課件1第一章

真空中的靜電場2023/2/2課件2§1.1電荷與庫侖定律1.電荷與電荷守恒定律2.庫侖定律3.兩任意帶電體間的靜電力

2023/2/2課件3§1.1.1電荷與電荷守恒定律1、電荷：（1）摩擦起電（2）兩種電荷任何物體本身都有電荷，只不過數量相等。自然界只有兩種電荷，正電荷和負電荷2023/2/2課件4正負電荷的定義按慣例即富蘭克林當初的定義：在室溫下絲綢摩擦過的玻璃棒所帶的電荷稱為正電荷；毛皮摩擦過的橡膠棒所帶的電荷稱為負電荷。圖1.1美國科學家富蘭克林2023/2/2課件52、電荷的特點：（1）電荷的性質：同種電荷相斥，異種電荷相吸（2）電量：物體所帶電荷的數量 測量電量的儀器：驗電器、靜電計電子電量1.602176462(83)×10－19C（1999年數據）2023/2/2課件6（3）電子的發現及其電荷測量1891年，英國斯通尼：電的自然單位electon1897年，Thomson發現電子，并用荷質比測量了陰極射線粒子的荷質比：e/m＝107~3×107

榮獲1906年的諾貝爾物理獎1898年，斯托克斯測量電荷最小單位

e＝5×10-10靜電單位1906－1908年，美國密立根用油滴實驗，測定電荷最小單位是e＝4.06×10-10靜電單位，由此榮獲1923年的諾貝爾獎2023/2/2課件7圖1.2電子的發現者湯姆遜(J.J.Thomson)圖1.3美國物理學家密立根(R.A.Milliken)2023/2/2課件820世紀60年代物理學家提出了一種更基本的粒子——夸克(quark)但都不是以自由狀態存在，而是被禁閉在強子內部，不能脫離強子自由運動。帶電量為e/3，和2/3e，即基本電荷電量變小。2023/2/2課件9圖1.42023/2/2課件10圖1.52023/2/2課件11（1）電磁學意義上的點電荷當一個帶電體本身的線度比所研究的問題中所涉及的距離小很多時，該帶電體的形狀與電荷與其上的分布狀況均無關緊要，該帶電體就可以看作一個帶電的點，叫點電荷，因此它是一個相對的概念。（2）電荷的量子性實驗發現：自然界中，電荷總是以一個基本單元的整數倍出現。（3）電荷是物質的基本屬性不存在不依附物質的單獨電荷3、點電荷2023/2/2課件12（4）電子是點電荷

電子電荷集中在半徑小于10-18m的小體積內

（5）電荷對稱性－反粒子1931年狄拉克預言反電子－正電子的存在1932年Anderson發現反電子(e+)。近代高能物理發現，對于每種帶正電荷的基本粒子，必然存在與之對應的帶等量負電荷的另一種基本粒子－反粒子（6）電子是實物粒子，具有波粒二象性1924年，法國物理學家德布羅意(L.V.deBoglie)提出電子具有波粒二象性，奠定了量子力學的基礎2023/2/2課件13圖1.6世界上首次發現反物質的科學家趙忠堯院士圖1.7丁肇中教授領導建立的α磁譜儀2023/2/2課件14圖1.8在太空中尋找反物質的α磁譜儀2023/2/2課件154、電荷守恒定律電荷守恒定律對于一個系統，如果沒有凈電荷出入其邊界，則該系統的正負電荷的電量代數和將保持不變，稱為電荷守恒定律。電荷只能發生改變，從一個物體轉移到另外一個物體，或者從物體的一部分轉移到另外一部分。2023/2/2課件16討論:物理學的基本規律適用于一切宏觀和微觀過程，在所有的慣性系中都成立，是一個相對論性不變量。與電荷的量子屬性有關與電子的穩定性有關（>1021年）近年來電荷不守恒的實驗報道，中子衰變過程中有中子衰變，由此認為中子的電荷不守恒，概率與電荷守恒的衰變概率之比為7.9×10-21。電子電量的絕對值與質子電量精確相同，保持物體的電中性，否則會大大超過引力，不可能形成星體的。2023/2/2課件17數學表達式F12是電荷1對電荷2的作用力，q1和q2是點電荷1和2的電量，r12是兩點電荷間的距離，er是兩點電荷間的單位矢量，k是比例系數2對1的作用力F21和1對2的作用力F12滿足牛頓第三定律：2023/2/2課件18圖1.9庫侖扭秤實驗裝置2023/2/2課件19比例系數K值的確定

K的數值、量綱與單位制的選擇有關。在國際單位制（SI）中，電量單位是庫侖（C），距離單位m，力單位N，

是物理學中一個基本物理常量，稱為真空電容率或真空介電常量。由實驗確定K值為：

k=8.987551787×109Nm2/C2由此可確定的值，=8.854187817×10-12C2/(Nm2)2023/2/2課件203、庫侖定律的說明是一條實驗定律成立的條件是真空和靜止真空的條件只是為了除去其他電荷的影響和周圍的感應和極化等因素的影響，不是必要條件。靜止要求兩電荷相對靜止，或者靜止電荷對運動電荷的作用力；但不能推廣到運動電荷對靜止電荷的作用力。兩靜止電荷間的作用力是有心力適用范圍r：10－15cm到109cm尺度范圍2023/2/2課件214、庫侖定律與萬有引力的比較電力與引力的比較（1）平方反比定律，精確度不一樣（2）是自然界的兩種基本力,都是長程力（3）作用的轉播子不一樣場作用力光子，引力子（？）（4）作用強度不同萬有引力最弱的四大力，僅為電磁力的10-37（5）電力可以屏蔽，而引力無從屏蔽2023/2/2課件22（1）都是物體的一種屬性（2）都遵守平方反比定律（3）遵循守恒定律（4）質量只有一種，而電荷有正負之分（5）質量有相對論效應，而電荷無相對論效應（6）電荷具有量子性，而質量無量子性5、電荷與質量的比較2023/2/2課件23§1.1.3兩任意帶電體間的靜電力

靜電力的疊加原理實驗表明，不管一個體系中存在多少個點電荷，每一對點電荷之間的作用力都不會因其他電荷的存在而改變，都服從庫侖定律。任一點電荷所受到的力等于所有其他點電荷單獨作用于該點電荷的庫侖力的矢量和。這稱為靜電力的疊加原理。2023/2/2課件24（1）點電荷體系之間的庫侖力設有n個點電荷組成的體系，第j個點對第i個點電荷的作用力為Fij，rij為它們的距離，根據疊加原理，qi受到的合力為：2023/2/2課件25（2）各種帶電體系對靜止點電荷的作用力把帶電體分割為許多“電荷元”部分，對靜止點電荷作用時均可將“電荷元”當作點電荷處理，這樣，整個帶電體就與點電荷系統等效。“電荷元”的物理意義宏觀無窮小的帶有一定電荷量的元（點）即點電荷這種抽象模型在帶電體的具體體現。2023/2/2課件26（2）各種帶電體系對靜止點電荷的作用力為此，引入電荷密度概念：

體電荷密度： 面電荷密度：線電荷密度：

2023/2/2課件27利用疊加原理，可以求體帶電體、面帶電體、線帶電體對點電荷的作用力分別為：（2）各種帶電體系對靜止點電荷的作用力2023/2/2課件28（3）各種帶電體系之間的作用力具體表達式V’、ρ’的體帶電體對V、ρ的體帶電體靜電作用力：2023/2/2課件29S’、σ’的面帶電體對S、σ的面帶電體靜電作用力：L’、λ’的線帶電體對L、λ的線帶電體靜電作用力：2023/2/2課件30§1.2電場與電場強度

