第一章

集合與常用邏輯用語1.4充分條件與必要條件

一般地，在數學中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題.命題下列命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？思考（1）若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；形式“若p，則q”命題（2）若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；（3）若，則；（4）若平面內兩條直線a和b均垂直于直線l，則a∥b.充分條件與必要條件

一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時我們就說p可以推出q，記作pq,并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果“若p，則q”為假命題，是指由條件p不能推出結論q，記作p

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q.此時我們說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.下列命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？例1（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；（4）若，則；（3）若四邊形為菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直.（5）若，則；（6）若，為無理數，則為無理數.舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法.充分條件下列命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？舉例（1）若四邊形的兩組對角分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（2）若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；（3）若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；（4）若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形.一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件.結論一般來說，對給定結論q，使得q成立的條件p是不唯一的.例如，平行線的判定定理充分條件下列命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？例2（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；（2）若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；（4）若，則；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形.（5）若，則；（6）若為無理數，則，為無理數.必要條件下列命題中，哪些命題中的p是q的必要條件？舉例（1）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角分別相等；（2）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對邊分別相等；（3）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的一組對邊平行且相等；（4）若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩條對角線互相平分.一般地，數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.結論一般來說，對給定條件p，由p可以退出的結論q是不唯一的.例如，平行線的性質定理必要條件下列各組p是q的什么條件？（1）p：a是2的倍數q：a是偶數探究舉例（2）p：兩條邊相等的三角形

q：等腰三角形充要條件顯然如果p是q的充要條件，那么q也是p的必要條件.如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有pq，又有qp，就記作pq.此時，p既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件.下列命題中，哪些p是q的充要條件？例2（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個三角形相似，q：兩個三角形的三邊成比例；（3）p：xy>0，p：x>0，y>0；充要條件（4）p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，q：a+b+c=0(a≠0).充要條件證明思路證明p是q的充要條件（1）充分性：（2）必要性：充分、必要、充要條件的判斷方法（1）定義法：（2）集合法：④若pq，qp，則p是q的①若pq，qp，則p是q的②若pq，qp，則p是q的③若pq，qp，則p是q的對于集合A={x|x滿足條件p}，B={x|x滿足條件q}①若A?B，則p是q的②若A?