23/23反比例函數綜合【教學目標】學習內容目標層級是否掌握反比例函數面積倍分★★★★☆☆反比例函數最值★★★★★☆反比例函數中一線三垂直的應用★★★★★☆反比例函數動點圖形存在性問★★★★★☆反比例函數線段比值★★★★★☆反比例函數與角★★★★★☆反比例函數面積倍分學習內容目標層級是否掌握反比例函數面積倍分★★★★☆☆【知識點】此類型題，通常根據已知圖形面積將面積倍分問題可轉化成面積定值問題從而解決圖形面積倍分問題【例題講解】★★☆例題1．如圖，經過點的直線與雙曲線交于點，過點，作軸的平行線分別交雙曲線和于點、．（1），直線的表達式；（2）若點的縱坐標為4，求證：；（3）是否存在實數，使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．★★☆練習1．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點和，與軸交于點．（1）求一次函數與反比例函數的解析式；（2）求當時，的取值范圍；（3）過點作軸于點，點是反比例函數在第一象限的圖象上一點．設直線與線段交于點，當時，求點的坐標．★★★練習2．如圖，已知直線經過點，與雙曲線交于點．過點，作軸的平行線分別交雙曲線和于點、．（1）求的值和直線的解析式；（2）若點在直線上，求證：；（3）是否存在實數，使得？若存在，請求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由．【題型知識點總結】_____________________________________________________________二、反比例函數最值學習內容目標層級是否掌握反比例函數最值★★★★★☆【知識點】（1）最短路線問題在直線L上的同側有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．若兩定點在直線異側，直接連接兩點，與動點所在直線交點即為所求點。當求解線段差（絕對值）最大值時，兩定點在同側時，直接連接，延長與動點所在直線交點即為所求點，若不在同側，通過對稱，轉化成同側，延長與動點所在直線交點即為所求點。（2）其他面積最值得類型可轉化為二次函數最值問題求解：確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．【例題講解】★★★例題1．如圖，矩形的頂點、分別在軸、軸上，，直線的解析式為，雙曲線經過點，與邊相交于點．（1）填空：；（2）連接、，試求的面積；（3）在軸上有兩點、，其中點可以使的值最小，而點可以使的值最大，請直接寫出、兩點的坐標以及線段的長．★★★練習1．如圖，已知一次函數與反比例函數的圖象相交于點，與軸相交于點．（1）求的值和的值以及點的坐標；（2）觀察反比例函數的圖象，當時，請直接寫出自變量的取值范圍；（3）以為邊作菱形，使點在軸正半軸上，點在第一象限，求點的坐標；（4）在軸上是否存在點，使的值最小？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★例題2．【閱讀理解】對于任意正實數、，，，只有當時，等號成立．【數學認識】在、均為正實數）中，若為定值，則，只有當時，有最小值．【解決問題】若時，當時，有最小值為；（2）如圖，已知點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，軸，過點作軸于點，過點作軸于點．求四邊形周長的最小值．★★★練習1．如圖，正方形在平面直角坐標系中，點為原點，點在反比例函數圖象上，的面積為8．（1）求反比例函數的關系式；（2）若動點從開始沿向以每秒1個單位的速度運動，同時動點從開始沿向以每秒2個單位的速度運動，當其中一個動點到達端點時，另一個動點隨之停止運動．若運動時間用表示，的面積用表示，求出關于的函數關系式，并求出當運動時間取何值時，的面積最大？（3）當運動時間為秒時，在坐標軸上是否存在點，使的周長最小？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★例題3．如圖，平面直角坐標系中，為原點，點、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點，在反比例函數的圖象上．的延長線交軸于點，的延長線交軸于點，連接．（1）求的度數及點的坐標；（2）求的面積；（3）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請說明理由．★★★練習1．如圖1，已知直線與軸交于點，與軸交于點，將直線在軸下方的部分沿軸翻折，得到一個新函數的圖象（圖中的“形折線”．（1）類比研究函數圖象的方法，請列舉新函數的兩條性質，并求新函數的解析式；（2）如圖2，雙曲線與新函數的圖象交于點，點是線段上一動點（不包括端點），過點作軸的平行線，與新函數圖象交于另一點，與雙曲線交于點．①試求的面積的最大值；②探索：在點運動的過程中，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時點的坐標；若不能，請說明理由．★★★練習2．如圖1，反比例函數的圖象經過點，，射線與反比例函數圖象交于另一點，射線與軸交于點，，軸，垂足為．（1）求的值；（2）求的值及直線的解析式；（3）如圖2，是線段上方反比例函數圖象上一動點，過作直線軸，與相交于點，連接，求面積的最大值．【題型知識點總結】_____________________________________________________________三、反比例函數中一線三垂直的運用學習內容目標層級是否掌握反比例函數中一線三垂直的運用★★★★★☆【知識點】一線三垂直基本模型：【例題講解】★★★例題1．如圖，直線與雙曲線交于、兩點，點為第三象限內一點．（1）若點的坐標為，求的值；（2）當，且，時，求點的坐標；（3）當為等邊三角形時，點的坐標為，試求、之間的關系式．★★★練習1．如圖，在平面直角坐標系中，是雙曲線在第一象限的分支上的一個動點，連接并延長與這個雙曲線的另一分支交于點，以為底邊作等腰直角三角形，使得點位于第四象限．（1）點與原點的最短距離是；（2）設點的坐標為，，點在運動的過程中，隨的變化而變化，關于的函數關系式為．★★★練習2．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，已知點，，點、在第二象限內．（1）求點的坐標．（2）將正方形以每秒1個單位的速度沿軸向右平移秒，若存在某一時刻，使在第一象限內點、兩點的對應點、正好落在某反比例函數的圖象上，請求出此時的值以及這個反比例函數的解析式；（3）在（2）的情況下，問是否存在軸上的點和反比例函數圖象上的點，使得以、、、四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點、的坐標；若不存在，請說明理由．【題型知識點總結】_____________________________________________________________四、反比例函數動點圖形存在性問學習內容目標層級是否掌握反比例函數動點圖形存在性問★★★★★☆【知識點】等腰直角三角形存在性問題可結合一線三垂直的基本模型直接求解；動點產生的相似可依據相似三角形的判定（多數利用兩邊對應成比例且夾角相等判定）具體求解；動點產生的菱形可以結合菱形的判定或是找等腰三角形的方法求解；【例題講解】★★★例題1．