1.電場及電場強度2.場強疊加原理與任意帶電體的電場強度2023/2/2課件31§1.2.1電場及電場強度

1、電場（1）相互作用的傳遞，爭論的兩種觀點：超距作用：不需要任何媒介，不需要時間的傳遞近距作用：通過接觸或媒介，作用需要時間

A.A.Michelson測量“以太”的“零”的結果獲得了1907年的諾貝爾獎2023/2/2課件32（2）場的概念（1）電荷在自己的周圍地方產生電場或激發電場，電場對處在場內的其他電荷有力作用；（2）電荷受到電場的作用力僅由其所處的電場決定，與其他地方的電場無關；

（3）電場和磁場與實物一樣，具有動量和能量，服從一定的運動規律，可以脫離電荷和電流單獨存在，是物質的一種形式。2023/2/2課件33圖1.10英國偉大的物理學家法拉第（Faraday）場概念的提出者持近距作用觀點的學者2023/2/2課件34（3）靜電場的概念定義帶電體上的電荷分布如果是不隨時間變化的靜止電荷，那么其周圍空間中的電場分布也是不隨時間變化的電場，這種電場稱為靜電場。2023/2/2課件352、電場強度矢量E（1）試探點電荷為定量研究電場，引入試探點電荷：電量充分小，不會改變被研究物體的電荷或電場分布；線度充分小，即可以把它看作是點電荷。2023/2/2課件36（2）電場強度設試探點電荷q0在r處受到的電場力為F0，則F0應正比于r處的電場強度E(r)，有：

E(r)是一個與試探點電荷無關、完全反映r處空間電場本身特性的物理量，稱為r處的電場強度，簡稱場強。2023/2/2課件37（3）場強的表述電場內任意一點的場強，其大小等于單位正電荷在該處所受電場力的大小，其方向與正電荷在該處所受電場力的方向一致。是矢量場可以和帶電物體相互作用，交換能量單位：牛頓/庫侖(N/C)，常用單位為V/m2023/2/2課件38（4）點電荷的電場點電荷q的位置設為坐標原點，在r處放置一試探點電荷q0，則由試探點電荷所受的庫侖力可得到點電荷產生的電場強度為：特點：球對稱；方向從正源電荷指向場點或場點指向負源電荷。2023/2/2課件39圖1.11正點電荷產生的場強分布2023/2/2課件40§1.2.2場強疊加原理與任意帶電體電場的電場強度

1、場強疊加原理由靜電力的疊加原理及場強的定義可得：

點電荷組所產生的電場在某點的場強等于各點電荷單獨存在時所產生的電場在該點的矢量疊加，叫做場強疊加原理2023/2/2課件412、各種帶電體的場強公式（1）點電荷系空間點電荷系的電場強度，可由靜電力的疊加原理或電場的疊加原理求得：r為所求點的矢徑，ri是第i個電荷的矢徑。2023/2/2課件42（2）電荷元電荷元dq

產生的電場強度為：

電場強度是矢量，滿足疊加原理，由此很容易求得帶電體在空間的電場強度。2023/2/2課件43（3）連續帶電體利用電荷元產生的電場，滿足場強疊加原理，或者庫侖力的疊加原理，可得：2023/2/2課件44（4）典型例子電偶極子由一對靠的很近，等量異號電荷構成的帶電體系，稱為電偶極子；是點電荷之后最簡單而且重要的帶電系統。圖1.12電偶極子的場強分布2023/2/2課件45線電荷圖1.13均勻帶電圓環的場強計算2023/2/2課件46面電荷圖1.14均勻帶電無窮大平板的場強計算2023/2/2課件47面電荷圖1.15均勻帶電球殼在球心處的場強計算2023/2/2課件48體電荷圖1.16均勻帶電球體的場強計算2023/2/2課件49§1.3高斯定理1、電場線與電通量2、高斯定理及其應用2023/2/2課件50§1.3.1電場線與電通量

1、電場線（電力線）為了形象描述客觀存在的電場的分布，引入電場線給出場強分布的直觀圖像。定義：電場線上每一點的切線方向與相應點場強方向一致；電場線的數密度與該點的場強的大小成正比。

電場線的數密度，就是通過垂直于場強方向的單位面積的電場線的條數。2023/2/2課件512、電場線的性質電場線起自正電荷或無窮遠，終止于負電荷或無窮遠；若體系正負電荷一樣多，則正電荷發出的電場線全部終止于負電荷；兩條電場線不會相交；靜電場中的電場線不會形成閉合曲線。這些基本性質是由靜電場的基本性質和場的單值性決定的。2023/2/2課件523、一些典型電荷分布的電場線圖1.17正點電荷電場的電場線圖1.18負點電荷電場的電場線2023/2/2課件53圖1.19兩等量正點電荷電場的電場線圖1.20兩等量異號點電荷電場的電場線2023/2/2課件54圖1.21兩不等量異號點電荷電場的電場線圖1.22三點電荷電場的電場線圖1.23正方形四角上的四個點電荷電場的電場線2023/2/2課件554、電通量（1）定義

電通量的正負取決于場強與曲面的法線方向的夾角θ。

曲面法線方向的規定：開曲面：凸側一方的外法線方向為正；閉曲面：外法線方向為正，內法線方向為負。2023/2/2課件56圖1.24穿過某一截面的電場線和電通量2023/2/2課件57（2）立體角面元dS的邊緣上各點到頂點引線所構成的空間立體的“頂角”，稱為立體角。圖1.25面元對點電荷所張的立體角2023/2/2課件58（3）電通量的特點電通量是標量電場線不均勻或曲面不均勻時，電通量的計算：由電場的疊加原理可推出電通量也滿足疊加原理：2023/2/2課件59§1.3.2高斯定理及其應用

