函數概念教學認識及拓展——以高中函數概念教學為例概念即是教學的“根”也是教學的“核”概念即是教學的“根”也是教學的“核”數學學習的基本任務是:掌握數學基礎知識發展基本技能拓展基本經驗豐富基本思想只有真正理解與掌握了基本概念，才有可能學好數學用好數學。從這個意義上說數學概念教學是“根”，教學的是重中之重。概念即是教學的“根”也是教學的“核”基礎知識基本技能基本活動經驗基本思想是一種理性的、形式化的結果性知識是一種感性的、情景的過程性知識是在基本知識學習、基本技能形成以及基本經驗提煉過程中抽象出來的從知識的角度來看概念即是教學的“根”也是教學的“核”形形色色的數學基本概念伴隨著人的成長過程而不斷由內而外拓展、發散、豐富，同時也為人的成長“飛躍”源源不斷地提供“養分”，因此數學基本概念是“核”。函數概念的演變函數概念的演變

函數概念的演變1718年，約翰?貝努利(JohannBernoulli)給出了解析的函數概念：“函數是由任意變數和常數的任意形式所構成的量”，這是函數概念的第一次擴張。函數概念的演變而后約翰?貝努利的學生歐拉(LeonardEuler)把函數定義又推進了一步，把凡是可以給出“解析的表示的”，通稱之為函數。“由在xy平面上任意畫出的曲線所確定了的x，y之間的關系。”函數概念的演變18世紀70年代，歐拉又給出了函數的定義：“如果某些變量，以這樣的一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，則將前面的變量稱之為后面變量的函數。”函數概念的演變函數概念的第二次擴張，是從幾何方面的考慮而做出的。這一次的擴張是由積分上的需要引起的，人們把只可用圖形給出的關系也稱之為函數。這是對上述“解析的函數”概念的一個擴充，稱為“幾何的函數”。函數概念的演變1821年，法國數學家柯西(Cauchy)對函數概念進行了第三次擴張，給出的函數定義為：“當某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數之值，其它變數之值亦可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數’，其它各變數則稱為‘函數’。”函數概念的演變函數概念的第四次擴張是黎曼(B.Riemam)一一狄里克雷(P.G.Dirichlet)的函數定義：“對于x的每一個值，如果有完全確定的y值與之對應，不論所建立對應方式如何，y都叫做x的函數”函數概念的演變到了19世紀70年代，在德國數學家康托爾(G.Cantor)的集合論的基礎上，所謂“集合函數”誕生了，函數概念第五次擴張為：“對于以集合為元素的集合P的每一個元素A，如果在另一個以集合為元素的集合Q中有完全確定的元素B與之對應，那么集合Q就叫做集合P的集合函數。”函數概念的演變

函數概念的演變清代數學家李善蘭(1811年～1882年)最初使用的，他在1859年與英國學者偉烈亞力(1815年～1887年)合譯的《代數學》一書中，將“function”一詞譯成“函數”。函數概念的演變函數概念的發展歷史我們可以看到，函數概念經歷了從直觀到抽象，從含糊到精確的過程，這與學生認識函數概念的過程是基本一致的。函數概念是中學數學的核心概念函數概念是中學數學的核心概念核心概念位居數學概念體系的中心點，自我生長能力強，可以生成一個‘概念群’。因此，核心概念的組織和呈現，不僅要考慮此概念的發生和形成，還要從整體入手，考慮如何以此概念為中心，形成概念網絡的體系和節點”。函數概念是中學數學的核心概念在現代數學中，函數概念及其反映出的數學思想方法幾乎滲透到數學的各個領域。運用函數的思想方法可以構筑、描述客觀世界的重要數學模型，因此，函數的基礎知識在現實生活、科技、經濟和許多學科中有著廣泛的應用。函數概念是中學數學的核心概念數學是描述、探索自然和社會規律的科學語言和研究工具，數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，并在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用。數學的應用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面。數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。數學是人類文化的重要組成部分，己成為公民所必須具備的一種基本素質。函數概念是中學數學的核心概念把函數作為描述客觀世界變化規律的重要數學模型來學習；要求結合實際問題，感受運用函數概念建立模型的過程與方法，強調指數函數、對數函數、冪函數是三類不同的函數增長模型；要求收集函數模型的應用實例，了解函數模型的廣泛應用；要求利用信息技術探索和了解指數函數、對數函數的變化規律和性質；要求將函數的思想方法貫穿在整個高中數學的學習中，不斷加深對函數概念本質的認識和理解等。函數概念是中學數學的核心概念函數概念在各國教材中的發展主線基本相同定義性質基本初等函數函數概念是中學數學的核心概念法國在初中一年級雖然沒有給出函數的定義，但是己經要求學生要用“函數”的說法，高中教學對函數部分提出了具體的教學目的：使學生對于用函數描寫連續現象的方法有所熟悉；對大綱中所規定的常用函數有較好掌握。函數概念是中學數學的核心概念英國的A水平SMP教材第一冊就有數學模型函數、求導函數，第二冊有多項式函數第三冊是對數函數和指數函數

