，輸出和輸入的幅值幾乎相等，相位滯后不大，當增大，輸出的幅值減小，相位滯后增大，當→∞時，輸出幅值為零，相位滯后90。以上結論和分析網絡中電容的阻抗隨頻率變化而得出的結論是一致的(參見電路分析教程)。網絡穩態輸出表達式中幅值和幅角在復平面上構成一個完整的向量，有故函數完整地描述了網絡在正弦輸入信號作用下，穩態輸出時信號幅值和幅角隨正弦輸入信號頻率變化的規律。就稱為網絡的頻率特性。將頻率特性和網絡的傳遞函數表達式可知，只要將傳遞函數中的s以j置換，就得到頻率特性，即以上的分析結果和電路理論的正弦穩態分析結果相同。事實上，用復數符號法寫出RC網絡的穩態正弦輸出為于是，其輸出的穩態正弦信號與輸入正弦信號之比為上式寫成幅值和幅角表達式為則RC網絡的幅頻特性為相頻特性為可以證明，從RC網絡得到的這一重要結論，對于任何穩定的線性定常系統都是正確的。設系統的傳遞函數為則是自變量為頻率的復變函數，因此將其稱為系統的頻率特性。由于G(j)的實部和虛部都是的函數，故可以表為其中，P()=Re[G(j)]----G(j)的實部；Q()=Im[G(j)]----G(j)的虛部。P()稱為G(j)的實頻特性；Q()稱為G(j)的虛頻特性。其中，A()=|G(j)|----G(j)的幅值(即幅頻特性)；∠()=arg[G(j)]----G(jω)的幅角(即相頻特性)。另外，也可以用G(j)的模(幅值)和幅角來表示為在上式中，幅值A()是頻率的函數，隨的變化而變化，因此稱為G(j)的幅頻特性；幅角()也是頻率的函數，隨的不同有不同的相位，因此稱為G(j)的相頻特性。這樣，以復變函數G(j)表示的頻率特性又常常以A()和()來表示。當線性系統輸入一個正弦信號sint時，它的穩態輸出響應也是一個同頻率的正弦信號，如下圖所示。與引例4-1類似，A()和()的物理意義在于：穩態輸出的幅值是輸入的A()倍，而與輸入的相位差為()，即此時系統的穩態輸出為需要指出的是，對于物理上可實現的系統，其傳遞函數的分母多項式階次n總是大于或等于分子多項式的階次m，即nm。因此，不可能出現當→∞時系統輸出的幅值也趨于無窮大的情況。G(j)的幅頻、相頻特性和實頻、虛頻特性之間具有下列關系：4-1-2頻率特性的定義從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統的穩態正弦輸出信號的復數符號與輸入正弦信號的復數符號之比，即但是，為了研究頻率特性更為廣泛的內容，必須從信號與系統的關系出發，研究其更為深刻的實質含義。因此，可以用時間信號在變換域中的表示來確定頻率特性定義。根據高等數學教程的有關內容，任何一個時間函數f(t)，只要其滿足狄里赫萊條件，即則其付氏變換為存在。對應的付氏反變換為由于積分運算是無窮小求和運算，因此付氏變換的物理意義在于：時域信號f(t)可以分解為頻譜分量無窮多，分量幅值無窮小的頻譜分量的線性組合。將付氏變換和拉氏變換(參見P21(2-41)式)對比可知，如果t<0時，f(t)=0,用j代替s，則拉氏變換就轉變成付氏變換。因此，付氏變換是拉氏變換的一種特殊情況。然而，付氏變換的要求卻比拉氏變換的要求嚴格多。例如，階躍函數的付氏變換就不存在。現在來定義線性定常系統的頻率特性。已知線性定常系統的傳遞函數G(s)，輸入信號r(t)，其付氏變換存在為R(j)系統的輸出信號為c(t)，其付氏變換為C(j)。由于只考慮輸入信號頻譜的穩態正弦響應，令s=j，則系統的傳遞函數G(s)成為G(j)。定義線性定常系統的頻率特性為輸出信號的付氏變換C(j)與輸入信號的付氏變換R(j)之比，即將線性定常系統的頻率特性表達式與傳遞函數表達式對比可知，二者之間存在以下緊密關系由此可以得出以下重要結論：頻率特性和傳遞函數以及微分方程一樣，也表征了系統的運動規律，這就是頻率分析法能夠從頻率特性出發研究系統的理論根據。上述三種系統描述法的關系可用右圖說明。4-1-3頻率特性的數學表示及作圖1、極坐標圖通常也稱為幅相圖、奈奎斯特(Nyquist)圖。根據G(j)的定義，用實頻特性和虛頻特性表示有也可用矢量式的幅值與相位表示，有當頻率 從∞變到+∞時，G(j)在由實軸與虛軸構成的復平面上越過的軌跡就稱為G(j)的極坐標圖，如圖所示。由于實頻特性P()是頻率的偶函數，即P()=P()虛頻特性Q()是頻率的奇函數，即Q()=Q()因此，當頻率從∞→0及從0→+∞時，G(j)正負頻率的曲線是關于實軸對稱的。通常只畫出正頻率曲線即可。如上頁圖中的實線所示。同理，幅頻特性A()是的偶函數，而相頻特性()則是的奇函數。G(j)的極坐標圖繪制時需要取的增量逐點作出，因此不便于手工作圖。一般情況下，根據作圖原理，可以粗略地繪制出極坐標圖的草圖。G(j)的極坐標圖通常用于頻域穩定性分析中。