1、高斯定理表述：通過一個任意閉合曲面S的電通量等于該曲面所包圍的所有電量的代數和除以，與閉合曲面外的電荷無關。可由庫侖定理和場強疊加原理導出；直接運用高斯定理求場強的情形，必須具有一定的對稱性。2023/2/2課件60圖1.26德國數學家和物理學家高斯(1777-1855)2023/2/2課件61（1）通過包圍點電荷q的閉合曲面的電通量都等于q/點電荷的電場通過面元dS通量：對于包圍該點電荷的閉合曲面S對點電荷所張的立體角為：故通過的電通量為：2023/2/2課件62圖1.27點電荷在不同形狀的封閉曲面之內，其場線穿進穿出的次數總為奇數，面元對點電荷的所張立體角的積分總為4π。2023/2/2課件63（2）通過不包圍點電荷q的任意閉合曲面的電通量恒為0點電荷在閉合曲面之外時，從某個面元進入的電通量必然從另一個面元穿出。故兩面元對該點電荷所張立體角大小相等，符號相反，代數和為0，所以整個閉合曲面對外部的點所張的立體角恒為0。故外部點電荷通過任意閉合曲面的電通量恒為0。2023/2/2課件64圖1.28點電荷在不同形狀的封閉曲面之外，其場線穿進穿出的次數總為偶數，面元對點電荷的所張立體角的積分總為0。2023/2/2課件65（3）多個電荷q的電通量等于它們單獨存在時的電通量的代數和若電場由一組點電荷q1，q2，..qN共同產生，用E1，E2，..EN分別代表各點電荷單獨產生的場強。設有一任意封閉曲面S，它把q1，q2，..qi包圍在內部，把qi+1，qi+2，..qN包圍在外部，由疊加原理，總電場E對封閉曲面的電通量為：2023/2/2課件66圖1.29電場對封閉曲面的通量只與曲面所包圍的電荷有關2023/2/2課件67（4）對于封閉曲面包圍具有一定體分布的電荷，其電荷體密度ρ已知，高斯定理的表達式？2023/2/2課件68（5）討論高斯定理表明靜電場是有源場高斯面上的電荷問題高斯定理中的E問題高斯定理給出的只是電通量和電荷的關系高斯定理的微分形式：高斯定理與庫侖定律的關系2023/2/2課件692、高斯定理應用（1）在電荷分布具有某種對稱性，從而使場分布也具有某種對稱性時，可以直接用高斯定理通過電荷分布求得場的分布球對稱的電場軸對稱的電場無限大帶電平面的電場2023/2/2課件70圖1.30均勻帶電球殼的電場2023/2/2課件71圖1.31無限大均勻帶電平面的電場2023/2/2課件72圖1.32均勻帶電球體中球形空腔的電場2023/2/2課件73（2）高斯定理求解場強利用高斯定理求電場場強的關鍵是：根據帶電系統電荷分布的對稱性分析出電場分布的對稱性；根據電場分布的對稱性選取適當的高斯面；最后通過高斯定理求出場強。2023/2/2課件74§1.4靜電場的環路定理與電勢1、點電荷電場無旋性2、靜電場的環路定理3、電勢差與電勢4、電勢的計算與由電勢求電場2023/2/2課件75§1.4.1點電荷電場無旋性1、靜電場的環量（環流）是靜電場的另一個重要性質。對任一閉合曲線，靜電場沿該閉合曲線一周的積分稱為靜電場的環量。對一般矢量場，環量反映了它的旋轉程度。2023/2/2課件762、靜電場中的功試探電荷q0在靜電場E中，沿閉合路徑L緩慢移動，則電場所作的功為：靜電場的環量表示靜電場對沿該閉合路徑移動的單位正電荷所作的功。2023/2/2課件77設E是由點電荷q所產生的靜電場，則考慮閉合曲線L的PQ段，將試探電荷從P點移到Q點，電場所作的功為：點電荷產生的靜電場對試探電荷所作的功，只與試探電荷的起點和終點位置有關，而與路徑L無關。2023/2/2課件783、點電荷的電場環量由此，對閉合回路L，則有：上式表明，對點電荷的電場環量都為0，即其電場是無旋場。由疊加原理可知，對靜止點電荷系或帶電體所產生的靜電場的環量亦為零。任何靜電場的環量都為零，即靜電場是無旋場。2023/2/2課件79§1.4.2靜電場的環路定理

1、表述：靜電場中場強沿任意閉合環路的線積分，即環量恒為0。換一種說法：靜電場力作功與路徑無關。其表達式：2023/2/2課件802、討論環路定理的微分形式（由附錄Ⅳ中斯托克斯定理可得）：電場的這個性質來源于庫侖力的有心力特性，而不是平方反比定律；由此可以證明，靜電場的電場線不可能是閉合曲線。2023/2/2課件81§1.4.3電勢差與電勢

1、保守力場任何作功與路徑無關的力場，叫做保守力場或勢場。在這類場中可以引入“勢能”的概念，如引力勢能。2、靜電場是保守力場由靜電場的環路定理，電場力作功與路徑無關的性質，可知靜電場是保守力場。2023/2/2課件82圖1.33靜電場力作功與路徑無關，靜電力是保守力。試探點電荷q0沿QAPBQ一周作的功為0，即2023/2/2課件833、靜電場是有勢場保守力場必是有勢場，因此可以引入電勢差和電勢的概念。（1）電勢能靜電場中，當把試探電荷由P點移到Q點時，電場力作的功應當等于由P點到Q試探電荷電勢能的減少：2023/2/2課件84試探電荷電勢能的減少：WP稱為P點的電勢能，通常把無窮遠處的電勢能作為參考點（零點），即：電勢能單位是能量的單位：焦耳（J）2023/2/2課件85（2）電勢與電勢差試探電荷q0克服電場力作功，WPQ/q0與試探電荷無關，只與靜電場的性質有關。這個量定義為電場中P、Q兩點間的電勢差，或稱電勢降落、電壓。從P到Q移動單位正電荷時電場力所作的功，或者說，單位正電荷的電勢能差。2023/2/2課件86通常取無窮遠處電勢為0，則P點的電勢：PQ兩點的電勢差為：

由電場的環路定理可知，對閉合回路積分為零，即即與選取的參考電勢無關，與積分路徑也無關。2023/2/2課件87對于相距無限小dL的兩點，電勢改變量表達式為：電勢是標量零點電勢的選取問題：無窮遠、大地、人為設定的固定位置電勢的單位：伏特（1V＝1J/C）2023/2/2課件88§1.4.4電勢的計算與由電勢求電場1、電勢的一般表達式（1）點電荷的電勢：（2）電勢疊加原理：（3）N個點電荷組成的點電荷組的電勢：

2023/2/2課件89（4）帶電體的電勢對體帶電體、面帶電體和線帶電體，若其電荷密度已知分別為：則其電勢分別為：2023/2/2課件90圖1.34帶電體的電勢2023/2/2課件912、等勢面（1）等勢面 從電勢的定義及其一般表達式可知，電勢為空間坐標的標量函數，是標量場。通常用等值面進行形象的幾何描述。

電勢相等的點所組成的面叫做等勢面。

即在同一等勢面上，電勢處處相等。2023/2/2課件92圖1.35正負點電荷的等勢面圖1.36兩個正電荷的等勢面2023/2/2課件93（2）等勢面的特性一根電場線不可能與同一等勢面相交兩次或多次；等勢面與電場線處處正交，即空間共點的電場強度應與該處的等勢面垂直；電場強度的大小可用等勢面的疏密程度來量度。2023/2/2課件943、電勢梯度三個非常靠近的等勢面A,B和C，電勢分別為U-ΔU,U,U+ΔU，單位點電荷從B移至C，電場力作的功等于電勢能的減少，或

即：

改變相同的ΔU，沿不同的方向，由于ΔL的不同，EL的改變也不相同。2023/2/2課件95（2）電勢梯度對此，在數學中，對于任何一個標量場，可以定義其梯度，梯度是指一個物理量的空間變化率，或者說是對空間坐標的微商。電勢是標量場，定義其梯度為：該矢量的大小等于標量函數沿其等值面的法線方向的方向微商，方向為沿等值面的法線方向2023/2/2課件964、電勢與電場的關系（1）當L取法線方向時，電勢在該方向的變化率最大，亦即電勢的梯度最大。（2）矢量絕對值最大的分量就是矢量本身，因此可得電場強度的大小：2023/2/2課件97（3）由電勢U求出場強E由電勢梯度的定義，可得：即靜電場中任何一點的電場強度的大小在數值上等于該點電勢梯度的大小，方向與電勢梯度的方向相反，指向電勢降落的方向。2023/2/2課件98（4）微商運算符直角坐標系中：球坐標系中：球坐標系中：2023/2/2課件995、應用舉例求電偶極子的電勢及電場分布圖1.37電偶極子的電勢及電場分布2023/2/2課件100求均勻帶電圓盤軸線上電勢及電場強度圖1.38均勻帶電圓盤的電勢及電場分布2023/2/2課件101求均勻帶電球殼的電勢及電場強度圖1.39均勻帶電球殼的電勢和電場2023/2/2課件102§1.5電場對帶電系統的作用