函數內容貫穿于整個數學教學內容。函數概念是中學數學的核心概念德國對數學教育極為重視8年級就引入函數概念，學習一次函數9年級學習二次函數10年級學習冪函數、指數函數和對數函數11年級學習實函數。自從有了學校教育，數學教育就扮演了一個中心的角色。函數概念是中學數學的核心概念美國《中小學數學課程標準》也對于函數有著這樣的要求：理解各種類型的模式和函數關系；應用數學模型以及分析在實際和抽象的背景下的數學模型變化。函數概念是中學數學的核心概念我國則是采取“分層遞進”“螺旋上升”的策略，以注重“雙基”轉變到注重“四基”，以“數”“形”雙助推動“雙向思維”。可見，無論是國內還是國際，無論是發達國家還是發展中國家，都把函數作為中學數學的主角，函數是高中數學的核心內容。函數概念是中學數學概念理解的一個難點函數概念是中學數學概念理解的一個難點學生在學習函數中存在的主要問題不能靈活地運用函數的思想方法解決相關問題，如方程、不等式、數列等；不愿意運用函數的知識和方法解決實際的應用問題，不能用變量的觀點看待客觀世界中量與量之間的普遍聯系，不能正確地用恰當的函數模型反映數量之間的關系。函數概念是中學數學概念理解的一個難點一方面函數概念是抽象的數學概念，是學生在數學學習過程中接觸的第一個非常量意義的概念。學生理解函數不僅要理解常量、變量的概念，而且要理解“變化過程”和變量之間的關系。同時函數表示方法的多樣性，要求學生在符號語言、圖形語言和文字語言之間進行靈活地轉換，使抽象思維和形象思維結合起來，這對學生而言，是一種思維上的挑戰。函數概念是中學數學概念理解的一個難點另一方面中學階段，學生的思維發展水平從具體形象思維逐步過渡到抽象邏輯思維，剛進入高中的學生，他們的思維剛剛脫離了經驗型的邏輯思維，學會了對一些事物進行淺層次的抽象，還無法上升到辨證的邏輯思維階段如何進行函數概念教學如何進行函數概念教學2001年7月中華人民共和國教育部頒布了《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》和2003年4月頒布的《普通高中數學課程標準（實驗）》提出高中數學課程教學的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要。如何進行函數概念教學老師們感到很無奈，使得在教學過程中的操作過于形式化。學生們更是無助和困惑，有的甚至產生了對函數知識學習的畏懼感。函數模型很抽象，對于抽象事物的學習和理解應是從感性認識出發，再到理性認識，從實踐到理論、理論到實踐的過程，不能一躍而就。如何進行函數概念教學函數的教學目標是理解和掌握函數基本知識，形成函數的思想方法，最終提高高中學生分析解決實際生活中問題的能力。存在一定的誤區，覺得數學的學習一般都是解題計算等，認為概念是死的并不重要，學習時一帶而過，而解題方法是活的，可極好的鍛練自己的抽象思維和邏輯思維能力，應重點掌握。如何進行函數概念教學函數的教學目標是理解和掌握函數基本知識，形成函數的思想方法，最終提高高中學生分析解決實際生活中問題的能力。形式化是數學的顯著特點，學習數學就是學習一種有特定含義的形式化語言以及用這樣的語言去表達解釋、解決各種問題。如何進行函數概念教學函數的教學目標是理解和掌握函數基本知識，形成函數的思想方法，最終提高高中學生分析解決實際生活中問題的能力。概念是思維的基本形式之一，它反映事物的本質的特征。把覺察到的事物的共性加以抽象、概括，就形成了我們所說的概念。如何進行函數概念教學從現在高中的現實教學情況來看教師的實際教學措施不得力，我了解過一些相對好的一級達標學校的學生，如廈門、泉州，莆田、漳州、福州等，他們說課堂大多是老師講解一大堆題目，有的很難。學生利用課外時間自學課本知識；這樣他們對知識原理在實際生活的應用意識就別想了，教師給予的引導是如何記憶解題的技巧，至于這個技巧能折射出來什么思想，他們很少去思考。還有一些學校的學生，他們學習基礎相對比較差一些，通常教師在具體教學過中，雖然都能以問題為中心，形成一個問題串來逐步引導學生的邏輯思維。但是，這并沒有充分發揮學生理性思維來建夠數學模型。僅僅感悟和理解問題，這不能提高學生的認知水平。從具體實例出發抽象函數的本質從具體實例出發抽象函數的本質(1)感受階段學生的學習是一個主動建構的過程，學生主動地建立新知識和舊知識聯系是學生習得概念的必要條件。在函數教學時，為了讓學生感受事物的共性，教師可創設合適的問題情境，激活學生初中已有的函數知識或其它學科相差的知識背景。從具體實例出發抽象函數的本質實例1我們乘坐動車組列車，會發現某段時間內車箱內指示燈顯示，動車速度198千米/小時，動車外溫度為33℃等，速度y與時間t的關系？從具體實例出發抽象函數的本質實例2復雜一點的是分段函數:比如說水費，一個家庭一個月用水量6噸以下(包括6噸)，每噸1.2元，超過6噸到10噸(包括10噸)的部分，噸1.5元，超過10噸的部分每噸1.8元等等，那么用水量x與所付水費y的關系?從具體實例出發抽象函數的本質實例3一名學生在安靜狀態下測量自己每分鐘心跳次數，再在劇烈運動4分鐘后測量自己每分鐘心跳次數，每隔一分鐘再測一次直到第五分鐘，得到如下表格:在上述過程中，那些量在變，誰隨誰而變?運動結束后，心跳次數總趨勢是什么?從具體實例出發抽象函數的本質(2)抽象階段活動程序首先開始“活動”只是把函數看作一個簡單的表達式或公式，這些式子中含有可以賦值和運算的字母然后學生把函數看作可以輸入輸出的機器，于是知識就處于第二狀態“程序”。從具體實例出發抽象函數的本質這是一個循環的過程活動程序當學生遇到一個更復雜的函數表達式時，學生就會又回到“活動”階段，進而進一步完善函數“程序”。當學生經過多次“活動”熟悉后，就把它內化成“程序”儲存在腦中。從具體實例出發抽象函數的本質(3)強化階段在這一階段，為了讓學生避免在沒有準確掌握函數概念本質時盲目的應用，教師可以讓學生再舉一些函數的正例，教師可以舉一些與日常生活息息相關或者和其它科學相關的正例。加深學生對函數概念的理解，強化函數的本質屬性是“對應”。從具體實例出發抽象函數的本質通過從典型、豐富的具體實例出發，激發與學生原有的認知結構的沖突，引起學生的積極思維，加強知識間的聯系，抽象概括出函數的本質。教師幫助學生構建活動，通過多次活動讓學生親身體會、感受直觀背景和函數概念的關系，引導學生對活動進行思考，內化為程序，從而抽象出函數的特性，認識函數的本質。通過對函數形式化和符號化的認識，能對函數進行整體認識，在學生頭腦中建構為一個具體的對象。從不同角度認識函數概念

