...wd......wd......wd...復變函數與積分變換〔修訂版〕主編：馬柏林〔復旦大學出版社〕——課后習題答案習題一1.用復數的代數形式a+ib表示以下復數.①解②解：③解：④解：2.求以下各復數的實部和虛部(z=x+iy)R);： ∵設z=x+iy那么∴, ．②解： 設z=x+iy∵∴, ．③解： ∵∴, ．④解： ∵∴, ．⑤解： ∵．∴當時，，； 當時，，．3.求以下復數的模和共軛復數①解：．②解：③解：．④解：4、證明：當且僅當時，z才是實數． 證明：假設，設， 那么有，從而有，即y=0∴z=x為實數． 假設z=x，x∈，那么．∴． 命題成立．5、設z,w∈，證明： 證明∵∴．6、設z,w∈，證明以下不等式．并給出最后一個等式的幾何解釋．證明：在上面第五題的證明已經證明了．下面證．∵．從而得證．∴幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和．7.將以下復數表示為指數形式或三角形式①解：其中．②解：其中．③解：④解：.∴⑤解：解：∵．∴8.計算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根.⑴i的三次根．解：∴．⑵-1的三次根解：∴⑶的平方根．解： ∴∴．9.設.證明：證明：∵∴，即．∴又∵n≥2．∴z≠1 從而11.設是圓周令,其中.求出在a切于圓周的關于的充分必要條件.解：如以下列圖． 因為={z:=0}表示通過點a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，那么CA⊥．過C作直線平行，那么有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90° 所以在α處切于圓周T的關于β的充要條件是α-β=90°．12.指出以下各式中點z所確定的平面圖形，并作出草圖.解：(1)、argz=π．表示負實軸．(2)、|z-1|=|z|．表示直線z=．(3)、1<|z+i|<2解：表示以-i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環域。〔4〕、Re(z)>Imz．解：表示直線y=x的右下半平面5、Imz>1，且|z|<2．解：表示圓盤內的一弓形域。習題二1.求映射下圓周的像.解：設那么因為,所以所以,所以即，表示橢圓.2.在映射下，以下z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設或.〔1〕；〔2〕;(3)x=a,y=b.(a,b為實數)解：設所以(1)記，那么映射成w平面內虛軸上從O到4i的一段，即(2)記，那么映成了w平面上扇形域，即(3)記，那么將直線x=a映成了即是以原點為焦點，張口向左的拋物線將y=b映成了即是以原點為焦點，張口向右拋物線如以下列圖.3.求以下極限.(1);解：令,那么.于是.(2);解：設z=x+yi，那么有顯然當取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.〔3〕；解：=.〔4〕.解：因為所以.4.討論以下函數的連續性：(1)解：因為,假設令y=kx,那么,因為當k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續，除z=0外連續.(2)解：因為,所以所以f(z)在整個z平面連續.5.以下函數在何處求導并求其導數.(1)(n為正整數)；解：因為n為正整數，所以f(z)在整個z平面上可導..(2).解：因為f(z)為有理函數，所以f(z)在處不可導.從而f(z)除外可導.(3).解：f(z)除外處處可導，且.(4).解：因為.所以f(z)除z=0外處處可導，且.6.試判斷以下函數的可導性與解析性.(1);解：在全平面上可微.所以要使得，,只有當z=0時,從而f(z)在z=0處可導，在全平面上不解析.(2).解：在全平面上可微.只有當z=0時,即(0,0)處有,.所以f(z)在z=0處可導，在全平面上不解析.(3);解：在全平面上可微.所以只有當時，才滿足C-R方程.從而f(z)在處可導，在全平面不解析.(4).解：設，那么所以只有當z=0時才滿足C-R方程.從而f(z)在z=0處可導，處處不解析.7.證明區域D內滿足以下條件之一的解析函數必為常數.(1);證明：因為，所以,.所以u,v為常數，于是f(z)為常數.(2)解析.證明：設在D內解析,那么而f(z)為解析函數，所以所以即從而v為常數，u為常數，即f(z)為常數.(3)Ref(z)=常數.證明：因為Ref(z)為常數，即u=C1,因為f(z)解析，C-R條件成立。故即u=C2從而f(z)為常數.(4)Imf(z)=常數.證明：與〔3〕類似，由v=C1得因為f(z)解析，由C-R方程得,即u=C2所以f(z)為常數.5.|f(z)|=常數.證明：因為|f(z)|=C，對C進展討論.假設C=0，那么u=0,v=0,f(z)=0為常數.假設C0，那么f(z)0,但，即u2+v2=C2那么兩邊對x,y分別求偏導數，有利用C-R條件，由于f(z)在D內解析，有所以所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數.(6)argf(z)=常數.證明：argf(z)=常數，即,于是得C-R條件→解得，即u,v為常數，于是f(z)為常數.8.