2、對數坐標圖通常也稱為波德(Bode)圖、對數頻率特性圖。它具有方便實用的特點，因而被廣泛地應用于控制系統的分析和設計中。波德圖是根據頻率特性的矢量表達式繪制的。它用兩幅圖分別表示G(j)的幅值和相位的變化規律。通常，A()與()的作圖不方便，因此分別將它們變換如下。

對數幅頻特性L()

將幅頻特性的函數坐標軸A()軸與自變量坐標軸軸分別取對數作為新的坐標軸，如圖所示。圖中的縱坐標為刻度單位為Bell(貝爾)，如圖所示縱坐標右邊的讀數是貝爾等分刻度。由于貝爾的單位值較大，通常令1貝爾=20分貝爾(decBell,縮寫成dB，簡稱分貝)，則上式成為這時，如圖所示縱坐標左邊的讀數是20dB等分刻度。(dB)圖中的橫坐標經對數變換后成為lg，為等分刻度。如圖橫坐標上邊所示是以lg作等分標度的。為了使用方便，如圖橫坐標下邊所示，在標度時仍然標以原來的頻率值。因此，刻度值就成為每十倍頻等分的了，這樣十倍頻刻度之內為對數值刻度。經過對數變換之后的幅頻特性L()稱為對數幅頻特性。如果把圖上P1定為=1，則=10對應的P2與P1的距離為一個單位長度，與=100對應的P3與P2的距離也是一個單位長度…故每變化十倍(稱為一個十倍頻程)，橫坐標的間隔距離為一個單位長度?？梢姡瑱M坐標對而言是不均勻的，但對lg來講卻是均勻的。每個十倍頻程中，與lg的對應關系如表所示。由表可知，頻率每變化一倍(稱為一個倍頻程)，間隔距離為0.301單位長度。一個十倍頻程的距離為3.32個倍頻程的的距離。

對數相頻特性()

原相頻特性()縱坐標不作任何變換，以角度等分值來標度。

為了與對數幅頻特性L()的橫坐標相一致，將橫坐標作對數變換為lg，其刻度說明同前。經過這樣處理后的相頻特性()稱為對數相頻特性，如圖所示。對數幅頻特性L()和對數相頻特性()兩條曲線統稱為對數頻率特性(即波德圖)。引例4-1的對數頻率特性如圖所示。

對數頻率特性的優點(1)可以雙重展寬頻帶由于橫坐標軸作了對數變換，一方面，將高頻分段各十倍頻程拉近，展寬了可視頻帶寬度。另一方面，又將低頻分段的各十倍頻程分得很細，展寬了表示頻帶寬度，便于細致觀察幅值、幅角隨頻率變化的程度。(2)可以采用簡便方法(即漸近線)繪制近似的對數幅頻曲線。引例4-1的L()曲線是由兩條漸近線構成，僅在兩條漸近線的交點處產生較小誤差。(3)可以將幅值乘除化為加減，便于疊加作圖控制系統的頻率特性一般為因子相乘，如其對數幅頻特性為其對數相頻特性為由于L()和()分別均為各因子特性的疊加，因而作圖方便。4-2典型環節的頻率特性4-2-1比例環節頻率特性為

極坐標圖幅頻特性為相頻特性為極坐標圖如圖所示。

波德圖

在波德圖上的兩條曲線分別為水平線，如圖所示。對數幅頻特性為對數相頻特性為4-2-2積分環節

頻率特性為

極坐標圖

當ω從0+→+∞，其幅角恒為90，幅值的大小與成反比。因此，曲線在負虛軸上，如圖所示。幅頻特性為相頻特性為

波德圖從而對數幅頻特性曲線為每十倍頻程衰減20dB的一條斜線。積分環節的對數頻率特性如圖所示。對數幅頻特性為對數相頻特性為4-2-3微分環節頻率特性為極坐標圖當ω從0+→+∞，其幅角恒為+90，幅值的大小與ω成正比。因此，曲線在正虛軸上，與積分環節的極坐標圖對稱，如圖所示。幅頻特性為

相頻特性為從而對數幅頻特性曲線為每十倍頻程增加20dB的一條斜線。波德圖

微分環節的對數頻率特性如圖所示。

對數幅頻特性為對數相頻特性為4-2-4慣性環節頻率特性為

極坐標圖慣性環節的極坐標圖如圖所示。可見，慣性環節的極坐標圖為下半圓。幅頻特性為相頻特性為波德圖對數幅頻特性下頁如圖所示。如果徒手近似作圖，可以采用漸近線。由于所以，當趨于零時，是一條水平漸近線。由于所以，當趨于無窮時，是一條每十倍頻程衰減20dB的斜漸近線(即斜率為-20dB/dec)。對數幅頻特性為兩條漸近線的交點處的頻率稱為轉折頻率，其坐標為對數相頻特性為它有三個特征角如下：(1)→0時，()→0(2)=1/T時，()→45(3)→∞時，()→90由于對于所有的頻率有故相頻特性()是單調減的，而且以轉折頻率為中心，兩邊的角度是反對稱的。對數相頻特性曲線如圖所示。從L()的曲線上可以看出，用漸近線作圖是存在近似誤差的，最大誤差發生在轉折頻率處。將=1/T代入L()的表達式，可算出最大誤差為因為最大誤差兩端的誤差是對稱的，故可以作出誤差修正曲線如圖所示，來修正漸近線作圖的誤差。從圖中可以看出，在轉折頻率處，最大誤差為3.01dB，兩端十倍頻程處的誤差降到0.04dB。所以，兩端十倍頻程之外的誤差可以忽略不計。4-2-5一階微分環節頻率特性為

