結構的極限荷載基本概念極限彎矩計算超靜定梁的極限荷載判定極限荷載的一般定理剛架的極限荷載習題課§15-1概述1、線彈性體系彈性分析彈性設計法彈性設計法的最大缺陷是以某一局部的σmax>[σ]，作為衡量整個結構破壞的標準。事實上，對于塑性材料的結構（特別是超靜定結構）當σmax=[σ]時，結構還沒破壞。因此彈性設計法不能正確地反映整個結構的安全儲備，是不夠經濟的。2、塑性分析極限荷載考慮材料的塑性，按照結構喪失承載能力的極限狀態來計算結構所能承受的荷載的極限值。塑性設計法從整個結構的承載能力考慮，更切合實際。3、理想彈塑性材料（物理關系）εσσ<σy，σ=Eεσyεyσ=σy

，σ不增，ε繼續增加。卸載Δσ=EΔε

小變形、應力與應變成正比、位移與荷載呈線性關系，無殘余變形。結構在正常使用情況下，彈性分析能給出相當精確的結果。荷載不再增加，變形繼續增加塑性分析時平衡條件、幾何條件、平截面假定與彈性分析相同。由此看到，①材料加載是彈塑性的，卸載是彈性的；②經歷塑性變形之后，應力與應變之間不再存在單值對應關系。要得到彈塑性解答，需要追蹤全部受力變形過程，所以結構的彈塑性分析比彈性分析要復雜的多。而結構的極限分析不考慮彈塑性變形的發展過程，直接研究論結構的破壞狀態求出極限荷載，因而比較方便。塑性分析只適用于延性較好的彈塑性材料而不適用于脆性材料；對于變形條件要求較嚴的結構也不易采用彈塑性分析方法。σσ（b）

一、極限彎矩彈性階段（b）（彈性極限彎矩，或屈服彎矩）彈塑性階段（c）塑性階段(d)彈性核消失，整個截面達到塑性流動，彎矩達到極限彎矩Mu.hbyz（a）σyσy（b）σyσy（c）σyσy（d）在彈性核內，應力按線性分布，彎矩與曲率呈非線性。y0極限彎矩是整個截面達到塑性流動時截面所能承受的最大彎矩。它主要與σy和截面形狀尺寸有關，剪力對它的影響可忽略不計。截面形狀系數§15-2極限彎矩、塑性鉸、極限狀態隨著M的增大，梁會經歷Py0h/2y0σyσykyk形心軸σσy（b）σyσy（c）y0σyσy（d）彈性階段（b）應力按直線分布，中性軸通過形心。彈塑性階段（c）塑性階段（d）截面達到塑性流動中性軸的位置隨彎矩的大小而變。截面軸力為零：S1、S2分別為拉、壓區面積對中性軸（等分截面軸）的靜矩。Wy稱為塑性截面模量。A1A2=A1其它截面等面積軸極限狀態時中性軸平分截面面積即等分截面軸。隨著M的增大，梁會經歷矩形截面的截面形狀系數為α=

。(鄭大04)塑性截面模量Wy和彈性截面模量W的關系是

。(天大97)

AWy

=WBWy

>WCWy

<WD答案BC都有可能

塑性階段，截面的中性軸位于

A截面形心

B截面中心

C截面對角線

D等分截面軸截面極限彎矩與下列內頁因素有關？

A截面形狀

B截面尺寸

C材料屈服應力

D荷載A112020202080已知材料的屈服極限σy=240MPa，求截面的極限彎矩。(mm)等分截面軸A2應力的單位用（Pa）長度單位用（m）力的單位用（N）得到彎矩單位（N.m）或者應力的單位用（MPa）長度單位用（mm）力的單位用（N）得到彎矩單位（N.mm）二、塑性鉸：當截面達到塑性流動階段時，極限彎矩保持不變，C截面的縱向纖維塑性流動（伸長或縮短），于是兩相鄰截面可產生有限的相對轉動。稱該截面形成了塑性鉸。MuMuPCPC塑性鉸與真實鉸的區別塑性鉸真實鉸承受極限彎矩不承受彎矩單向鉸雙向鉸卸載而消失不消失位置隨荷載的分布不同而變化位置固定CPu塑性鉸的形成過程橫向荷載通常剪力對承載力的影響很小，可忽略不計，純彎導出的結果橫彎仍可采用。在加載初期，各截面彎矩≤彈性極限彎矩My→某截面彎矩=My