設f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因為f(z)解析，從而滿足C-R條件.所以.9.試證以下函數在z平面上解析，并求其導數.(1)f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i證明：u(x,y)=x3-3xy2,v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足C-R方程，處處可導，處處解析..(2).證明：處處可微，且所以,所以f(z)處處可導，處處解析.10.設求證：(1)f(z)在z=0處連續． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續．(2)考察極限當z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當z沿實軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足C-R條件．(3)當z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導．11.設區域D位于上半平面，D1是D關于x軸的對稱區域，假設f(z)在區域D內解析，求證在區域D1內解析．證明：設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為f(z)在區域D內解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內可微且滿足C-R方程，即．，得故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內可微且滿足C-R條件從而在D1內解析13.計算以下各值(1)e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14.設z沿通過原點的放射線趨于∞點，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時，r→∞． 故． 所以．15.計算以下各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16.試討論函數f(z)=|z|+lnz的連續性與可導性．解：顯然g(z)=|z|在復平面上連續，lnz除負實軸及原點外處處連續．設z=x+iy，在復平面內可微．故g(z)=|z|在復平面上處處不可導．從而f(x)=|z|+lnz在復平面上處處不可導．f(z)在復平面除原點及負實軸外處處連續．17.計算以下各值．(1)(2)(3)18.計算以下各值(1)(2)(3)(4)(5)(6)19.求解以下方程(1)sinz=2．解：(2)解：即(3)解：即(4)解：．20.假設z=x+iy，求證(1)sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chy-isinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明：(4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明：21.證明當y→∞時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．證明：∴ 而 當y→+∞時，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞． 當y→-∞時，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以當y→∞時有|cosz|→∞．習題三1.計算積分,其中C為從原點到點1+i的直線段.解設直線段的方程為,那么.故2.計算積分，其中積分路徑C為(1)從點0到點1+i的直線段;(2)沿拋物線y=x2，從點0到點1+i的弧段.解(1)設.(2)設.3.計算積分，其中積分路徑C為(1)從點-i到點i的直線段;(2)沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點-i到點i;(3)沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點-i到點i.解(1)設.(2)設.從到(3)設.從到6.計算積分,其中為.解∵在所圍的區域內解析∴從而故7.計算積分,其中積分路徑為〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：〔1〕在所圍的區域內，只有一個奇點.〔2〕在所圍的區域內包含三個奇點.故〔3〕在所圍的區域內包含一個奇點,故〔4〕在所圍的區域內包含兩個奇點,故10.利用牛頓-萊布尼茲公式計算以下積分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)解(1)(2)(3)(4)(5)(6)11.計算積分,其中為(1)(2)(3)解(1)(2)(3)16.求以下積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1.(1)(2)(3)解(1)(2)(3)17.