帶電系統的電場力

處于外電場中的點電荷q受外電場的作用力為

這里受力的點電荷q不再局限于試探電荷。外電場是指與受力電荷無關的施力電荷產生的電場。2023/2/2課件103外電場對帶電體的作用力處于外電場中的點電荷組、體電荷、面電荷、線電荷，受外電場的作用力分別為：2023/2/2課件104特殊情況當施力帶電體和受力帶電體的總場強Et容易求得，而施力帶電體的場強不易求時，可用總場強減去受力電荷元在自身處產生的場強ΔE，這樣就把受力帶電體各部分之間的相互作用內力計入總力中了，由于受力帶電體的各部分相互作用的內力和為0，并不影響最后得到的受力物體受到的作用力的結果。適用于體電荷元和面電荷元；而不適用于線電荷元。2023/2/2課件105第一章小結點電荷電荷守恒庫侖定律疊加原理電場強度高斯定理環路定理電勢2023/2/2課件106第二章靜電場中的導體和電介質

2023/2/2課件107第二章靜電場中的導體和電介質§2.1物質的電性質§2.2靜電場中的導體§2.3電容和電容器§2.4靜電場中的電介質§2.5電介質中靜電場的基本定理§2.6邊值關系和有介質存在時的唯一性定理2023/2/2課件108§2.1物質的電性質

1、導體、絕緣體與半導體2、物質的電結構2023/2/2課件109§2.1.1導體、絕緣體與半導體

1、根據導電能力的強弱，通常把物質分為三類：導體電荷很容易在其中移動的物質。電阻率范圍：10-8Ωm

～10－5Ωm

絕緣體轉移和傳導電荷能力很差的物質。 電阻率范圍：106Ωm

～1018Ωm

半導體介于這兩者之間的物質。電阻率范圍：10－6Ωm

～106Ωm2023/2/2課件1102、等離子體和超導體部分或完全電離的氣體，由大量自由電子和正離子以及中性原子、分子組成的電中性物質系統。是有序態最差的聚集態。是宇宙物質存在的主要形態，宇宙中99.9%的物質是等離子體。超導體處于電阻為零（10－28Ωm）的超導狀態的物體。2023/2/2課件111圖2.1北極光圖2.2太陽風2023/2/2課件112圖2.3宇宙中的星云圖2.4中科院合肥等離子研究所的超導托卡馬克HT－7U裝置2023/2/2課件113圖2.5超導體的發現者荷蘭物理學家默林-昂納斯2023/2/2課件114§2.1.2物質的電結構

導體中存在大量的“自由電荷”（載流子）絕緣體中有大量的“束縛電荷”，幾乎沒有載流子。半導體中的載流子主要是雜質電離出來的電子和空穴。超導體中的超導電子，實際上是電子對（庫珀對）2023/2/2課件115§2.2靜電場中的導體

1、靜電平衡與靜電平衡條件2、靜電平衡導體上的電荷分布3、導體殼與唯一性定理

2023/2/2課件116§2.2.1靜電平衡與靜電平衡條件

靜電平衡

當帶電系統的電荷分布狀態穩定不變，從而其電場分布也不隨時間變化時，稱該帶電系統達到了靜電平衡。均勻導體的靜電平衡條件導體內的場強處處為零。“均勻”是指質料均勻，溫度均勻。推斷其電場分布特點

（1）導體是個等勢體，導體表面是個等勢面（2）靠近導體表面外側處的場強處處與表面垂直2023/2/2課件117§2.2.2靜電平衡導體上的電荷分布特點

（1）體內無電荷，電荷只分布在導體表面；（2）導體表面的面電荷密度與該處表面外附近的場強在數值上成比例：（3）表面的曲率影響面電荷密度，進而影響場強，尖端放電現象。即導體尖端附近場強強，平坦地方次之，凹進去的地方最弱。2023/2/2課件118圖2.6面電荷密度分布示意圖2023/2/2課件1192、導體在靜電場中性質的應用避雷針場致發射顯微鏡感應起電機2023/2/2課件120圖2.7避雷針工作原理2023/2/2課件121圖2.8場離子顯微鏡原理圖2.9場致發射掃描式電子顯微鏡（分辨率1nm，放大率6.5×105）2023/2/2課件122圖2.11范德格拉夫起電機示意圖圖2.10范德格拉夫起電機展示圖2023/2/2課件123§2.2.3導體殼與唯一性定理

（1）腔內無帶電體情形基本性質當導體腔內無帶電體時，靜電平衡下，導體殼的內表面處處無電荷，電荷只分布在外表面上；空腔內沒有電場，空腔內電勢處處相等。法拉第圓筒內表面無電荷的實驗驗證。庫侖平方反比定律的精確驗證2023/2/2課件124（2）腔內有帶電體情形基本性質 當導體殼腔內有其它帶電體時，在靜電平衡狀態下，導體殼的內表面所帶電荷與腔內電荷的代數和為0。靜電屏蔽如前所述，導體殼的外表面保護了它所包圍的區域，使之不受導體殼外表面上的電荷或外界電荷的影響，這個現象稱為靜電屏蔽。2023/2/2課件125圖2.12靜電屏蔽圖2.12(a)腔內無電荷圖2.12(b)腔內有電荷圖2.12(c)導體腔接地圖2.12(d)c的等效圖2023/2/2課件126（3）靜電場邊值問題的唯一性定理問題的提出通過給定各個導體的形狀、大小、導體的相對位置、各個導體的電勢或電量以及包圍電場空間的邊界面上的電勢（稱為邊界條件），靜電場的解是否存在？這是靜電學的典型問題，稱為靜電場的邊值問題。如果靜電場解存在的話，它是否唯一，即解的唯一性問題？這在電磁學中稱為唯一性定理。2023/2/2課件127唯一性定理的表述當給定電場的邊界條件，即給定包圍電場空間的邊界面S上的電勢US，給定S面內各導體的形狀、大小及導體之間的相對位置，同時再給定下列兩條件之一：S面內每個導體的電勢Ui；S面內每個導體上的總電量qi；i為導體的編號，則在以S為邊界面的電場空間內滿足高斯定理和環路定理的靜電場解是唯一的。2023/2/2課件128三個引理一、在無電荷的空間里電勢不可能有極大值和極小值。二、若所有導體的電勢為0，則導體以外空間的電勢處處為0。三、若所有導體都不帶電，則各導體的電勢都相等。2023/2/2課件129唯一性定理的證明及鏡像法的引入分別給定下列邊界條件之一的唯一性定理的證明：邊界條件為給定每個導體的電勢情況；邊界條件為給定每個導體的電量情況；電像法的引入接地導體殼的靜電屏蔽作用2023/2/2課件130§2.3電容和電容器

1、孤立導體的電容2、電容器及其電容的計算3、電容器的串并聯

2023/2/2課件131§2.3.1孤立導體的電容

“孤立”導體是指該導體附近沒有其它導體和帶電體。理論和實驗表明，孤立帶電導體的電勢與其電量q成比例。比例系數是一個只與孤立導體幾何形狀有關，而與U、q無關的量，稱為孤立導體的電容。單位：法拉F，1F=1C/V=106uF=1012pF2023/2/2課件132§2.3.2電容器及其電容的計算

1、電容器由導體殼和其腔內的導體組成的導體系統叫做電容器。組成電容器的兩個導體面叫做電容器的極板。電容CAB與兩導體的尺寸、形狀和相對位置有關，與qA和UA－UB無關。2023/2/2課件133圖2.13電容器圖2.14常用的電容器2023/2/2課件1342、電容器電容的計算一般先計算兩極板間的電場強度，再計算兩極板間的電勢差，最后由電容器電容的定義公式計算出電容。（1）平行板電容器的電容（2）同心球面電容器的電容（3）同軸圓柱形電容器的電容2023/2/2課件135圖2.15平行板電容器圖2.16同心球面電容器圖2.17同軸圓柱形電容器2023/2/2課件136§2.3.3電容器的串并聯

