第三章數(shù)列、推理與證明等比數(shù)列第19講等比數(shù)列的基本量運(yùn)算【例1】已知等比數(shù)列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1·a2·a3＝8，求an.點(diǎn)評(píng)

研究等差數(shù)列或等比數(shù)列，通常向首項(xiàng)a1，公差d(或公比q)轉(zhuǎn)化．在a1，an，d(或q)，Sn，n五個(gè)基本量中，能“知三求二”．

【變式練習(xí)1】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S4＝1，S8＝3.求：

(1)等比數(shù)列{an}的公比q；

(2)a17＋a18＋a19＋a20的值．

等比數(shù)列的判定與證明【例2】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)．若an＋Sn＝n，(1)設(shè)cn＝an－1，求證：數(shù)列{cn}是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

點(diǎn)評(píng)評(píng)判斷斷一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的方方法法有有定定義義法法、、等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)法法，，或或者者從從通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式、、求求和和公公式式的的形形式式上上判判斷斷．．證證明明一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的方方法法有有定定義義法法和和等等比比中中項(xiàng)項(xiàng)法法，，注注意意等等比比數(shù)數(shù)列列中中不不能能有有任任意意一一項(xiàng)項(xiàng)是是0.等比比數(shù)數(shù)列列的的公公式式及及性性質(zhì)質(zhì)的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用(2)證明明：：因因?yàn)闉镾7＝27－1，S14＝214－1，S21＝221－1，所以以S14－S7＝27(27－1)，S21－S14＝214(27－1)，所以S7·(S21－S14)＝214·(27－1)2＝(S14－S7)2，所以S7，S14－S7，S21－S14成等比數(shù)列．．(3)因?yàn)閒(n)＝bn＝4an＝2n＋1(n∈N*)，所以bn＝f(n)的圖象是函數(shù)數(shù)f(x)＝2x＋1的圖象上的一一列孤立的點(diǎn)點(diǎn)(圖略)．點(diǎn)評(píng)本題主要考查查三個(gè)方面：：一是由兩個(gè)給出的的等式，解方方程組求出等等比數(shù)列的首首項(xiàng)和公比，，進(jìn)而求得通通項(xiàng)公式及前前n項(xiàng)和公式，要要求記牢公式式和細(xì)心運(yùn)算算；二是用等比中項(xiàng)的的方法證明三三個(gè)數(shù)成等比比數(shù)列．一般般地，三個(gè)非非零實(shí)數(shù)a、b、c滿足b2＝ac，則a、b、c成等比數(shù)列；；三是考查等比數(shù)列列的圖象．此此題不難，但但較全面地考考查了等比數(shù)數(shù)列的有關(guān)知知識(shí)，對(duì)復(fù)習(xí)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)是是很有幫助的的．等差數(shù)列與等等比數(shù)列的綜綜合應(yīng)用點(diǎn)評(píng)此題抓住等比比數(shù)列中的項(xiàng)項(xiàng)不可能是原原來等差數(shù)列列中的連續(xù)3項(xiàng)或3項(xiàng)以上，這實(shí)實(shí)質(zhì)上是一個(gè)個(gè)數(shù)列如果既既是等差數(shù)列列，同時(shí)又是是等比數(shù)列，，則必定是公公差為0的非零常數(shù)數(shù)數(shù)列．因?yàn)樵谠诘炔顢?shù)列的的公差d≠0時(shí)，不能構(gòu)成成等比數(shù)列，，所以只有n＝4可能適合題意意，從而將問問題大大簡(jiǎn)化化．【變式練練習(xí)4】已知數(shù)數(shù)列{an}是等比比數(shù)列列，其其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差差數(shù)列列．(1)求數(shù)列列{an}的通項(xiàng)項(xiàng)公式式；(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記記為Sn，證明明：Sn＜128.【解析】(1)設(shè)等比比數(shù)列列{an}的公比比為q(q∈R)．由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，從而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1.因?yàn)閍4，a5＋1，a6成等差差數(shù)列列，所所以a4＋a6＝2(a5＋1)，即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，即q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．所以q＝1/21.在等比比數(shù)列列{an}中，a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，則a7＋a8＝__________1352.設(shè)等比比數(shù)列列{an}的公比比為q，前n項(xiàng)和為為Sn.若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差差數(shù)列列，則則q＝____________.－24.若數(shù)列列{an}的前n項(xiàng)和可可表示示為Sn＝2n＋a，則{an}是否可可能成成為等等比數(shù)數(shù)列？？若可可能，，求出出a的值；；若不不可能能，說說明理理由．．5.已知數(shù)數(shù)列{an}是公比比為q的等比比數(shù)列列，且且a1、a3、a2成等差差數(shù)列列．(1)求公比比q的值；；(2)設(shè){bn}是以2為首項(xiàng)項(xiàng)，q為公差差的等等差數(shù)數(shù)列，，其前前n項(xiàng)和為為Sn.當(dāng)n≥2時(shí)，比比較Sn與bn的大小小，并并說明明理由由．本節(jié)內(nèi)內(nèi)容主主要考考查數(shù)數(shù)列的的運(yùn)算算、推推理及及轉(zhuǎn)化化的能能力與與思想想，考考題一一般從從三個(gè)個(gè)方面面進(jìn)行行考查查：一是應(yīng)用等等比數(shù)數(shù)列的的通項(xiàng)項(xiàng)公式式及其其前n項(xiàng)和公公式計(jì)計(jì)算某某些量量和解解決一一些實(shí)實(shí)際問問題；；二是給出一一些條條件求求出首首項(xiàng)和和公比比進(jìn)而而求得得等比比數(shù)列列的通通項(xiàng)公公式及及其前前n項(xiàng)和公公式，，或?qū)⑦f推推關(guān)系系式變變形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為等比比數(shù)列列問題題間接接地求求得等等比數(shù)數(shù)列的的通項(xiàng)項(xiàng)公式式；三是證明一一個(gè)數(shù)數(shù)列是是等比比數(shù)列列．1．等比數(shù)數(shù)列常常用的的性質(zhì)質(zhì)：(1)等比數(shù)數(shù)列{an}中，對(duì)對(duì)任意意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.特別地地，若若m＋n＝2p，則am·an＝ap2.(2)對(duì)于等等比數(shù)數(shù)列{an}中的任任意兩兩項(xiàng)an、am，都有有關(guān)系系式an＝amqn－m，可可求求得得公公比比q.但要要注注意意n－m為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，，q有互互為為相相反反數(shù)數(shù)的的兩兩個(gè)個(gè)值值．．(3)若{an}和{bn}是項(xiàng)項(xiàng)數(shù)數(shù)相相同同的的兩兩個(gè)個(gè)等等比比數(shù)數(shù)列列，，則則{an·bn}也是是等等比比數(shù)數(shù)列列．．答案案：：3選題題感感悟悟：：運(yùn)用用等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)求求解解等等比比數(shù)數(shù)列列問問題題，，是是一一個(gè)個(gè)基基礎(chǔ)礎(chǔ)考考點(diǎn)點(diǎn)，，是是數(shù)數(shù)列列高高考考的的重重點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)容容之之一一．．2．(2010·蘇州州期期中中卷卷)等比比數(shù)數(shù)列列{an}共2n＋1項(xiàng)，，首首項(xiàng)項(xiàng)a1＝1，所所有有奇奇數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的和和等等于于85，所所有有偶偶數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的和和等等于于42，則則n＝______.答案案：：3選題題感感悟悟：：本題題主主要要考考查查等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)及及前前n項(xiàng)和和公公式式，，同同時(shí)時(shí)也也考考查查了了方方程程思思想想及