計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2)中心位于點,半徑為的正向圓周解：(1)內包含了奇點∴(2)內包含了奇點,∴19.驗證以下函數為調和函數.解(1)設,∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調和函數.(2)設,∴從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調和函數.,滿足拉普拉斯方程,從而是調和函數.20.證明:函數,都是調和函數,但不是解析函數證明:∴,從而是調和函數.∴,從而是調和函數.但∵∴不滿足C-R方程,從而不是解析函數.22.由以下各調和函數,求解析函數(1)(2)解(1)因為所以令y=0,上式變為從而(2)用線積分法，取〔x0,y0〕為(1,0)，有由，得C=023.設,其中各不一樣，閉路C不通過,證明積分等于位于C內的p(z)的零點的個數.證明:不妨設閉路C內的零點的個數為k,其零點分別為24.試證明下述定理(無界區域的柯西積分公式):設f(z)在閉路C及其外部區域D內解析，且，那么其中G為C所圍內部區域.證明：在D內任取一點Z，并取充分大的R，作圓CR:，將C與Z包含在內那么f(z)在以C及為邊界的區域內解析，依柯西積分公式，有因為在上解析，且所以，當Z在C外部時，有即設Z在C內，那么f(z)=0，即故有：習題四復級數與都發散,那么級數和發散.這個命題是否成立?為什么?答.不一定．反例:發散但收斂發散收斂.2.以下復數項級數是否收斂,是絕對收斂還是條件收斂?(1)(2)(3)(4)(5)解(1)因為發散,所以發散(2)發散又因為所以發散(3)發散,又因為收斂,所以不絕對收斂.(4)因為所以級數不絕對收斂.又因為當n=2k時,級數化為收斂當n=2k+1時,級數化為也收斂所以原級數條件收斂(5)其中發散,收斂所以原級數發散.3.證明:假設,且和收斂,那么級數絕對收斂.證明:設因為和收斂所以收斂又因為,所以且當n充分大時,所以收斂而收斂，收斂所以收斂，從而級數絕對收斂.4.討論級數的斂散性解因為局部和，所以，，不存在.當而時〔即〕，cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂．.故當和時,收斂.5.冪級數能否在z=0處收斂而在z=3處發散.解：設，那么當時，級數收斂，時發散.假設在z=0處收斂,那么假設在z=3處發散,那么顯然矛盾,所以冪級數不能在z=0處收斂而在z=3處發散6.以下說法是否正確?為什么?(1)每一個冪級數在它的收斂圓周上處處收斂.(2)每一個冪級數的和函數在它的收斂圓內可能有奇點.答:(1)不正確,因為冪級數在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發散.(2)不正確,因為收斂的冪級數的和函數在收斂圓周內是解析的.7.假設的收斂半徑為R,求的收斂半徑。解：因為所以8.證明：假設冪級數的系數滿足，那么(1)當時,(2)當時,(3)當時,證明：考慮正項級數由于，假設，由正項級數的根值判別法知，當，即，收斂。當，即，不能趨于零,級數發散.故收斂半徑.當時,,級數收斂且.假設,對當充分大時,必有不能趨于零,級數發散.且9.求以下級數的收斂半徑，并寫出收斂圓周。(1)(2)(3)(4)解:(１)收斂圓周(2)所以收斂圓周(3)記由比值法,有要級數收斂,那么級數絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4)記所以時絕對收斂,收斂半徑收斂圓周10.求以下級數的和函數.(1)(2)解:(1)故收斂半徑R=1,由逐項積分性質，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐項求導性質由此得到即有微分方程故有：，A,B待定。所以11.設級數收斂，而發散，證明的收斂半徑為1證明：因為級數收斂設假設的收斂半徑為1那么現用反證法證明假設那么，有，即收斂，與條件矛盾。假設那么，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知，必有，所以12.假設在點處發散，證明級數對于所有滿足點都發散.證明：不妨設當時，在處收斂那么對，絕對收斂，那么在點處收斂所以矛盾,從而在處發散.13.用直接法將函數在點處展開為泰勒級數,(到項),并指出其收斂半徑.解:因為奇點為所以又于是，有展開式14.用直接法將函數在點處展開為泰勒級數,(到項)解：為的奇點，所以收斂半徑又于是，在處的泰勒級數為15.用間接法將以下函數展開為泰勒級數，并指出其收斂性.(1)分別在和處(2)在處(3)在處(4)在處(5)在處解〔1〕(2)(3)(4)(5)因為從沿負實軸不解析所以,收斂半徑為R=116.為什么區域內解析且在區間取實數值的函數展開成的冪級數時，展開式的系數都是實數答：因為當取實數值時，與的泰勒級數展開式是完全一致的，而在內，的展開式系數都是實數。所以在內，的冪級數展開式的系數是實數.17.求的以為中心的各個圓環域內的羅朗級數.解:函數有奇點與,有三個以為中心的圓環域,其羅朗級數.分別為：19.在內將展開成羅朗級數.解:令那么而在內展開式為所以,代入可得20.有人做以下運算,并根據運算做出如下結果因為,所以有結果你認為正確嗎?為什么?答:不正確,因為要求而要求所以,在不同區域內21.證明:用z的冪表示的羅朗級數展開式中的系數為證明:因為和是的奇點，所以在內，的羅朗級數為其中其中C為內任一條繞原點的簡單曲線.22.