1、電容器的并聯（增加電容量）總電容等于各個電容器電容之和。

C＝C1＋C1＋…＋Cn圖2.18電容器并聯2023/2/2課件1372、電容器的串聯可增加耐電壓能力，但很少使用。總電容的倒數等于各個電容器的倒數之和。

圖2.19電容器串聯2023/2/2課件138電容器的幾點說明1、電容器是一種特殊的兩導體系統利用導體殼的屏蔽作用使空腔內的電場分布僅由電容器的兩極板的幾何形狀和相對位置決定，且兩極板的帶電量一定是等量異號的。所謂導體的幾何形狀就是指兩極板的幾何形狀，電容器的電量就是任一極板上的電量。2、任意導體組，當導體帶電并達到靜電平衡時，每個導體上有一定的電荷分布，有一定的總電量和一定的電勢。其中任意兩導體之間都有電容，但并不完全取決于自己的幾何形狀和相對位置，與周圍其他導體都有關。在這種情況下，一般不稱這兩個導體為電容器。2023/2/2課件139§2.4靜電場中的電介質

1、電介質的極化2、極化強度與退極化場3、電介質的極化規律2023/2/2課件140§2.4.1電介質的極化

1、電介質（dielectrics）

是絕緣體，內部大量的束縛電荷。與導體和靜電場的相互作用，既有相似之處，但也有重要差別。都會在電場作用下出現宏觀電荷，反過來影響電場（消弱原來的電場）電介質的極化電荷；導體感應自由電荷。部分抵消外電場；完全抵消外電場。2023/2/2課件1412、極化的微觀機制（1）無極分子的位移極化沒有外電場時，電介質分子的正負電荷“重心”重合，整個分子沒有電矩，稱為無極分子。加外電場后，無極電介質產生了電偶極矩（感生電矩），在和外電場垂直的兩個端面出現正負電荷，即極化電荷，這就是電介質的極化。由于電子質量比原子核小得多，主要是電子位移，因此無極分子的極化機制常稱為電子位移極化。2023/2/2課件142（2）有極分子的取向極化沒有外電場時，電介質分子的正負電荷“重心”不重合，形成一定的電偶極矩，稱為有極分子。無外場時，所有分子的固有電矩的矢量和為0，宏觀上不產生電場。加外電場后，分子電矩方向不同程度的轉向外電場方向，在和外電場垂直的兩端面上多少產生一些極化電荷，這種極化機制稱為取向極化。電子位移極化效應在任何電介質中都存在，而分子取向極化只發生在有極分子電介質中。2023/2/2課件143§2.4.2極化強度與退極化場

1、極化強度矢量P（1）定義：單位體積內介質分子的電偶極矩矢量和。

是定量描述電介質內各極化狀態（極化程度和極化方向）的物理量。單位：C/m2

如果電介質中各處的極化強度矢量大小和方向都相同，則稱為電介質均勻極化，否則為非均勻極化。

2023/2/2課件144（2）極化電荷的分布與極化強度矢量的關系P用分子的平均電偶極矩表示式中，q為分子內的正電荷電量，L為分子正負電荷重心的平均距離矢量。極化介質內的極化電荷與其極化強度的普遍關系：

2023/2/2課件145圖2.20極化介質內的極化電荷與極化強度的關系2023/2/2課件146各向同性、物理性質均勻的電介質，其體內不會出現凈余的束縛電荷，即極化電荷體密度為0。以后我們只考慮均勻電介質的情形。極化電介質表面的面極化電荷密度與極化強度之間的關系：2023/2/2課件147圖2.21均勻極化介質球2023/2/2課件1482、退極化場極化電荷和自由電荷一樣，在周圍空間產生附加電場E’，根據疊加原理，空間任意一點的場強是外電場和極化電荷產生的附加電場的矢量和：電介質內E’處處和外電場E0方向相反，使得總電場E比原來的E0減弱。極化電荷在介質內部的附加場E’總是起減弱極化的作用，因此稱為退極化場，其大小與電介質的幾何形狀相關。2023/2/2課件149圖2.22極化介質的退極化場2023/2/2課件150§2.4.3電介質的極化規律

電介質的極化規律就是P與電場和電介質性質之間的關系。電介質中任一點極化強度P是由總電場E決定的。P與E之間的關系（極化規律）與電介質的性質有關。不同的電介質，P與E的關系不同，要由實驗來確定。2023/2/2課件1511、電介質的分類（1）各向同性電介質各向同性電介質是一種線性電介質。

比例系數χ叫做介質極化率，與場強無關，是介質材料的屬性。當E太大時，χ不僅與電介質有關，還與E有關，此時P與E之間是非線性關系。對取向極化電介質，χ還與溫度有關。2023/2/2課件152（2）各向異性（線性電介質）晶體材料沿不同方向呈現不同的物理性質，稱為各向異性。各向異性電介質被極化時，極化強度P與場強E的方向不同，在場強不是很強時，仍保持線性關系。極化率χ與E無關的上述兩種電介質統稱為線性電介質。若極化中電介質的損耗（如熱損耗）可以忽略，則稱為線性無損耗介質。2023/2/2課件153（3）鐵電體電介質復雜的非線性關系，稱為電滯回線。如鈦酸鋇(BaTiO3)。鐵電體有獨特的溫度特性。低于此溫度時呈鐵電體性質，高于此溫度時呈一般性質的電介質。此溫度稱為材料的轉換溫度或居里溫度。鐵電體還具有一個重要的性質：壓電效應。

即當材料受到壓縮或拉伸的機械力作用時，材料某些相對應的表面上會出現異性極化電荷，而且極化電荷的面電荷密度與機械應力成比例，應力反向時極化面電荷變號。壓電效應有逆效應。即在壓電晶體上加電場時，晶體會伸長或壓縮形變，稱為電致伸縮效應。2023/2/2課件154（4）永電體或駐極體電介質有自發的電極化強度，即使沒有外場，該物質本身也會有電極化強度，稱為永電體或駐極體。由于空氣中存在離散的自由電荷，永電體表面上的極化電荷會吸引一些自由電荷而最終會被中和失去作用。2023/2/2課件1552、極化率與相對介電常數設平行板電容器未填充電介質時極板間的場強為E0(外場)，填充電介質后電場為E，由介質極化規律知，介質極化強度為：與電容器正極板相對的介質表面有極化電荷面密度：，與負極板相對的介質表面極化電荷面密度為：因此退極化場的大小為：而退極化場的方向與E0和P都相反，因此退極化場為:2023/2/2課件156（1）電介質的相對介電常數電容器極板間充入均勻電介質后的電場為：或其中，ε=1+χ定義為介質的相對介電常數，簡稱介電常數，是由電介質性質所決定的。

2023/2/2課件157（2）電介質的介電強度由此，當電容器內充滿介電常數ε的均勻電介質時，其電容為：介電強度當電壓很高因而場強很強時，會使介質擊穿，導致其絕緣性能被破壞，這種電介質能承受的最大場強稱為該電介質的介電強度。電容器的耐電壓能力取決于電容內填充的介質的介電強度。2023/2/2課件1582009年諾貝爾物理學獎高琨(CharlesK.Kao)英籍中國香港科學家1933年出生，1966年的成果威拉德·博伊爾（1924年）和喬治·史密斯（1930年）美國科學家1969年的成果2023/2/2課件159高錕：光纖傳輸走入現實