彈性階段結束。此時的荷載叫彈性極限荷載Py。當P>Py，在梁內形成塑性區。隨著荷載的增大，塑性區擴展→形成塑性鉸，繼續加載，→形成足夠多的塑性鉸（結構變成破壞機構）。三、極限狀態當結構形成足夠多的塑性鉸時，結構變成幾何可變體系（破壞機構），形成破壞機構的瞬時所對應的變形狀態稱為結構的極限狀態，此時的荷載即為極限荷載。如果只限于求結構的極限荷載，可不考查其實際的內力和變形情況，將破壞機構作為分析對象，根據極限狀態結構的內力分布，按平衡條件求極限荷載，這種方法稱為極限平衡法。彈塑性分析全過程Pll例15-1求圖示簡支梁的Pu。P靜力法：根據平衡條件得：θ2θMuMuΔ機動法：采用剛塑性假設畫機構虛位移圖虛功方程：靜力法根據塑性鉸截面的彎矩Mu，由平衡方程求出.極限平衡法求Pu機動法利用機構的極限平衡狀態，根據虛功方程求得。1、超靜定梁的破壞過程和極限荷載的特點超靜定梁必須出現足夠多個塑性鉸，才變成機構，從而喪失承載能力，破壞。Pl/2l/2彈性階段（P≤Py）P≤PyACBACB彈塑性階段（Py<P<Pu）A截面形成塑性區→擴大→C截面形成塑性區→A截面形成第一個塑性鉸.Py<P<PuACBMU塑性階段（P→Pu）MA=Mu不增MC增→

MuC截面形成第二個塑性鉸PuACBMUMU§15-3超靜定梁的極限荷載Pul/4PuACBMUMU求極限荷載靜力法根據極限狀態的彎矩圖,求極限荷載1）如能事先判斷出超靜定梁的破壞機構，就無須考慮結構的彈塑性變形的發展過程，直接利用機構的平衡條件求Pu。2）超靜定結構極限荷載的計算,只需考慮平衡條件，而無須考慮變形協調條件。因而計算比彈性計算簡單。3）超靜定結構極限荷載,不受溫度改變,支座移動等因素的影響。4）假定等截面單跨超靜定梁破壞機構的原則：①跨中塑性鉸只能出現在集中力作用點處或分布荷載分布范圍內剪力為零處。②當梁上荷載同為向下作用時，負塑性鉸只可能出現在固定端處。例17-2求圖示變截面梁的極限荷載。l/3l/3l/3PABDCMu解：AB、BC段的極限彎矩不同。塑性鉸可能出現在A、D和B處，破壞機構的可能形式既與突變截面位置有關，也與有關。1）B、D出現塑性鉸的破壞機構PABCMuMuΔθ2θMuMuMuMu3Mu如MA=3Mu>該破壞機構實現的條件是：3Mu2）A、D出現塑性鉸的破壞機構PABCMuMuΔθ1θ2該破壞機構實現的條件是：3MuMu兩種破壞機構都能實現，出現三個塑性鉸A、B、D。4）對于變截面梁，負塑性鉸可能會出現在跨間。3）如果uuMM3=￠MU例15-3求圖示單跨超靜定梁的極限荷載Pu。MU↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlABCxAC段平衡：BC段平衡：由(a)(b)得：在鋼筋混凝土結構設計，這種梁在實際荷載q作用下跨中截面的塑性計算彎矩近似地取為。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlMU=Mu例15-4求圖示單跨超靜定梁的極限荷載Pu。x如將跨間塑性鉸取在中點，則：均布荷載作用下，如桿件兩端彎矩在基線同側且懸殊不太大時，可將跨間塑性鉸取在中點。圖示等截面梁發生塑性極限破壞時，梁中最大彎矩發生在

。(東南96)

Aa Bb Cc Dd圖(a)變截面梁形成圖(b)的破壞機構的條件是。()圖示變截面超靜定梁的破壞機構不可能是l/2l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qMUMUqul2/8↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓α=

1/11－1/111/16－1/16………鋼筋混凝土連續梁考慮塑性內力充分布的計算中，多采用彎矩調幅法。即先按彈性分析求出結構的截面彎矩，然后將支座彎矩降低，跨中彎矩增大。2、連續梁的極限荷載設梁在每一跨內是等截面，但各跨的截面可以不同。設荷載的作用方向彼此相同（向下），并按比例加載。對于等截面梁，最大負彎矩只可能在支座處，負塑性鉸只可能出現在支座處，只可能在各跨內獨立形成破壞機構，而不可能由相鄰幾跨聯合形成一個破壞機構(且遵循單跨梁形成破壞機構的原則)PPPPPP連續梁破壞機構的可能形式只可能在各跨內獨立形成破壞機構，

例：圖示各跨等截面連續梁，第一、二跨正極限彎矩為Mu，第三跨正極限彎矩為2Mu，各跨負極限彎矩為正極限彎矩的1.2倍，求qu。

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：靜力法畫出各跨單獨破壞時的極限彎矩圖。尋找平衡關系求出相應的破壞荷載。Mu1.2Mu1.2Mu2.4MuMu2Mu第一跨單獨破壞時：相應的破壞破壞荷載：二三