注重概念教學的系統化從不同角度認識函數概念

注重概念教學的系統化在概念的系統中學習概念，使學生有機會從不同角度認識概念，建立概念的‘多元聯系表示’，這不僅便于發揮知識的結構功能，使概念具有‘生長活力’有益于知識的獲得、保持和應用，而且對發展學生的概括能力有特殊意義。從不同角度認識函數概念

注重概念教學的系統化只有從各個角度認識函數，才能對函數達到完整深刻的理解。函數的圖像、解析式和表格表示是學生理解和認識函數的重要方法和手段。既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地繪制圖形、觀察圖形，又要熟練地掌握函數圖像的平移變換、對稱變換等從不同角度認識函數概念

注重概念教學的系統化例如在函數單調性一節的教學中，先從圖像上來認識，然后再區分單調函數與函數單調性的區別。再到單調函數的求證。讓學生從定義中自主理出證明一個函數是單調減或單調增函數的方法。重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識變式就是變化對象的角度、背景、情形、層次而使其面目不一，突出對象的本質特征變式教學可以充分調動學生積極的思維，讓學生主動參與教學的過程，有助于學生理解對象的本質，有助于知識的正遷移，優化學生的認知結構和知識網絡，培養學生分析和解決問題的能力，減輕學生的負擔，提高課堂效率。重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入數學概念它反映了一類事物的本質屬性，具有相對獨立性。重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(l)注重函數概念的引入重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識(2)函數概念辨析變式在給出數學概念的定義后，針對概念的本質屬性(內涵)與分本質屬性(外延)，我們可設計一些辨析型問題，通過對這些問題的討論與解決，從而讓學生明確概念的內涵，深化理解概念。重視函數概念的引入、變式

促進對函數本質的認識可以做下面練習

重視函數概念教學及拓展，提升思維空間重視函數概念教學及拓展，提升思維空間在以上的方法下，學生通過概念同化與概念形成已經理解和掌握函數的相關概念。教師在此基礎上，通過精心設計的練習，鞏固應用概念。教材中針對概念的例題、習題和練習有很多，教師可以變更問題的條件