極坐標圖當由0→+∞時，實部始終為單位1，而虛部則隨著線性增長。其極坐標圖如圖所示。幅頻特性為相頻特性為從上面的表達式可以看出，由于一階微分環節與一階慣性環節的對數頻率特性是上下對稱的，可以利用一階慣性環節的波德圖作上下翻轉畫出，其對數頻率特性曲線如下頁圖所示。波特圖對數相頻特性為對數幅頻特性為4-2-6二階振蕩環節二階振蕩環節的傳遞函數為令T=1/n為二階系統的時間常數，代入上式有于是，二階振蕩環節的頻率特性為

極坐標圖其極坐標圖如圖所示。從圖中可以看出，當=0+時當=1/T時幅頻特性為相頻特性為頻率特性與負實軸相交。并且值越小，虛軸上的交點離原點越遠。當→+∞時所以，曲線的模以幅角1800趨于零。另外，從圖上還可以看出，當系統阻尼比較小時，幅頻特性(即曲線的模)超出了單位圓，有極大值(稱之為諧振峰值Mr)，對應的頻率r稱為諧振頻率(或者峰值頻率)。在產生諧振峰值處，必有從而可以解出諧振頻率為顯然,r與值有關。當時，r=0；當時，r為虛數,說明幅頻特性不存在諧振峰值；當時，將其代入幅頻表達式，求得諧振峰值為波德圖根據上式可以作出兩條漸近線。當→0時，有這是一條水平漸近線(斜率為0dB/dec)；當→∞時，有對數幅頻特性為顯然，上式為兩個積分環節的疊加。所以，第二條漸近線是一條斜率為40dB/dec的斜線。兩條漸近線的折線近似下頁如圖虛線所示。在圖上作出兩條漸近線，得到它們的交點坐標為 由于阻尼比取值不同時，對數幅頻特性L()有無諧振峰值()，臨界諧振峰值(=0.707)和有諧振峰值(<0.707)三種情況，L()的準確曲線如上頁圖實線所示。如前所述，對數相頻特性也有三個特征角度。(1)→0+時，()→0(2)=1/T時，()→90(3)→+∞時，()→180對數相頻特性并且當取值不同時，()在頻率=1/T鄰域的角度變化率也不同，越小，變化越大。>0.707、=0.707和<0.707時三條對數相頻特性如圖所示。4-2-7二階微分環節頻率特性為極坐標圖如圖所示由于二階微分環節與二階振蕩環節互為倒數，因此，其波德圖可以參照二階振蕩環節的波德圖翻轉畫出，如下頁圖所示。4-2-8延遲環節頻率特性為延遲環節的極坐標圖如圖所示。其波德圖如下頁圖所示。由于()隨的增長而線性滯后，將嚴重影響系統的穩定性。幅頻特性為相頻特性為4-3控制系統開環頻率特性作圖4-3-1開環對數頻率特性作圖控制系統的結構如圖所示。其開環傳遞函數為因此，開環頻率特性為將Go(s)用零、極點因子的環節增益歸一表示式為上式包括了增益因子、一階因子和二階共軛復數因子，都是基本環節，故Go(j)的一般表達式可以寫為基本因子的乘積，即采用幅值和幅角表達式，為開環對數幅頻特性為開環對數相頻特性為上兩式表明，Lo()和o()分別都是各典型環節的疊加。于是，可以分別繪制出各典型環節的對數幅頻特性Li()和對數相頻特性i()。然后，再分別疊加后得到Lo()和o()。從而，繪制出了Go(j)的波德圖。實際繪制波德圖時，可以不必繪制出各環節的Li()。而依照轉折頻率采用漸近線作出Lo()。這就是轉折漸近作圖。由于在很多情況下，可以省略o()的作圖。因此，這種方法又快又方便。轉折漸近作圖由開環傳遞函數其中，n=+n1+2n2----分母多項式次數;m=m1+2m2----分子多項式次數。則作圖步驟如下：(1)確定Ko值，值和各個轉折頻率：并將各轉折頻率從小到大標注在頻率軸上。(2)繪制對數幅頻特性的低頻漸近線。其斜率為-20dB/dec，位置由下式確定：從而在低頻段作出Lo低。(3)以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向前進，每遇到一個轉折頻率就改變一次分段直線的斜率：當遇到k時，斜率的變化量為+20dB/dec;當遇到i時，斜率的變化量為20dB/dec;當遇到l時，斜率的變化量為+40dB/dec;當遇到j時，斜率的變化量為40dB/dec;依次得到的分段直線即為近似的對數幅頻特性。(4)分段直線的最后一段是對數幅頻特性的高頻漸近線,其斜率為20(n-m)dB/dec.從而可以在高頻段作出Lo高。(5)利用典型環節修正的方法對中頻段的分段直線進行修正，從而得到準確的對數幅頻特性曲線Lo()。修正時應考慮相鄰各環節的相互影響。對數相頻特性o()也可以直接利用相頻特性表達式進行計算。事實上，當開環系統傳遞函數Go(s)以零、極點因子的環節增益歸一表達式表示時，其相頻特性為以及例4-3(P171)已知單位反饋系統的開環傳遞函數為作對數開環頻率特性。解：低頻段特性為在圖上作斜率為20dB/dec，過ω=1.58的斜線如圖所示。各轉折特性為將各環節的轉折頻率從小到大填入轉折漸進表如下表所示，并填入相應的轉折斜率。圖中的各段斜率分別簡略標注為0----0dB/dec,1----20dB/dec,2----40dB/dec,另外，由于二階振蕩因子的阻尼比為=0.2。所以，在諧振頻率處，諧振峰值為對數峰值為在圖上作諧振峰值修正曲線如下頁圖所示。對數相頻特性作圖方法同前，徒手繪制開環對數相頻特性時，首先確定低頻段的相位角。例題系統的無差度為于是，低頻相位角為o低()=190=90其次確定高頻段的相位角，因為所以，高頻相位角為o高()=290=180之后從低頻段相位角出發，在每一個轉折頻率處，對于每一個一階因子45在圖上作出特征點，對于每一個二階因子90在圖上作出特征點。將上述特征點連線即得到例題系統的開環相頻特性的草圖如圖所示。如果需要精確一些，可以選插值點作一些修正計算即可。4-3-2開環極坐標作圖我們定性地討論控制系統開環頻率特性Go(j)的一些特點，以幫助手工繪制其極坐標圖。設開環傳遞函數為其中，n+n1+2n2