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5ql

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qlΔθ2θ第一跨破壞：第二跨破壞：第三跨破壞：Δθ2θ

ql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q1.5qll/20.75ll/2lMuMu2Mu0.75l1.2Mu1.2Mu2.4Mu解：機動法給出各跨單獨破壞時的虛位移圖。由虛功方程求出相應的破壞荷載。例：圖示連續梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P15P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3解：作出各跨破壞時的彎矩圖支座彎矩取左右兩跨較小者5050707090第一跨：第二跨：第三跨：90例：圖示連續梁，已知：Mu1=50kN.m，Mu2=70kN.mMu3=90kN.m，求Pu。P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5P3m2m2m2m3m8mMu1Mu2Mu3P↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ2θP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=0.2P1.5P1.5PΔθ1.5θΔθ2θ一、預備知識：1、前提條件比例加載：荷載按同一比例增加，且不卸載。假設材料為理想彈塑性材料。截面的正負極限彎矩絕對值相等。且忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響2、極限受力狀態應當滿足的一些條件1、平衡條件：2、內力局限條件：│M│≤Mu3、單向機構條件：在極限受力狀態中，出現足夠數量的塑性鉸使結構變成機構，能夠沿荷載作正功的方向做單向運動。3、兩個定義1、對于任意單向破壞機構，用平衡條件求得的荷載值稱為可破壞荷載P+(滿足1、3條）2、如果對某個荷載，能找到一內力狀態與之平衡且各截面內力都不超過極限值，則此荷載稱為可接受荷載P－(滿足1、2條）極限荷載既是可接受荷載，又是可破壞荷載。§15-4比例加載時判定極限荷載的一般定理二、一般定理及其證明1）基本定理：P+≥P－

證明：取任一P+列虛功方程

P+Δ=∑│Mui││θi│再取任一P－列虛功方程

P－Δ=∑│M－i││θi│根據：M－i≤│Mui│∑│M－i││θi│≤∑│Mui││θi│∴P+≥P－2）唯一性定理:

Pu的值是唯一確定的。

證明：設存在Pu1，Pu2

將Pu1視為P+，Pu2視為P－

則有：Pu1≥

Pu2將Pu2視為P+，Pu1視為P－

則有：Pu2≥

Pu1∴Pu2=

Pu13）上限定理(極小定理)：可破壞荷載是極限荷載的上限。或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。證明：因為極限荷載是可接受荷載，所以由基本定理它小于可破壞荷載。Pu≤P+4）下限定理(極大定理)：可接受荷載是極限荷載的下限。或者說，極限荷載是可接受荷載中的極大者。證明：因為極限荷載是可破壞荷載，所以由基本定理它大于可接受荷載。Pu≥P－上、下限定理可用來求極限荷載的近似解，給出精確解的范圍。也可用來尋求精確解。為了求極限荷載，可列出所有可能的破壞機構，利用極限平衡法一一求出所對應的可破壞荷載，其中最小的即極限荷載。（窮舉法或機構法，基于上限定理）。選一破壞機構，利用極限平衡法求出相應的破壞荷載，作出彎矩圖檢查各截面彎矩是否大于其極限彎矩，即檢查是否滿足內力局限條件。若滿足，所得可破壞荷載即極限荷載；若不滿足，則另選一破壞機構繼續計算。（試算法，基于唯一性定理）l/2l/2Pl/32l/31.2PABC例:已知等截面梁的極限彎矩為Mu，用試算法求Pu解：①取第一跨的破壞機構。P1.2PABC相應的彎矩圖P1.2PABC②由平衡條件求相應的可破壞荷載：E③求出各截面彎矩均<Mu既是可破壞荷載,又是可接受荷載。MuMu