如圖，邊長為3的正方形的頂點與原點重合，點，在軸，軸上．反比例函數的圖象交，于點，，連接，，，．（1）求反比例函數的解析式；（2）過點作軸的平行線，點在直線上運動，點在軸上運動；①若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求的面積；②將“①”中的“以為直角頂點的”去掉，將問題改為“若是等腰直角三角形”，的面積除了“①”中求得的結果外，還可以是．（直接寫答案，不用寫步驟）★★★練習1．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．將線段先向右平移1個單位長度、再向上平移個單位長度，得到對應線段，反比例函數的圖象恰好經過、兩點，連接、．（1）求和的值；（2）求反比例函數的表達式及四邊形的面積；（3）點在軸正半軸上，點是反比例函數的圖象上的一個點，若是以為直角邊的等腰直角三角形時，求所有滿足條件的點的坐標．★★☆例題2.如圖，已知一次函數的圖象與軸交于點，與反比例函數的圖象的一個交點為．過點作的垂線，與反比例函數的圖象交于點．（1）求和的值；（2）若直線、分別交軸于點、，試問在軸上是否存在一個點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★練習1.如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于、兩點．（1）利用圖中條件，求反比例函數與一次函數的關系式；（2）根據圖象寫出使該一次函數的值小于該反比例函數的值的的取值范圍；（3）過點作垂直于軸垂足為，連接，在軸是否存在一點（不與點重合），使得以、、為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；不存在，說明理由．★★☆例題3．如圖，平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數在第二象限內的圖象相交于點，與軸的負半軸交于點，與軸的負半軸交于點．（1）求的度數；（2）若軸上一點的縱坐標是4，且，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，若點在軸上，點是平面直角坐標系中的一點，當以點、、、為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點的坐標．★★☆練習1．如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數的圖象交于點，過點，作軸于點，且（1）求反比例函數的解析式；（2）反比例函數圖象上是否存在點，使四邊形為菱形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．【題型知識點總結】_____________________________________________________________五、反比例函數線段比值學習內容目標層級是否掌握反比例函數線段比值★★★★★☆【知識點】可通過比值等數量關系轉化三角函數關系或相似從而求解；【例題講解】★★☆例題1．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點和．（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）請直接寫出時，的取值范圍；（3）過點作軸，于點，點是直線上一點，若，求點的坐標．★★☆練習1．如圖1，的邊在軸的正半軸上，，，反比例函數的圖象經過的．（1）求點的坐標和反比例函數的關系式；（2）如圖2，直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點，若點和點關于直線成軸對稱，求線段的長；（3）如圖3，將線段延長交的圖象于點，過，的直線分別交軸、軸于，兩點，請探究線段與的數量關系，并說明理由．【題型知識點總結】_____________________________________________________________六、反比例函數與角學習內容目標層級是否掌握反比例函數與角★★★★★☆【知識點】直接利用三角函數或與一線三垂直模型結合構建相似求解【例題講解】★★☆例題1．如圖，已知點在反比例函數的圖象上，過點作軸的平行線交軸于點，過點的直線與軸于點，且，．（1）求反比例函數的解析式；（2）連接，試判斷線段與線段的關系，并說明理由；（3）點為軸上點左側的一點，且，連接交直線于點，求的值．★★☆練習1．如圖，點和點是反比例函數圖象上的兩點，一次函數的圖象經過點，與軸交于點，與軸交于點，過點作軸，垂足為，連接，．已知與的面積滿足．（1），；（2）已知點在線段上，當時，求點的坐標．【題型知識點總結】_____________________________________________________________【課后練習】★★☆1．在平面直角坐標系中（如圖），點為直線和雙曲線的一個交點．（1）求、的值；（2）若點，在直線上有一點，使得，請求出點的坐標；（3）在雙曲線上是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．★★★2．如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數的第一象限內的圖象上，，，動點在軸的上方，且滿足．（1）若點在這個反比例函數的圖象上，求點的坐標；（2）連接、，求的最小值；（3）若點是平面內一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點的坐標．★★★3．如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點，且為雙曲線上的一點，為坐標平面上一動點，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、．（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點在直線上運動時，直線上是否存在這樣的點，使得與面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點在第一象限中的雙曲線上運動時，作以、為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長的最小值．★★☆4．如圖，在平面直角坐標系中，直線為常數）與反比例函數交于點，與軸交于點，與軸交于點，且．（1）如圖①，若點的坐標為時，求點的坐標及直線的解析式；（2）如圖①，若，求點的坐標；（3）在（2）的條件下中，如圖②，△是等腰直角三角形，點在反比例函數的圖象上，斜邊都在軸上，求點的坐標．★★☆5．如圖，反比例函數的圖象與矩形的邊相交于，兩點，連接，，且點．（1）求反比例函數的解析式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【拔高練習】★★★1．【閱讀理解】對于任意正實數、，，，，（