mm1+2m2

極坐標圖的起點極坐標圖的起點是→0時，Go(j0+)在復平面上的位置。當前向通路中積分環節的個數大于零，→0時，有幅值的大小為幅角的大小為因此，極坐標圖的起點位置與前向通路中積分環節的個數有關。為不同值時，極坐標圖的起點位置如圖所示。

極坐標圖的終點極坐標圖的終點是→+∞時，Go(+j∞)在復平面上的位置。當→+∞時，有幅值的大小為幅角的大小為所以，極坐標圖終點的入射角是不同的，入射角度的大小由分母多項式次數與分子多項式次數之差nm來決定。各種趨近情況如圖所示。

坐標軸穿越點與單位圓穿越點坐標軸穿越點與單位圓穿越點如圖所示。這兩類穿越除了要確定穿越位置之外，還需要作如下考慮。在坐標軸穿越點鄰域需要確定的是在坐標軸穿越頻率=x時，Go(jx)是以幅角增加方式還是以幅角減少的方式穿越坐標軸。在單位圓穿越點鄰域需要確定的是在單位圓穿越頻率=y時，Go(jy)是以幅值增加方式還是以幅值減少方式穿越單位圓。例4-4(P174)已知單位反饋開環傳遞函數為試作其極坐標草圖。解：由于=1，有所以起點位于負虛軸無窮遠處。由于nm=2,有所以曲線以相位角180趨于原點。幅角為當增加時，()是單調減的。由以上定性分析，可以作出極坐標草圖如下頁圖(a)所示。極坐標準確圖如圖(b)所示。例4-5(P175)已知單位反饋開環傳遞函數為試作出極坐標草圖。解：由于=2,有所以起點位于負實軸無窮遠處。由于nm=3,有所以曲線以相位角270趨于原點。當增加時，()從180先增后減。當→+∞時，()減至270。幅角為所以可以算出曲線從第三象限穿越負實軸到第二象限。由以上分析，作出極坐標草圖如下頁圖所示。圖中，增益K不同時，曲線穿越負實軸的位置不同。但是，穿越頻率x是相同的，曲線的形狀是相似的。開環幅相曲線繪制開環幅相曲線繪制方法：（1）由開環零點-極點分布圖，用圖解計算法繪制；（2）由開環幅頻特性和相頻特性表達式，用計算法繪制。（3）由開環頻率特性的實部和虛部表達式，用計算法繪制。概略地繪制幅相曲線的方法例設RC超前網絡，其傳遞函數試繪制其幅相特性。例某零型反饋控制系統，系統開環傳遞函數試概略繪制系統的開環幅相曲線。與虛軸的交點：由于含有兩個慣性環節，當由此可見，若包含n個慣性環節，則有由此可見，若包含n個慣性環節，m個一階微分環節，則有當開環傳遞函數包含有微分環節時，幅相曲線會出現凹凸，幅值和相位不再是單調變化的。例如開環傳遞函數含有積分環節時的開環幅相曲線例設某單位反饋系統的開環傳遞函數為假設，試概略繪制開環幅相曲線，并進行分析。起點與終點：幅相曲線的漸近線是橫坐標為，平行與虛軸的直線令2型系統包含兩個積分環節，例如起點與終點：當包含一階微分環節，這時的幅相曲線也可能出現凹凸，例如起點與終點：若T1大于其它時間常數，幅相曲線如圖所示，與實軸、虛軸的交點可以用對應的實部、虛部表達式求出。基本規律：設（1）（2）（3）幅相曲線與實軸、虛軸的交點求取。（4）不包含一階微分環節，包含一階微分環節的幅相曲線。0型3型2型1型3、開環對數頻率特性曲線的繪制設傳遞函數由n個典型環節串聯組成，n個典型積分環節分別以表示，則有對數幅頻曲線和對數相頻曲線是由n個典型環節對應曲線的疊加后得到的。例設單位反饋系統，其開環傳遞函數試繪制近似對數幅頻曲線和對數相頻曲線，并修正近似對數幅頻曲線。解：典型環節分別為繪制典型環節Bode圖的數據：轉折頻率對數幅頻特性曲線分析：（1）低頻段斜率為-20db/dec，斜率由積分個數所決定。（2），曲線的分貝值為20logK,左端直線與零分貝線的交點頻率為K值。（3）在慣性環節交接頻率11.5(rad/sec)處，斜率從-20db/dec變為-40db/dec。16.9dB一般近似對數幅頻特性的特點：（1）最左端直線斜率為（2）的分貝值，最左端直線及其延長線的分貝值為20logK。