例：15-5設有一n跨連續梁，每跨為等截面，但各跨梁的橫截面可以相同也可以不相同。試證明此連續梁的極限荷載就是每個單跨破壞機構相應的可破壞荷載中的最小者。證明：n個單跨破壞機構→根據唯一性定理：已知是一可破壞荷載，還需證明它也是一可接受荷載作用下存在一個可接受的彎矩圖,它是可接受荷載.所以:MuMuP1.2PABC作用下的彎矩圖ME=MuE作用下ME<Mu↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qlACx解：A處形成一塑性鉸塑性鉸C的位置待定。θAΔθc例15-4用下限定理求圖示梁的極限荷載。1.375Mu0.05Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P例求等截面梁的極限荷載,Mu=常數.解法1：試算法①取一破壞機構求其對應的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內力狀態是否滿足內力局限條件.③內力狀態不滿足內力局限條件0.5Mu0.75Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①再取破壞機構求其對應的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內力狀態是否滿足內力局限條件.③內力狀態滿足內力局限條件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范圍或近似解①取一破壞機構求其對應的破壞荷載3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl②檢驗內力狀態是否滿足內力局限條件.③內力狀態不滿足內力局限條件1.375Mu0.5Mul/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P解法2：用上、下限定理求解的范圍或近似解3P4P2PMuMuM圖不滿足內力局限條件，將其乘以1/1.375進行折減，就滿足了內力局限條件。④Mu0.36Mu3P4P2P0.72Mu0.72Mu相應的荷載便成為可接受荷載：⑤由上、下限定理知：⑥若取平均值為極限荷載的近似值，則得到：l/4l/4l/43PABDCl/4E4P2P①考慮A、C出現塑性鉸而形成的破壞機構3P4P2PMuMu3P4P2P5P4P1.5Pl1.25PlPl解法3：窮舉法3P4P2PMuMu3P4P2PMuMu③考慮A、E出現塑性鉸而形成的破壞機構②考慮A、D出現塑性鉸而形成的破壞機構例：試用窮舉法和試算法求圖12-7（a）所示連續梁的極限荷載。各跨極限彎矩Mu相同。解：窮舉法：由AB跨獨立破壞得：由BC跨獨立破壞得：由CD跨獨立破壞得：E解：試算法：選取破壞機構如圖（c），列虛功方程：所以可破壞荷載為：演算屈服條件，可見當x<1時，MA、M1、M2均小于Mu，說明屈服條件得到滿足。根據單值定理得：

注意：①由于連續梁容易給出所有的破壞機構，求極限荷載用窮舉法比用試算法簡單。②同一結構在同一荷載作用下，其極限內力狀態可能不止一種，但與各極限內力狀態相應的極限荷載值是相同的。也就是說極限荷載值是唯一的，而極限內力狀態則不一定是唯一的。在剛架中塑性鉸的形成還要受到軸力的影響。不過在軸力較小時，可忽略其影響。Pu2lABDCPlMuMuMuMuθθ三次超靜定結構，形成四個塑性鉸，進入極限狀態，破壞機構只有一種可能列虛功方程：或列水平投影平衡：Pu2Mu/l2Mu/l§15-5剛架的極限荷載如能完備的列出來可能的破壞機構，并求出各機構相應的可破壞荷載剛架各種可能破壞機構基本機構：梁機構、

梁機構側移機構、側移機構結點機構結點機構組合機構：將兩種或兩種以上的基本機構組合。剛架的基本機構數m=h－n超靜定次數可能出現的塑性鉸總數在不同基本機構中，如某塑性鉸轉向相反，組合后該塑性鉸閉合。這種求Pu方法稱為窮舉法。一般情況下，n次超靜定結構出現（n+1）個塑性鉸后，形成破壞機構。MuMu2Mu例：求圖示結構的極限荷載。PuMuMuMuMuθθ2PuABDCP2PABDCP2P梁機構側移機構結合機構塑性鉸C閉合對側移機構對梁機構θθ2θ對組合機構θθ2θθθABDCP1.5l2PllE基本機構數：MuP2PMuMu0.44Mu2Mu由上例可知：當不考慮軸力影響時，只要能完備地定出剛架的各種可能的破壞機構，則不難根據上限定理求出其極限荷載。但是，在復雜情況下，欲無遺漏地定出所有可能的破壞機構是比較困難，而且一一尋求各自的可破壞荷載，再去進行比較也是相當麻煩。為此，可采用試算法：求出與它相應的可破壞荷載并繪出剛架的彎矩圖，先假定一破壞機構，如果滿足，則此可破壞荷載也是可接受荷載，由唯一性定理知它就是極限荷載。然后再檢查它的彎矩圖分布是否滿足屈服條件，選擇破壞機構和進行機構組合時，應使外荷載作的功盡可能的大些，而塑性鉸處極限彎矩所作的功盡可能的小些。為此，在挑選基本機構進行組合時，應盡量使較多的塑性鉸閉合，而達到塑性鉸處極限彎矩所作的功較小，由這樣的破壞機構求得的可破壞荷載就會較小，有可能是極限荷載。試算法對梁機構MuMu2MuABDCP2P梁機構θθ2θ2MuMuMuABDC2P(4.5－x)Mu設MB=xMu則：必有MB或MA>MuxMu1.5lllMuNCD=-QDBCA對組合機構ABDCP2P結合機構θθ2θθθMu2MuMuMu前例求出MCE=0.44Mu。

各截面彎矩≤Mu1.5lllABDC2PE2PMuMCE所以:既是可破壞荷載又是可接受荷載？P2P3m3m3m3m