高錕1966年發現如何通過光學玻璃纖維遠距離傳輸光信號，這成為電話和高速互聯網等現代通訊網絡運行的基石。“利用一根純凈的玻璃纖維，可以將光信號傳輸100多公里，而60年代時的光纖只能傳輸20米。”“今天文字、音樂、圖片和圖像在一眨眼間傳遍全球”，高錕功不可沒。在光學通信領域中光的傳輸的開創性成就

2023/2/2課件160博伊爾和史密斯：數碼相機得以普及

CCD的發明，使攝影發生革命性的改變。利用CCD科技，光影可以用電子拍攝下來，而非僅限于照片中。目前仍被用于火星探險。CCD的發明，對醫療界也很有貢獻。它可攝出人類身體內部影像，供顯微手術與診斷參考。發明了成像半導體電路——電荷藕合器件圖像傳感器CCD

2023/2/2課件161光纖大幅提高信息傳輸速度，令人們可以“在剎那間把文本、音樂、圖像和視頻傳輸到世界各地……如今，每個人都在使用光纖媒介”。電荷耦合器件圖像傳感器則把光轉換成電信號，從而引發攝影變革，令小巧便捷的數碼相機走入千家萬戶。另外，電荷耦合器件技術可應用于醫學診斷和顯微外科，例如人體內成像。簡言之，3名獲獎者“幫助塑造了當今網絡社會的基礎”。每年諾貝爾物理學獎揭曉前都有不少關于獲獎者的猜測，今年預測者們眼中的熱門人選集中于量子力學領域。談及抉擇過程，評審委員會說：“難以抉擇，但樂于抉擇……研究人員所獲突破需要花上一段時間才能（對社會生活）產生影響，（而社會生活）確實發生了重大改變。”今年為何擇定兩個看似不相干的領域為諾貝爾物理學獎歸屬，評審委員會解釋道，當今信息社會建立在通信基礎之上，而光纖傳輸和圖像記錄彼此關聯，共同“改造我們的生活”。2023/2/2課件162§2.5電介質中靜電場的基本定理

§2.5.1有介質電場的高斯定理§2.5.2有介質電場的環路定理2023/2/2課件163§2.5.1有介質電場的高斯定理（1）由于極化電荷在產生電場方面同自由電荷遵守相同的規律，因此其電場也應遵守高斯定理，只不過要考慮極化電荷的存在。即有介質存在時，電場遵守如下定理：由極化電荷與極化強度的普遍關系，有其中，是閉合曲面內的極化電荷的代數和。

2023/2/2課件164（2）電位移矢量D定義物理量D，稱為電位移矢量：則有介質存在的靜電場滿足的高斯定理：上式表明：電位移矢量發自自由正電荷而終于自由負電荷，不受極化電荷的影響。2023/2/2課件165（3）有介質存在靜電場高斯定理的微分形式利用數學上的高斯定理，有

其中，V是任意閉合曲面S包圍的空間體積，ρ0是自由電荷體密度。對于任何空間體積上述積分都成立，有微分形式：

2023/2/2課件166（4）對于各向同性電介質由電位移矢量D與場強E的關系：

對于各向同性的均勻電介質，其χ和ε是常數。由此可得：

即：

2023/2/2課件167§2.5.2有介質電場的環路定理（1）自由電荷產生的外電場E0和極化電荷產生的退極化場E’，都是保守場，均滿足環路定理：因此，有介質存在的靜電場E=E0+E’也滿足環路定理：表明：有電介質的靜電場仍然是無旋的保守場。2023/2/2課件168（2）有介質存在靜電場環路定理的微分形式利用數學上的斯托克斯定理，有即靜電場的旋量為0。2023/2/2課件169（3）問題：2023/2/2課件170（4）上式成立的兩種情況成立的情況（一）：整個空間充滿各向同性的均勻電介質時，則2023/2/2課件171成立的情況（二）整個空間雖有若干種均勻電介質的區域存在，但介質的分界面是與電場相垂直的等勢面，則上述結論仍然成立。圖2.23存在不同均勻線性電介質分布2023/2/2課件172§2.6邊值關系和有介質存在時的唯一性定理1、在研究幾種不同性質的均勻介質分區域分布時，介質與介質的分界面上，由于極化電荷的出現，電場會發生突變。介質分界面兩側電場之間滿足的關系稱為邊值關系。介質分界面兩側電場的場強切向分量連續；介質分界面兩側電場的電位移矢量法向分量連續；介質分界面兩側電勢連續。2023/2/2課件173圖2.24不同介質分界面的電場和電位移矢量2023/2/2課件174圖2.25不同介質分界面的電勢連續2023/2/2課件1752、有介質存在時靜電場的唯一性定理當給定電場空間邊界面S的電勢US(若S取無限遠閉合曲面或接地的導體殼內表面時US=0)，給定S面內各均勻電介質按區域分布的情況和各電介質的介電常數εi(i=1,2,..)，給定S面內帶電導體的形狀、大小及其相對位置，再給定下列兩條件之一：（1）S面內各帶電體導體的電勢Ui(i=1,2,..)；（2）S面內各帶電體所帶電荷的電量qi(i=1,2,..)則邊界面S所包圍的空間電場是唯一的。2023/2/2課件1763、典型應用：電像法和靜電屏蔽電像法：介質界面或導體表面具有較好的對稱性，在考察區外部設定一個或多個虛擬電荷（即像電荷），使其與給定的源電荷在考察區共同產生的電場滿足介質界面上的邊值關系或導體表面電勢等于給定電勢的條件，從而由唯一性定理得到電場的唯一分布的正確解。電像法的局限性：試探解，適合少數極為簡單的情況2023/2/2課件177第二章小結靜電平衡條件唯一性定理靜電屏蔽電容電介質的極化電介質的靜電場定理，邊值關系及唯一性定理電像法2023/2/2課件178第三章靜電能

靜電場能量與靜電場做功有關！系統靜電能與系統狀態有關！2023/2/2課件179§3.1帶電系統的靜電能與電場的能量

1、點電荷組的靜電相互作用能2、電荷連續分布的帶電系統的靜電能3、利用靜電能求靜電力4、電場的能量與能量密度

2023/2/2課件180§3.1.1點電荷組的靜電相互作用能

1、真空中N個點電荷組成的點電荷帶電系統，電量分別為q1q2..qN，空間位置分別為r1r2..rN，其中i、j點之間距離rij為：全部rij決定點電荷組中點電荷的相對位置分布。處于一定電荷分布狀態的點電荷組具有與rij有關的能量。這種與點電荷之間相對位置有關的點電荷組能量，稱為點電荷組的靜電相互作用能。2023/2/2課件1812、點電荷組W互的具體表達式（1）討論相距r12的兩個點電荷q1和q2組成的點電荷組，從無窮遠處狀態到相距r12狀態，外力克服電場力所做的功與兩點電荷移入的次序無關，只與點電荷組終態的狀態參數q1、q2和r12相關。如前所述，這個功就等于兩個點電荷的點電荷組的靜電相互作用能W互，即2023/2/2課件182（2）N個點電荷組的W互由兩個點電荷組的靜電相互作用能公式推廣到N個點電荷組，可以對這N個點電荷進行不重復的組對，然后把每對點電荷的靜電相互作用能加起來，即可得到N個點電荷組成的點電荷組的靜電相互作用能W互。式中，是第j個點電荷在第i個點電荷處產生的電勢。rji是第j個點電荷到第i個點電荷的距離。2023/2/2課件183由于第j個點電荷與第i個點電荷組成的點電荷對的相互作用能相等，由此可得N個點電荷組的靜電相互作用能W互為：定義