（4）最左端直線（或其延長線）與零分貝線的交點頻率（3）在交接頻率處，曲線斜率發生改變，改變的多少取決于典型環節的類型。例試繪制以下傳遞函數的對數幅頻曲線解：（1）（2）繪制最左端的直線：斜率-20dB/dec直線，在過17.5(dB)這一點的直線。或繪制過零分貝線的這一點的斜率為-20dB/dec的直線。（3）根據各環節的交接頻率繪制近似對數幅頻特性。（4）修正近似的對數幅頻特性。4-3-3最小相位系統最小相位系統是一類最普遍的系統。引例5-6(P176)已知兩個系統G1(j)和G2(j)如下：對于G1(j)，有對于G2(jω)，有所以，兩個系統的對數幅頻特性是相同的。但是G1(j)的相頻特性為G2(j)的相頻特性為所以兩系統的相頻特性是不同的，且G1(j)比G2(j)有更小的相位角。兩系統的波德圖如上頁圖所示。因此，定義開環零點與開環極點全部位于左半s平面的系統為最小相位系統，否則稱為非最小相位系統。最小相位系統的重要特征在于：幅頻特性與相頻特性有確定的關系。因此，在利用對數頻率特性對最小相位系統進行分析或綜合時，常常只需畫出和利用對數幅頻特性曲線，而可以以省略相頻特性作圖。最小相位系統和非最小相位系統最小相位系統：系統穩定，而且在右半s平面沒有零點。否則就是非最小相位系統。舉例：對于最小相位系統：幅頻特性與相頻特性具有一一對應關系；而非最小相位系統就沒有這樣的關系。如已知最小相位系統的幅頻特性就可以直接寫出系統的傳遞函數。例已知最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖所示，試確定系統開環傳遞函數。系統開環傳遞函數：不穩定環節（1）不穩定慣性環節（2）不穩定振蕩環節不穩定慣性環節的頻率特性num1=1;den1=[0.51];bode(num1,den1)num2=1;den2=[0.5-1];bode(num2,den2)不穩定振蕩環節和振蕩環節的幅相曲線和對數頻率特性不穩定一階微分環節和一階微分環節的幅相曲線和對數頻率特性num=1;den=[1/4-1/21];bode(num,den)不穩定的二階微分環節和二階微分環節的幅相曲線、對數頻率特性曲線num=[1/4-1/21];den=1;bode(num,den)延遲環節幅相曲線：復平面上單位圓，圓心在原點，半徑為1。對數頻率特性：延遲環節是非最小相位系統。例繪制以下具有延遲環節的開環傳遞函數的頻率特性幅相特性和對數頻率特性4-4頻率穩定性判據

頻域穩定性判據又稱為奈奎斯特(Nyquist)穩定判據，簡稱奈氏判據。奈氏判據依據控制系統的開環頻率特性，不僅可以確定系統的絕對穩定性，并且還可以提供相對穩定性的信息。因此，奈氏判據不僅用于系統的穩定性分析，而且還可以更方便地用于控制系統的設計與綜合。4-4-1開環極點與閉環極點的關系控制系統的開環傳遞函數為其中，M(s)為m次分子多項式，N(s)為n次分母多項式，且nm。滿足方程M(s)=0的s值，稱為系統的開環零點。滿足方程N(s)=0的s值，稱為系統的開環極點?？刂葡到y的閉環傳遞函數為其中，滿足方程M(s)+N(s)=0的s值，稱為系統的閉環極點。作輔助函數F(s)，即系統的閉環特征多項式為滿足方程N(s)+M(s)=0的s值，是輔助多項式F(s)的零點，同時又是系統的閉環極點。滿足N(s)=0的s值，既是輔助多項式F(s)的極點，又是系統的開環極點。輔助多項式F(s)把系統的開環極點和閉環極點包含在同一個表達式中。這樣的關系如下所示←F(s)的零點,同時又是閉環極點←F(s)的極點,同時又是開環極點且由于nm，故系統的閉環極點數等于開環極點數。將s=j代入F(s)，得到輔助函數F(s)的頻率特性4-4-2頻域穩定性判據

