滬教版（2020）高中數(shù)學(xué)第2講空間直線與直線間的位置關(guān)系第十章空間直線與平面10.2空間直線與直線間的位置關(guān)系螺母abcdef觀察下列圖形，說說空間中兩條直線的位置關(guān)系情景引入：觀察兩條直線既不平行也不相交ABCD復(fù)習(xí)導(dǎo)入：平面內(nèi)兩條不重合直線的位置關(guān)系相交直線平行直線相交直線（有一個公共點(diǎn)）平行直線（無公共點(diǎn)）兩路相交立交橋想一想：立交橋中,兩條路線AB,CDaboab既不平行，又不相交mmm′圖1圖2llm′從圖中可見，直線l與m既不相交，也不平行、空間中兩直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線.l′Pl′探究空間兩直線的位置關(guān)系探究空間兩直線的位置關(guān)系a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abM答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面？abab合作探究一在教室里找出幾對異面直線的例子

兩直線異面的判別二:兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).兩直線異面的判別一:兩條直線既不相交、又不平行.注1不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。1.異面直線的定義:注意：在不同平面內(nèi)的兩條直線不一定異面則，a、b是異面直線.符號語言：若按平面基本性質(zhì)分同在一個平面內(nèi)相交直線平行直線不同在任何一個平面內(nèi):異面直線有一個公共點(diǎn):按公共點(diǎn)個數(shù)分相交直線無公共點(diǎn)平行直線異面直線空間兩直線的位置關(guān)系的分類2.異面直線的畫法說明:畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)。常借助一個或兩個平面來襯托.如圖：aabaAbb(1)(3)(2)判斷：直線m和l是異面直線嗎?αβlmml(1)(2),則ɑ與b是異面直線.(3)ɑ,b不同在平面α內(nèi),則ɑ與b是異面直線.不是是錯錯【即時訓(xùn)練】合作探究二如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線段所在直線是異面直線的有對?FHCBEDGA答:共有三對GEHFD（C）A（B）abced我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察:將一張紙如圖進(jìn)行折疊,則各折痕及邊a,b,c,d,e,…之間有何關(guān)系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．———平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行．空間的平行直線符號表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a,b,c,若a∥bc∥ba∥c空間四邊形：如圖，順次連接不共面的四點(diǎn)A，B，C，D所組成的四邊形叫做空間四邊形ABCD.ABCD相對頂點(diǎn)A與C，B與D的連線AC，BD叫做這個空間四邊形的對角線.平行異面相交異面【即時訓(xùn)練】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.ABDEFGHC證明：連接BD.因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD,且EH=BD.同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=BD.因?yàn)镋H∥FG，且EH=FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形.在平面內(nèi),我們可以證明“如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)”．空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？觀察:如圖所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC與∠A1D1C1,∠ADC與∠A1B1C1兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?答:從圖中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD等角定理等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.3.異面直線所成的角在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO(2)問題提出(1)復(fù)習(xí)回顧(3)解決問題異面直線所成角的定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a,b′∥b則把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′思想方法:平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:這個角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?即O點(diǎn)位置不同時,這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注2a″思考:這個角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?即O點(diǎn)位置不同時,這一角的大小是否改變?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如圖設(shè)a′與b′相交所成的角為∠1,a″與b所成的角為∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:這個角的大小與O點(diǎn)的位置無關(guān).

在求作異面直線所成的角時,O點(diǎn)常選在其中的一條直線上(如線段的端點(diǎn),線段的中點(diǎn)等)注3例如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？（2）直線BA′和CC′的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？解:（1）由異面直線的定義可知，與直線BA′成異面直線的有直線B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′.（2）由可知，為異面直線與的夾角,=45°所以，直線與的夾角為45°.(3)直線與直線垂直.分別(1)求兩異面直線所