為點電荷組中除qi外其他點電荷在qi處產生的電勢代數和，即點電荷組中除qi外其他電荷在qi處產生的電場電勢。由此上式可寫成：2023/2/2課件184§3.2電荷連續分布的帶電系統的靜電能

對一個體電荷連續分布的帶電體，體積設為V，所帶電荷設為q，電荷在帶電體中的分布情況由體電荷密度ρ描述，我們設想把其分割成許多小體電荷元ΔVi，這些體電荷元都可以視為點電荷，因此可得帶電體的相互作用能

式中，Ui(ri)為除第i個電荷元以外帶電體其他電荷在ri處產生的電勢。2023/2/2課件1851、帶電體的靜電能We對帶電體內電荷無限分割時，即過渡到體積分：這里，U(r)包括電荷元ρdV在內的帶電體全部電荷在r處產生的電勢。故U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是ρdV在自身r處產生的電勢，可以證明，dU趨于0。因此，帶電體的靜電能包括帶電體內電荷元之間的相互作用能和電荷元內的電能。2023/2/2課件1862、N個帶電體的系統的靜電能設N個帶電體的體積為V1,V2..VN，它們在空間r處產生的總電勢為其中，Ui(r)是除了第i個帶電體的電荷以外其余所有電荷在r處產生的電勢，U(i)(r)是第i個帶電體的電荷在r處產生的電勢。則N個帶電體組成的帶電系統的靜電能為：We=W互+W自

2023/2/2課件187其中，這里，W自(i)是第i個帶電體的靜電能，并稱為第i個帶電體的自能。W互是帶電系統內N個帶電體之間的相互作用能，簡稱系統的互能。2023/2/2課件188帶電體的相互作用能的討論如果系統內帶電體體積Vi非常小，以至于其他帶電體在Vi內產生的電勢Ui(r)在Vi內各點近似相等，即Ui(r)=Ui，則系統的相互作用能為：這和點電荷組的相互作用能完全一致。2023/2/2課件189帶電體的自能的討論對點電荷和線電荷的自能的討論點電荷的自能無限大，即自能是發散的。因此討論點電荷組的電能時，只討論互能。點電荷的自能為無限大表明，真正的點電荷實際上是不存在的。線電荷的自能也是無限大，這表明線電荷只是一種近似模型，真正的線電荷是不存在的。2023/2/2課件1903、帶電面的靜電能帶電導體的電荷分布在表面上，因此求帶電導體的靜電能是求面電荷分布的帶電系統的靜電能。對面電荷系統的靜電能為：這里U(r)為帶電面上r處的電勢。對于帶電導體，導體表面是等勢面，因此其靜電能為：2023/2/2課件1914、N個帶電面的帶電系統靜電能由N個帶電面組成的帶電系統的靜電能為：如果是N個帶電導體表面，注意到導體表面是等勢面，則其靜電能為：2023/2/2課件1925、帶電體的電勢能帶電體或帶電系統的電勢能是我們研究的帶電體同產生外電場的帶電系統之間的相互作用能。由此，兩個帶電系統之間的相互作用能為：其中，U1(r1)為外電場在r1處產生的電勢，U2(r2)為研究的帶電體在r2處產生的電勢。2023/2/2課件193因此，可得：即兩個帶電系統彼此在對方產生的電場里，它們之間產生的相互作用能可以稱為一個帶電系統在另外一個帶電系統產生的電場里的電勢能，且它們相等。即我們研究的帶電體的電勢能為：2023/2/2課件194N個帶電體的電勢能當帶電體體積V很小時，可認為外電場的電勢在V內是相等的，如點電荷，則這個帶電體在外電場中的電勢能為：對于由N個體積很小的帶電體所組成的系統，如點電荷組，則其電勢能為：其中，U(ri)為外電場在qi電荷所在位置ri處的電勢。2023/2/2課件195有電介質存在時帶電系統的靜電能可以證明，有介質存在時，面自由電荷帶電系統在形成過程中外界對帶電系統做功，即帶電系統的靜電能的表達式為：推廣到有電介質情況下的體自由電荷帶電系統的靜電能為：其中，U(r)是由自由電荷和極化電荷共同產生，因此其靜電能與自由電荷和極化電荷都有關。2023/2/2課件196§3.3利用靜電能求靜電力

如果兩個帶電體的電荷分布給定，或者受力帶電體的電荷分布和施力帶電體產生的電場分布已經給定，帶電體之間的靜電力通過積分原則上就可以求了。但在很多情況下，求帶電體之間靜電力的積分不容易求，而受力帶電體和施力帶電體組成的帶電系統的靜電能容易求出，通過對靜電能求微商就可求出受力帶電體所受的靜電力。2023/2/2課件197（1）由N個彼此絕緣的帶電體組成的系統其中第i個是受力帶電體，其余N-1個帶電體為施力帶電體。設想N-1個施力帶電體保持靜止，讓受力帶電體作無限小的位移，在這過程中系統內電場力做功為：設系統在位移過程中是不與外界進行能量交換的孤立系統，這個過程中系統內帶電體的電荷qi保持不變，系統內電場力做功只消耗系統的靜電能。2023/2/2課件198即則有：

寫成式中，下標q表示在對We進行偏微商時，系統內的電荷qj應視為常數。2023/2/2課件199靜電力矩的表達式如果系統內第i個帶電體不是位移做功，而是繞某軸作無限小轉動角位移，則第i個帶電體受靜電力矩所作的功為：因此，靜電力矩為：如果已知系統的靜電能We的表達式，通過上述兩個公式即可求得系統內第i個帶電體所受的靜電力和力矩。2023/2/2課件200（2）由N個帶電導體組成的系統研究第i個帶電導體所受的靜電力或靜電力矩：設想第i個帶電導體作無限小位移或無限小轉動角位移，在這過程中，設想通過外界電源作功保持系統內各導體的電勢Uj不發生改變，則由能量守恒可知，系統的靜電能的改變量應等于過程中外界所作的功與系統內靜電力作的功之差，即2023/2/2課件201保持系統內各帶電導體電勢不變而其電荷改變，外界（電源）所做的功為：而N個帶電導體組成的系統的靜電能為

保持系統內帶電導體電勢不變而電荷改變，系統的靜電能改變為：故2023/2/2課件202由或可得受力帶電導體i所受靜電力或靜電力矩為：2023/2/2課件203（3）利用互能求靜電力或靜電力矩如果受力帶電體在位移或轉動過程中，受力帶電體和施力帶電體上的電荷分布都不改變，則各帶電體的電荷在自身體積內產生的電勢在過程中就不變化，因而帶電系統內各帶電體的自能在受力帶電體位移或轉動過程中不變，則有由能量守恒定律，受力帶電體所受靜電力或靜電力矩可以通過相互作用能表示為2023/2/2課件204式中下標表示微商時把受力帶電體與施力帶電上的電荷密度看作為常數。即，2023/2/2課件205§3.4電場的能量與能量密度

1、一個自由電荷密度為的帶電系統，如果系統空間體積為V，則這帶電系統的靜電能為：上式適用于真空中帶電系統，也適用于有線性介質存在的帶電系統。2023/2/2課件2062、能量密度來表示電場能量給出另一種靜電能表達式：式中，稱為電場的能量密度。由此可知：靜電能儲存在電場里。對均勻各向同性電介質和真空中的電場能量密度分別為：2023/2/2課件207第三章小結帶電系統的靜電能利用靜電能求靜電力電場的能量能量密度2023/2/2課件208第四章穩恒電流2023/2/2課件209第四章穩恒電流§4.1電流的穩恒條件§4.2歐姆定律§4.3非靜電力與電源電動勢§4.4復雜電路與基爾霍夫定律2023/2/2課件210§4.1電流的穩恒條件1、電流與電流密度矢量2、電流的連續性方程3、穩恒條件4、穩恒電流2023/2/2課件211§4.1.1電流與電流密度矢量