是函數的孤立奇點嗎?為什么?解:因為的奇點有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點，當時，z=0。從而不是的孤立奇點.23.用級數展開法指出函數在處零點的級.解：故z=0為f(z)的15級零點24.判斷是否為以下函數的孤立奇點，并確定奇點的類型：⑴；⑵解:是的孤立奇點因為所以是的本性奇點.(2)因為所以是的可去奇點.25.以下函數有些什么奇點如果是極點，指出其點：⑴⑵⑶解:(1)所以是奇點,是二級極點.解:(2)是奇點,是一級極點,0是二級極點.解:(3)是的二級零點而是的一級零點,是的一級零點所以是的二級極點,是的一級極點.26.判定以下各函數的什么奇點⑴⑵⑶解:(1)當時,所以,是的可去奇點.(2)因為所以,是的本性奇點.(3)當時,所以,是的可去奇點.27.函數在處有一個二級極點，但根據下面羅朗展開式：.我們得到“又是的本性奇點〞，這兩個結果哪一個是正確的為什么?解:不對,z=1是f(z)的二級極點,不是本性奇點.所給羅朗展開式不是在內得到的在內的羅朗展開式為28.如果C為正向圓周，求積分的值(1)(2)解：〔1〕先將展開為羅朗級數，得而=3在內，,故(2)在內處處解析，羅朗展開式為而=3在內，,故習題五1.求以下函數的留數．(1)在z=0處．解：在0<|z|<+∞的羅朗展開式為∴(2)在z=1處．解：在0<|<+∞的羅朗展開式為∴．2.利用各種方法計算f(z)在有限孤立奇點處的留數．(1)解：的有限孤立奇點處有z=0，z=-2．其中z=0為二級極點z=-2為一級極點．∴3.利用羅朗展開式求函數在∞處的留數．解：∴從而5.計算以下積分．(1)，n為正整數，c為|z|=n取正向．解：．為在c內tanπz有(k=0,±1,±2…±(n-1))一級極點由于∴(2)c:|z|=2取正向．解：因為在c內有z=1，z=-i兩個奇點．所以6.計算以下積分．(1)因被積函數為θ的偶函數，所以令那么有設那么被積函數在|z|=1內只有一個簡單極點但所以又因為∴(2)，|a|>1．解：令令z=eiθ．，那么得(3)，a>0，b>0．解：令，被積函數R(z)在上半平面有一級極點z=ia和ib．故〔4〕.，a>0．解：令，那么z=±ai分別為R(z)的二級極點故(5)，β>0，b>0．解：而考知，那么R(z)在上半平面有z=bi一個二級極點．從而(6)，a>0解：令，在上半平面有z=ai一個一級極點7.計算以下積分(1)解：令，那么R(z)在實軸上有孤立奇點z=0，作以原點為圓心、r為半徑的上半圓周cr，使CR,[-R,-r],Cr,[r,R]構成封閉曲線，此時閉曲線內只有一個奇點i,于是：而．故：．(2)，其中T為直線Rez=c,c>0,0<a<1解：在直線z=c+iy(-∞<y<+∞)上，令，，收斂，所以積分是存在的，并且其中AB為復平面從c-iR到c+iR的線段．考慮函數f(z)沿長方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的積分．＜如以以下列圖＞因為f(z)在其內僅有一個二級極點z=0，而且所以由留數定理．而．習題六1.求映射下，以下曲線的像.(1)(，為實數)解：,所以將映成直線.(2)(k為實數)解：故將映成直線.2.以下區域在指定的映射下映成什么〔1〕；解：所以.故將映成.(2)Re(z)>0.0<Im(z)<1,.解：設z=x+iy,x>0,0<y<1.Re(w)>0.Im(w)>0.假設w=u+iv,那么因為0<y<1,那么故將Re(z)>0,0<Im(z)<1.映為Re(w)>0,Im(w)>0,(以〔,0〕為圓心、為半徑的圓)3.求w=z2在z=i處的伸縮率和旋轉角，問w=z2將經過點z=i且平行于實軸正向的曲線的切線方向映成w平面上哪一個方向并作圖.解：因為=2z,所以(i)=2i,||=2,旋轉角arg=.于是,經過點i且平行實軸正向的向量映成w平面上過點-1，且方向垂直向上的向量.如以下列圖.→4.一個解析函數，所構成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉角的不變性映射w=z2在z平面上每一點都具有這個性質嗎答：一個解析函數所構成的映射在導數不為零的條件下具有伸縮率和旋轉不變性映射w=z2在z=0處導數為零，所以在z=0處不具備這個性質.5.求將區域0<x<1變為本身的整體線性質變換的一般形式.6.試求所有使點不動的分式線性變換.解：設所求分式線性變換為(ad-bc0)由.得因為,即,由代入上式，得.因此令，得其中a為復數.反之也成立，故所求分式線性映射為，a為復數.7.假設分式線性映射，將圓周|z|=1映射成直線那么其余數應滿足什么條件解：假設將圓周|z|=1映成直線，那么映成.而落在單位圓周|z|=1,所以,|c|=|d|.故系數應滿足ad-bc0,且|c|=|d|.8.試確定映射，作用下，以下集合的像.(1);(2)|z|=2;(3)Im(z)>0.解：(1)Re(z)=0是虛軸，即z=iy代入得.寫成參數方程為，,.消去y得，像曲線方程為單位圓,即u2+v2=1.(2)|z|=2.是一圓圍，令.代入得化為參數方程.消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓.即(3)當Im(z)>0時，即,令w=u+iv得.即v>0,故Im(z)>0的像為Im(w)>0.9.