1、米哈依洛夫定理奈氏判據的理論基礎是米哈依洛夫定理，可以敘述如下。設D(s)是s的n次多項式，即D(s)=0的n個根中有p個在右半平面，其余的(np)個均在左半平面，如圖所示。令s=j，則其中，----偶函數----奇函數當由0變化到∞時，向量D(j)的幅角的增量為：以上就是米哈依洛夫定理的內容?，F證明如下：將D(s)進行因式分解，有其中，P1，P2,…，Pn是D(s)=0的根。令s=j，則現在研究上式中的某一個因子Di(j)首先考慮Pi在左半s平面的情況，即在圖上畫出向量Di(j)，j和Pi。其中，若Pk在右半s平面，如圖所示，則由∞變到+∞時，向量Dk(j)的幅角增量是從圖上可以看出，當由∞變到+∞時，向量Di(j)的幅角增量(逆時針為正)是根據上兩式和向量相乘的規則，向量D(j)當由∞變到+∞時，幅角增量是由于D（j）是關于實軸對稱的，因此只需研究由0變到+∞時向量D（j）的幅角變化量。因為圖形的對稱性，顯然有由此，米哈依洛夫定理得到了證明。2、奈氏判據已知系統的開環頻率特性Go(j)，則根據輔助函數F(j)的定義，當由0變到∞，F(j)的幅角的增量為由于N(s)=0是系統的開環特征方程，而N(s)+M(s)=0是系統的閉環特征方程，因此由米哈依洛夫定理和上式就可以得到奈氏判據。假設N(s)=0的根(即系統的開環極點)全部在s平面的左、右半部，在虛軸上和坐標原點沒有根。由閉環系統穩定的條件：N(s)+M(s)=0的根全部在左半s平面，則根據米哈依洛夫定理，應有若開環系統不穩定，并設N(s)=0有p個根在右半s平面，則根據米哈依洛夫定理，應有于是，有由上式可知，若系統的開環傳遞函數有p個開環極點在右半s平面，則閉環系統穩定的條件是：當由0變到∞時，F(j)的幅角的增量為p,即F(j)的軌線隨著的增加逆時針包圍復平面F(j)的原點p/2圈。通常總是希望用系統的開環頻率特性來分析閉環系統的穩定性。要做到這一點很容易。由包圍F(j)平面的原點就相等于包圍G(j)平面的(-1,j0)點，兩平面的關系為平移關系，如圖所示。開環頻率特性Go(j)的極坐標圖是畫在G(j)平面上的。所以，可以利用系統的極坐標圖來判別閉環系統的穩定性。頻域穩定性判據(奈氏判據)

若系統有p個開環極點在右半s平面，則閉環系統穩定的充分必要條件是：Go(j)的幅角的增量為即開環頻率特性的極坐標軌線Go(j)逆時針包圍G(j)平面的(-1,j0)點p/2圈。奈奎斯特穩定判據頻域穩定判據：奈奎斯特穩定判據和對數穩定判據頻域穩定判據的特點：開環頻率特性曲線判斷閉環系統穩定性研究系統參數和結構改變對穩定性的影響研究包含延遲環節系統的穩定性奈氏判據可推廣到某些非線性系統的穩定性1、奈奎斯特穩定判據設系統的前向通道傳遞函數G(s)、反饋通道的傳遞函數H(s)分別為若G(s)和H(s)沒有零點與極點相消，則有設輔助函數注意：*（1）輔助函數的零點是閉環傳遞函數的極點輔助函數的極點是開環傳遞函數的極點（2）輔助函數的零、極點個數相同（3）F(s)與G(s)H(s)在復平面上的幾何關系幅角原理

從s平面上任一點s，通過F(s)的影射關系，在F(s)平面上的找到相應的象。設：在s平面上選擇一個A點開始，作一條順時針包圍某個零點的圍線，其不包圍也不通過其它極點和零點。在F(s)平面上，F(s)是對應于從B點出發又回到B的圍線。設分別是向量沿著圍線順時針繞行一周的相角變化量。考察s沿著圍線F(s)的相位變化量為結論：這表明：F(s)曲線從B開始，繞原點順時針方向轉了一圈。若在s平面的順時針圍線內，包圍的是某個極點，在F(s)平面上，F(s)曲線繞原點逆時針方向轉了一圈。即幅角原理：如果在圍線內有Z個零點、P個極點，則s沿著順時針轉一圈時，在F(s)平面上，F(s)曲線繞原點逆時針轉過的圈數為R=P-Z當R為負，表明是順時針包圍的圈數。奈奎斯特穩定判據在s平面上的圍線擴展到整個右半s平面（包括虛軸），這時R=P-ZP：輔助函數F(s)在右半s平面的極點數Z：輔助函數F(s)在右半s平面的零點數，即閉環的極點數注意到輔助函數與開環傳遞函數之間的關系：F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)圍繞（0，j0)的圈數G(s)H(s)圍繞（-1，j0）的圈數。又由輔助函數的定義：F(s)的分子多項式就是閉環系統的特征方程。結論：閉環系統穩定的充要條件是Z=0，則有R=P即：G(s)H(s)逆時針包圍（-1，j0）點的次數=右半s平面開環極點數。當特征方程有純虛根，閉環系統臨界穩定，G(s)H(s)曲線（奈奎斯特曲線）過（-1，j0）點，此時圈數R是不定的。奈奎斯特判據：反饋控制系統穩定的充分必要條件是：奈奎斯特曲線反時針包圍（-1，j0）點的圈數R等于開環傳遞函數在右半s平面的極點數P，即R=P。（1）若P=0，系統開環穩定，閉環系統穩定的充要條件：奈氏曲線不包圍（-1，j0)點。（2）若，則系統閉環不穩定，在右半s平面上閉環特征根的個數Z=P-R。例設單位反饋系統的試用奈氏判據判定閉環系統的穩定性。解：（1）繪制的曲線。系統是閉環穩定的。（2）用奈氏判據判定閉環系統的穩定性例具有單位反饋的非最小相位系統試分析閉環系統的穩定性。解：（1）繪制奈氏曲線（2）若R=P=1，則系統閉環穩定。這就要求K>1；當K=1系統是臨界穩定。2、開環系統（傳遞函數）臨界穩定時，奈氏圍線的修改開環傳遞函數G(s)H(s)在虛軸上有極點（開環極點），則就是輔助函數F(s)=1+G(s)H(s)的奇點，而奈氏圍線不允許通過奇點，為此需對奈氏圍線進行修改，如圖所示。例已知系統開環傳遞函數修改后奈氏圍線的映射有一個開環極點s=0，作無窮小半徑的圍線。