1、電流的形成電荷流動形成電流。在宏觀范圍內，電流就是大量自由電荷的定向運動。（1）產生電流的條件：存在載流子，即可以自由運動的電荷；存在迫使電荷作定向運動的某種作用由于導體對載流子的定向運動具有阻力，要維持這種定向運動，必須有外加作用。2023/2/2課件212（2）不同材料中的載流子金屬中電流的載流子是：自由電子金屬中存在大量自由電子，在電場作用下定向運動，形成金屬中電流，同時由于電子質量很小，不會引起宏觀上可觀察到的質量遷移。電解液中電流的載流子是：正負離子半導體中的載流子是：電子和空穴導電氣體中的載流子是：電子和正負離子。2023/2/2課件213（3）真空中的電流熱電子發射 真空中沒有自由電荷，因此不會有電流。金屬中的自由電子只在金屬內部自由運動，很難進入真空形成電流。但隨著金屬溫度的升高，會有大量電子從金屬中逸出，這就是熱電子發射，使真空中出現大量載流子，在外電場作用下形成真空中的電流。2023/2/2課件214（4）隧道電流微觀粒子具有貫穿勢壘的隧道效應，即使金屬溫度不高時，電子仍有一定的幾率穿過勢壘進入真空，從而在特定條件下，在真空中形成微弱的隧道電流。1982年，IBM蘇黎世實驗室的Binnig博士和Rohrer博士成功的研制出一種新型的表面分析儀器－掃描隧道顯微鏡(STM)，隨后，第一次利用STM在硅單晶表面觀察到周期性排列的原子陣列，首次直接看到單個的原子。由于這一成就，獲得1986年的諾貝爾物理獎。2023/2/2課件215圖3.1STM原理示意圖圖3.2C60分子的

STM圖像2023/2/2課件2162、電流的方向規定：正電荷流動的方向為電流的方向。因此，導體中電流的方向總是沿著電場的方向，從高電勢流到低電勢。實驗表明：正電荷沿某方向運動和等量負電荷反方向運動所產生的電量遷移等效；除個別現象（如霍爾效應）外，它們產生的電磁效應也相同。2023/2/2課件2173、電流強度定義：電荷的定向運動形成電流，電流強度即單位時間內通過導體任一橫截面的電量，稱為電流強度I，簡稱電流。在Δt時間內通過導體任一橫截面的電量Δq，則電流I表達式為：單位：安培（A），1A＝1C/s。2023/2/2課件2184、電流密度電流物理量只表示導體中橫截面的總電流大小，不能反映出導體沿橫截面的分布情況，包括電流強弱和方向等細微情況，因此，引入了電流密度矢量j。定義：通電導體內任一點的電流密度矢量j的方向是該點電流的方向，大小等于通過該點單位垂直截面的電流。單位：A/m22023/2/2課件2195、電流場電流密度是空間位置的函數，這樣的矢量場描述了導體中的電流分布，稱為電流場。類似于電場線描述電場，引入“電流線”描述電流場。電流線即電流所在空間的一組曲線，其上任一點的切線方向和該點的電流密度方向一致。一束這樣的電流線圍成的管狀區域稱為電流管。2023/2/2課件2206、電流與電流密度若已知載流導體內P點的電流密度為j，則可以求得通過該點任一面元的電流：通過導體任一有限截面S的電流強度為：

即通過S面的電流I等于通過該面的電流密度矢量通量。2023/2/2課件221§4.1.2電流連續性方程1、電流連續性方程（1）積分形式按照電荷守恒定律，由閉合曲面包圍的空間內電荷的減小量等于通過閉合曲面流出的電荷量。在導體內任取一閉合曲面S，所圍區域為V，則單位時間內流出閉合曲面的電量應等于區域V內電量的減少。2023/2/2課件222（2）微分形式利用數學上的高斯公式，

和可得電流連續性方程得微分形式：2023/2/2課件2232、電流連續性方程的意義是電荷守恒電律的表達式電流連續性方程表明：電流線只能起、止于電荷隨時間變化的地方；對于電荷密度不隨時間變化的地方，電流線既無起點也無終點，即電流線是連續的。2023/2/2課件224§4.1.3、穩恒條件穩恒電流是電流場不隨時間變化的電流。載流導體內的電場不隨時間變化，要求產生這種電場的電荷分布是不隨時間變化的，即由電流連續性方程可得電流的穩恒條件：或2023/2/2課件225穩恒條件的意義電流的穩恒條件表明：任何時刻進入任何閉合曲面的電流密度矢量通量都為0，即電流線不會在任何閉合曲面包圍的空間內終止或產生。穩恒電流的電流線只能是連續的閉合曲線，稱為穩恒電流的閉合性。穩恒電路因此由導體組成的穩恒電流通道（稱為電路）一定是閉合電路。2023/2/2課件226穩恒電流的特性穩恒電流有兩個特性：（1）穩恒電流的電流線或電流是閉合的，電流線不可能有起點和終點。（2）沿任一電流管的各截面電流強度相等。2023/2/2課件227§4.1.4、穩恒電場穩恒電場穩恒電路中的電場是由不隨時間變化的電荷分布產生的電場，雖然不滿足導體靜電平衡條件，但亦不隨時間變化，因此也稱為穩恒電場，它是一種靜態電場。穩恒電場與靜電場有相同的性質。

服從相同的場方程式，即滿足高斯定理和環路定理；電勢、電勢差的概念對穩恒電場仍有效；但靜電平衡條件及其推論不再成立。2023/2/2課件228§4.2歐姆定律

1826年德國物理學家歐姆通過實驗發現，在穩恒條件下，通過一段導體的電流和導體兩端的電壓成正比，即或式中，比例系數R與電流的大小無關，而由導體的材料性質，大小和形狀所決定，稱為該導體的電阻。電阻單位：歐姆（1Ω＝1V/A）

2023/2/2課件229（1）電阻率與電導率實驗表明：對于橫截面均勻的各向同性導體，其電阻R與導體長度L成正比，與橫截面積S成反比，即式中，ρ稱為導體的電阻率，是完全由導體的材料性質決定的量，單位為Ωm。電阻率的倒數σ稱為導體的電導率，單位為(Ωm)-1。2023/2/2課件230圖3.3幾種材料的電阻率ρ2023/2/2課件231（2）歐姆定律的微分形式實驗指出：當保持金屬的溫度恒定時，金屬中的電流密度j與該處的電場強度E成正比，即上式表明：導體內任一點的電流密度矢量與該點的場強方向相同，大小成比例。歐姆定律的微分形式對頻率不是很高的非穩恒電流也是適用的。在更一般的情況下，電導率本身也是場強的函數，因此有：2023/2/2課件232§4.2.1焦耳定律

1、電流功率電流流過導體時，正電荷從高電勢處向低電勢處運動，在這過程中，電場對電荷做功。根據歐姆定律，單位時間內電場做的功即電流的功率為：單位為瓦特（1W=1J/s)2023/2/2課件2332、焦耳定律電場做的功將轉變成其他形式的能量。電場所做的功為：實驗表明，電流通過歐姆介質（純電阻元件）時，電能將以發熱的形式釋放出來，即：上式稱為焦耳定律。做功的單位為：焦耳（J）這一結論只對純電阻R的情況成立。2023/2/2課件234