求出一個將右半平面Re(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.解：設映射將右半平面z0映射成w=0，那么z0關于軸對稱點的像為，所以所求分式線性變換形式為其中k為常數.又因為,而虛軸上的點z對應|w|=1,不妨設z=0，那么故.10.映射將映射成,實數的幾何意義顯什么解：因為從而所以故表示在單位圓內處的旋轉角.11.求將上半平面Im(z)>0,映射成|w|<1單位圓的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件(1)f(i)=0,=0;(2)f(1)=1,f(i)=.解：將上半平面Im(z)>0,映為單位圓|w|<1的一般分式線性映射為w=k(Im()>0).(1)由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2)由f(1)=1,得k=；由f(i)=,得k=聯立解得.12.求將|z|<1映射成|w|<1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1)f()=0,f(-1)=1.(2)f()=0,,(3)f(a)=a,.解：將單位圓|z|<1映成單位圓|w|<1的分式線性映射，為,||<1.(1)由f()=0，知.又由f(-1)=1，知.故.(2)由f()=0，知，又，于是.(3)先求，使z=a，,且|z|<1映成||<1.那么可知再求w=g()，使=0w=a,,且||<1映成|w|<1.先求其反函數,它使|w|<1映為||<1,w=a映為=0，且,那么.因此，所求w由等式給出..13.求將頂點在0，1，i的三角形式的內部映射為頂點依次為0，2，1+i的三角形的內部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得∶=∶.=..14.求出將圓環域2<|z|<5映射為圓環域4<|w|<10且使f(5)=-4的分式線性映射.解：因為z=5,-5,-2,2映為w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有∶=∶故w=f(z)應為∶=∶即=.討論求得映射是否符合要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=-4.所以|z|>2映為|w|<10.又w=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=-10，所以將|z|<5映為|w|>4，由此確認，此函數符合要求.15.映射將z平面上的曲線映射到w平面上的什么曲線解：略.16.映射w=ez將以下區域映為什么圖形.(1)直線網Re(z)=C1,Im(z)=C2;(2)帶形區域;(3)半帶形區域.解：〔1〕令z=x+iy,Re(z)=C1,z=C1+iy,Im(z)=C2,那么z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.〔2〕令z=x+iy，,那么故將帶形區域映為的張角為的角形區域.〔3〕令z=x+iy，x>0，0<y<,.那么故將半帶形區域Re(z)>0,0<Im(z)<,映為|w|>1,().17.求將單位圓的外部|z|>1保形映射為全平面除去線段-1<Re(w)<1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|>1映為|w1|<1,再用分式線性映射.將|w1|<1映為上半平面Im(w2)>0,然后用冪函數映為有割痕為正實軸的全平面，最后用分式線性映射將區域映為有割痕[-1,1]的全平面.故.18.求出將割去負實軸,Im(z)=0的帶形區域映射為半帶形區域,Re(w)>0的映射.解：用將區域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)>0；再用將半平面映為有割痕(-,-1]的單位圓外域；又用將區域映為去上半單位圓內部的上半平面；再用將區域映為半帶形0<Im(w4)<,Re(w4)>0；最后用映為所求區域，故.19.求將Im(z)<1去掉單位圓|z|<1保形映射為上半平面Im(w)>0的映射.解：略.20.映射將半帶形區域0<Re(z)<,Im(z)>0保形映射為平面上的什么區域.解：因為可以分解為w1=iz，，由于在所給區域單葉解析，所以〔1〕w1=iz將半帶域旋轉，映為0<Im(w1)<,Re(w1)<0.〔2〕將區域映為單位圓的上半圓內部|w2|<1,Im(w2)>0.〔3〕將區域映為下半平面Im(w)<0.MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h習題七1.證明：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當f(t)為奇函數時，那么有其中當f(t)為偶函數時，那么有其中證明：因為其中為f(t)的傅里葉變換當f(t)為奇函數時，為奇函數，從而為偶函數，從而故有為奇數。=所以，當f(t)為奇函數時，有同理，當f(t)為偶函數時，有.其中2.在上一題中，設.計算的值.解:3.計算函數.解:4.求以下函數的傅里葉變換解：(2)解：因為所以根據傅里葉變換的微分性質可得(3)解：(4)解:令，那么在上半平面有兩個一級極點.故.(5)解:同(4