7.2.4第2課時誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧學習目標核心素養1.掌握誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正確運用這些公式求任意角的三角函數值．(重點)2.能運用誘導公式進行簡單的三角函數的化簡與恒等式的證明．(重點、難點)1.通過誘導公式⑤、⑥、⑦、⑧的推導，培養學生的邏輯推理核心素養．2.通過誘導公式的應用，提升學生的邏輯推理及數學運算核心素養.新知探究1.誘導公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.2.誘導公式⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα.3.誘導公式⑦sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.4．誘導公式⑧sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα.思考：各組誘導公式雖然形式不同，但存在著一定的規律，有人把它概括為“奇變偶不變，符號看象限”，你理解這句話的含義嗎？[提示]誘導公式可以歸納為k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)的三角函數值．當k為偶數時，得α的同名三角函數值；當k為奇數時，得α的異名三角函數值．然后，在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”．值得注意的是，這里的奇和偶分別指的是eq\f(π,2)的奇數倍或偶數倍；符號看象限指的是等式右邊的正負號恰為把α看成銳角時，原函數值的符號．小試身手1.已知sin40°＝a，則cos130°＝()A．a B．－aC．eq\r(1－a2) D．－eq\r(1－a2)B[cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.]2.若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))>0，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))<0，則θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C[由于coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ>0，所以sinθ<0，又因為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ))＝cosθ<0，所以角θ的終邊落在第三象限，故選C．]3.如果cos(π＋A)＝－eq\f(1,2)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))等于()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)B[cos(π＋A)＝－cosA＝－eq\f(1,2)，∴cosA＝eq\f(1,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＝cosA＝eq\f(1,2).]利用誘導公式求值【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－eq\f(1,2)，α為第一象限角，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))的值．[解](1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－eq\f(1,2)，∴cosα＝eq\f(1,2)，又α為第一象限角．則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2))＝－eq\f(\r(3),2).(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\f(1,3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－eq\f(1,3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(1,9).這是一個利用互余、互補關系解題的問題，對于這類問題，關鍵是要能發現它們的互余、互補關系：如eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α與eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ等互補，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題.1.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))的值．[解]∵eq\f(π,6)＋α＋eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)，∴eq\f(π,3)－α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(\r(3),3).利用誘導公式化簡【例2】化簡eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)－α)),sin[k＋1π＋α]coskπ＋α)，其中k∈Z.[解]k為偶數時，設k＝2m(m∈Z原式＝eq\f(cos2mπ＋\f(π,2)－αsin2mπ－\f(π,2)－α,sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－α)),sinπ＋αcosα)＝eq\f(－sinαcosα,－sinαcosα)＝1.k為奇數時，可設k＝2m＋1(m∈Z仿上化簡得：原式＝1.故原式＝1.用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡.2.已知f(α)＝eq\f(sin－αcosπ＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α).(1)化簡f(α)；(2)若角α的終邊在第二象限且sinα＝eq\f(3,5)，求f(α)．[解](1)f(α)＝eq\f(sin－αcosπ＋αcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)),cosπ－αsin2π＋αtanπ＋α)＝eq\f(－sinα－cosαsinα,－cosαsinαtanα)＝－cosα.(2)由題意知cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴f(α)＝－cosα＝eq\f(4,5).誘導公式的綜合應用【例3】已知f(x)＝eq\f(sinπ－xcosπ＋xcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2)－x)),cos3π－xsinπ－xsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋x))).(1)化簡f(x)；(2)若x是第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)π))＝eq\f(1,5)，求f(x)的值；(3)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π)).[解](1)原式＝eq\f(sinx－cosxcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,2)－x)),cosπ－xsinxsin－π＋xsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x)))＝eq\f(sinx－cosx\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)))),－cosxsinx－sinxcosx)＝eq\f(sinx－cosxsinx－sinx,－cosxsinx－sinxcosx)＝tanx.(2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)π))＝－sinx，∴sinx＝－eq\f(1,5).∵x是第三象限角，∴cosx＝－eq\r(1－sin2x)＝－eq\f(2\r(6),5).∴f(x)＝tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(1,2\r(6))＝eq\f(\r(6),12).(3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31,3)π))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10π＋\f(π,3)))＝－taneq\f(π,3)＝－eq\r(3).本題是與函數相結合的問題，解決此類問題時，可先用誘導公式化簡變形，將三角函數的角度統一后再用同角三角函數關系式，這樣可避免公式交錯使用而導致的混亂．3.已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．[解]方程5x2－7x－6＝0的兩根為x1＝－eq\f(3,5)，x2＝2，由α是第三象限角，得sinα＝－eq\f(3,5)，則cosα＝－eq\f(4,5)，∴eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3π,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)＝eq\f(sin\b\lc\(