在圍線上S在無窮小半圓上逆時針轉過半圈，映射到G(s）平面上則為一條順時針繞行半圈的圓弧曲線，半徑為無窮大對于型系統，在G(s)平面上，半徑為無窮大，順時針方向繞行個半圈的圓弧曲線。3、判斷穩定性的實用方法繪制的奈氏曲線，按奈氏曲線包圍臨界點圈數N和開環傳遞函數在右半s平面的極點數P，確定閉環特征方程正實部根的個數。若Z=0，則系統閉環穩定，否則閉環不穩定。對于型系統的奈氏曲線：補畫一條半徑為無窮大，逆時針方向繞行的圓弧，這樣可得完整的部分奈氏曲線。例設單位反饋系統，其開環傳遞函數試用奈氏判據判斷系統穩定性。解：開環幅相大致曲線如圖所示曲線順時針包圍（-1，j0）點一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。閉環系統不穩定。用在區間，奈氏曲線的正、負穿越的次數來確定N

4-4-3頻域穩定性分析

1、最小相位系統最小相位系統的開環零、極點全部在左半s平面上，因而滿足奈氏判據的p=0的情況，閉環系統穩定的充要條件為即開環頻率特性的極坐標軌線Go(j)不包圍G(j)平面的(-1,j0)點。例4-7(P181)系統的開環傳遞函數為討論開環增益K的大小對系統穩定性的影響。解：這是一個三階系統，沒有開環零點，且開環極點全部位于左半s平面，因此是最小相位系統。作極坐標草圖，先計算極限值：=0時，有

→∞時，有且增加時有依此作極坐標草圖如圖所示。判別當K小時，極坐標軌線圍繞（-1,j0)點的角度增量為不包圍(-1,j0)點，所以系統是穩定的。當K大時，圍繞(-1,j0)點的角度增量為由于圍繞(-1,j0)點轉了-1圈，不等于零，所以系統不穩定。

2、原點處有開環極點的情況當原點處存在開環極點時，其表達式為由于開環極點因子G(s)=1/s既不在左半s平面上，也不在右半s平面上，當由0變到∞時，原點處開環極點的幅角增量值是不定的，因而不能應用幅角增量公式來計算。對于這種情況，可以認為原點處的開環極點屬于左半s平面。在數學作如下處理：在s平面的s=0的鄰域作一半徑為無窮小的半圓繞過原點，如下頁圖所示。這樣，當由0增加到0+時，原點處就已經獲得了+/2的增量。相應地，作為復變函數G(s)=1/s，由復變函數的保角定理可得，在G(j)平面上的無窮大半圓處也就獲得-/2的幅角增量。因此，可以在G(j)平面上的無窮大半圓處作增補線，如上頁圖所示。得到相應的增補角為-/2。如果原點處的開環極點有個，則在G(j)平面上的無窮大半圓處作所增補線就滿足的增補角為.(-/2)。這樣，當系統在原點處有開環極點時，計算幅角增量需要計入相應的增補角，以保證計算的正確性。例4-8(P182)已知系統的開環傳遞函數為試用奈氏判據判別系統的穩定性。解：(1)作極坐標圖=0時，有可以確定系統極坐標圖的起點為0-j∞→∞時，有可以確定系統極坐標圖的終點為0+j0,即原點且增加時有依此作極坐標草圖如圖所示。（2）穩定性判別系統為最小相位系統，所以穩定條件為由于原點處有一個開環極點，=1，作增補角如上頁圖所示。當K小時，極坐標軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補角)（原角度）不包圍(-1,j0)點，所以系統是穩定的。當K大時，圍繞(-1,j0)點的角度增量為(增補角)（原角度）由于圍饒(-1,j0)點轉了1圈，不等于零，所以系統不穩定。3、非最小相位系統對于非最小相位系統，首先要判別的是在右半s平面上有沒有開環極點。如果有，則閉環系統穩定的條件為如果非最小相位系統是由右半s平面的開環零點確定，則閉環系統穩定的條件為例4-9(P183)已知系統的開環傳遞函數為試用奈氏判據判別系統的穩定性。解：該系統在右半s平面有一個開環極點，p=1，系統穩定的條件為另外，原點處有一個開環極點，=1，需要作增補線，使得增補角為-/2。因此，按照下面步驟作極坐標圖：

=0時，有

→∞時，有幅值A()單調減，幅角()單調增，并且在=x時，軌線穿過負實軸。按照上述曲線變化趨勢作極坐標圖如圖所示。由于=1，作增補線如圖。因為p=1，滿足穩定條件，所以系統是穩定的。因為p=1，不滿足穩定判據的條件，所以系統是不穩定的。當K小時，極坐標軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補角)（原角度）當K大時，極坐標軌線圍繞(-1，j0)點的角度增量為(增補角)（原角度）4-4-4波德圖上的穩定性判據

1、極坐標圖與波德圖的對應奈氏判據除了可以表示在極坐標圖上，還可以表示在波德圖上。對于工程中最經常出現的最小相位系統，采用波德圖表示，不僅應用起來更為方便和直觀，而且還能得到有關系統校正設計方面的信息。引例4-10(P184)前述例題4-7，其開環傳遞函數為開環增益K的大小對系統穩定性的影響如下頁圖所示。從圖中可以看出，當K小時，奈氏軌線(即極坐標軌線)不包圍(-1，j0)點，閉環系統是穩定的；當K臨時，奈氏軌線穿過(-1，j0)點，閉環系統是臨界穩定的；當K大時，奈氏軌線包圍(-1，j0)點，閉環系統不穩定。從圖中還可以看出，當軌線穿過單位圓時(即當模為1時)，有：穩定系統，相角大于-；臨界穩定系統，相角等于-；不穩定系統，相角小于-。這樣就得到了在波德圖上的奈氏判據。

當對數幅頻特性穿過0dB線時，相角大于-，即時則閉環系統是穩定的。

或者當對數相頻特性為-時，對數幅頻特性小于0dB，即時則閉環系統是穩定的。上述波德圖上的奈氏判據，只適用于最小相位系統，對于非最小相位系統，雖然也可以推導出在波德圖上的等價判據，但由于有多種情況存在，沒有多少應用價值。利用波德圖，不僅可以確定系統的絕對穩定性，還可以確定系統的相對穩定性，即：如果是穩定系統，那么相位角還差多少度，或增益再增大多少倍，系統就不穩定了。如果系統不穩定，那么相位角還需要改善多少度或者增益值需要減小到多大，不穩定系統就成為穩定系統了。

對數頻率穩定判據對數頻率穩定判據的依據是和奈氏穩定判據的依據是一樣的，關鍵是在對數頻率特性圖（對數幅頻圖和對數相頻圖）上如何確定N?？疾煲韵麻_環幅相曲線與Bode圖的對應情況：當開環傳遞函數包括積分環節時，在對數相頻特性上要補畫這一段頻率變化范圍的相角變化曲線。

例如系統閉環不穩定。

對數頻率穩定判據：已知開環系統在右半s平面的極點數P，開環對數幅頻特性為正值的所有頻率范圍內，對數相頻曲線對-180o線的正、負穿越之差，然后確定條件穩定系統考察圖示系統的奈氏曲線P=0（1）開環增益K增加到足夠大，系統閉環不穩定。（2）開環增益足夠小，系統閉環不穩定。

2、穩定裕度基于波德圖上的奈氏判據，可以在波德圖上定義兩個開環頻域的性能指標，稱為開環系統的穩定裕度，其中的一個為幅值裕度Lg，另一個為相位裕度c,它們的幾何表示如圖所示。

幅值裕度Lg令對數相頻特性()穿過-180線時的頻率為g(通常稱之為開環穿越頻率)，此時的幅值為A(g),增大Kg倍后為單位1(穿過單位圓)，即于是從而定義幅值裕度Lg為由Lg的定義可知：若系統穩定，則Lg>0dB(Kg>1);若系統臨界穩定，則Lg=0dB(Kg=1);若系統不穩定，則Lg<0dB(Kg<1)。Lg作為定量值指出了，如果系統是穩定的，則系統的開環增益Ko再擴大多少倍系統就不穩定了，或者在波德圖上開環對數幅頻特性Lo(ω)再向上移動多少分貝系統就不穩定了。如果是不穩定系統，與上述描述相反。

相位裕度c令對數幅頻特性L()穿過0dB線時的頻率為c(通常稱之為開環截止頻率)，則定義相位裕度c為顯然，若系統穩定，則c>0；若系統臨界穩定，則c=0；若系統不穩定，則c<0。

c作為定量值指出了，如果系統不穩定，則系統的開環相頻特性o()還需要改善多少度就成為穩定的了。如果是穩定系統，與上述描述相反。Lg和c可以用來作為控制系統的開環頻域性能指標來定量描述系統的性能。在實際中，Lg和c通常是成對應用的。雖然在分析系統穩定性時經常僅使用一個裕度指標，但當c較大而Lg較小時，對系統的動態性能的影響很大。必須強調指出的是，這里定義的穩定裕度僅適用于最小相位系統。例4-11(P187)已知單位反饋的最小相位系統，其開環對數幅頻特性如圖所示，(1)試求開環傳遞函數