§6.7數學歸納法

考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考§6.7數學歸納法雙基研習?面對高考1．數學歸納法數學歸納法是用來證明關于_________命題的一種方法，若n0是起始值，則n0是_______________________________．2．用數學歸納法證明命題的步驟(1)當n＝______時，驗證命題成立．雙基研習?面對高考基礎梳理正整數使命題成立的最小的正整數n0(2)假設當n＝k(k≥n0且k∈N＋)時命題成立，推證n＝_______時命題也成立，從而推出命題對于所有的_______________________成立，其中第一步是_________，第二步是__________，二者缺一不可．思考感悟

數學歸納法的第一步是驗證，那么對于任何命題都是驗證n＝1時命題成立嗎？提示：不一定，要看題目中n的要求，如證當n≥3時命題成立，則第一步應驗證n＝3時命題成立．

k＋1從n0開始的所有正整數n歸納奠基歸納遞推課前熱身1．(教材習題改編)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的過程中，在驗證n＝1時，左端計算所得的項為(

)

A．1

B．1＋2C．1＋2＋22

D．1＋2＋22＋23答案：C答案：D答案：B5．(2011年黃山模擬)已知整數對的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，則第60個數對是________．答案：(5,7)考點探究?挑戰高考考點突破考點一用數學歸納法證明等式用數學歸納法證明與正整數有關的等式問題是數學歸納法應用的常見題型，其關鍵點在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少．同時，由n＝k到n＝k＋1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用歸納假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．例1【思路點點撥】本題是是一個個與正正整數數n有關的的命題題，直直接證證明有有困難難，可可考慮慮用數數學歸歸納法法．【名師點點評】用數學學歸納納法證證明恒恒等式式的關關鍵是是在證證明n＝k＋1時命命題題成成立立，，從從n＝k＋1的待待證證的的目目標標恒恒等等式式(或不不等等式式)的一一端端“拼湊湊”出歸歸納納假假設設的的恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端，，再再運運用用歸歸納納假假設設即即可可．．同同時時，，還還要要注注意意待待證證的的目目標標恒恒等等式式(或不不等等式式)的另另一一端端的的變變化化(即用用“k＋1”代替替恒恒等等式式或或不不等等式式中中的的所所有有的的“n”)考點二用數學歸納法證明不等式用數數學學歸歸納納法法證證明明不不等等式式的的關關鍵鍵是是由由n＝k成立立得得n＝k＋1成立立，，主主要要方方法法有有：：①①放放縮縮法法；；②②利利用用基基本本不不等等式式法法；；③③作作差差比比較較法法；；④④綜綜合合法法；；⑤⑤分分析析法法等等．．例2【思路路點點撥撥】本題題考考查查利利用用數數學學歸歸納納法法證證明明與與正正整整數數有有關關的的不不等等式式．．合合理理運運用用歸歸納納假假設設后后，，向向目目標標靠靠攏攏的的過過程程中中，，可可以以利利用用證證明明不不等等式式的的一一切切方方法法去去證證明明．．【名師師點點評評】用數數學學歸歸納納法法證證明明與與n有關關的的不不等等式式一一般般有有兩兩種種具具體體形形式式：：一是是直直接接給給出出不不等等式式，，按按要要求求進進行行證證明明；；二是是給給出出兩兩個個式式子子，，按按要要求求比比較較它它們們的的大大小小．．對第第二二類類形形式式往往往往要要先先對對n取前前幾幾個個值值的的情情況況分分別別驗驗證證比比較較，，以以免免出出現現判判斷斷失失誤誤，，最最后后猜猜出出從從某某個個n值開始都都成立的的結論，，再用數數學歸納納法證明明．考點三歸納、猜想、證明“歸納——猜想——證明”的模式，，是不完完全歸納納法與數數學歸納納法綜合合應用的的解題模模式．其其一般思思路是：：通過觀觀察有限限個特例例，猜想想出一般般性的結結論，然然后用數數學歸納納法證明明．這種種方法在在解決探探索性問問題、存存在性問問題或與與正整數數有關的的命題中中有著廣廣泛的應應用．其其關鍵是是歸納、、猜想出出公式．．例3【名師點評評】數學歸納納法是高高中重要要的證明明方法，，在高考考中常與與其他知知識相結結合，尤尤其與數數列中的的歸納、、猜想并并證明或或與數列列中的不不等式問問題相結結合綜合合考查，，證明時時要靈活活應用題題目中所所給出的的已知條條件，充充分考慮慮“假設”這一步的的應用，，不考慮慮假設而而進行的的證明不不是數學學歸納法法．變式訓練練2在數列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數數列，bn，an＋1，bn＋1成等比數數列(n∈N＋)，求a2，a3，a4與b2，b3，b4的值，由由此猜測測{an}，{bn}的通項公公式，并并證明你你的結論論．方法感悟方法技巧巧1．利用數數學歸納納法可以以對不完完全歸納納的問題題進行嚴嚴格的證證明．(如例3)2．利用數數學歸納納法可以以證明與與正整數數有關的的等式問問題．(如例1)3．利用數數學歸納納法可以以證明與與正整數數有關的的不等式式問題．．(如例2)4．用數學學歸納法法證明的的關鍵在在于兩個個步驟，，要做到到“遞推基礎礎不可少少，歸納納假設要要用到，，結論寫寫明莫忘忘掉．”因此必須須注意以以下三點點：(1)驗證是基基礎數學歸納納法的原原理表明明：第一一個步驟驟是要找找一個數數n0，這個n0就是要證證明的命命題對象象的最小小正整數數，這個個正整數數并不一一定都是是“1”，因此“找準起點點，奠基基要穩”是正確運運用數學學歸納法法第一個個要注意意的問題題．(2)遞推乃關關鍵數學歸納納法的實實質在于于遞推，，所以從從“k”到“k＋1”的過程，，必須把把歸納假假設“n＝k”作為條件件來導出出“n＝k＋1”時的命題題，在推推導過程程中，要要把歸納納假設用用上一次次或幾次次．(3)尋找遞推推關系的的方法①在第一一步驗證證時，不不妨多計計算幾項項，并爭爭取正確確寫出來來，這樣樣對發現現遞推關關系是有有幫助的的．②探求數數列通項項公式要要善于觀觀察式子子或命題題的變化化規律，，觀察n處在哪個個位置．．③在書寫寫f(k＋1)時，一定定要把包包含f(k)的式子寫出來來，尤其是f(k)中的最后一項項，除此之外外，多了哪些些項，少了哪哪些項都要分分析清楚．(如例3)失誤防范1．數學歸納法法僅適用于與與正整數有關關的數學命題題．2．嚴格按照數數學歸納法的的三個步驟書書寫，特別是是對初始值的的驗證不可省省略，有時要要取兩個(或兩個以上)初始值進行驗驗證；初始值值的驗證是歸歸納假設的基基礎．3．注意n＝k＋1時命題的正確確性．4．在進行n＝k＋1命題證明時，，一定要用n＝k(k∈N＋)時的命題，沒沒有用到該命命題而推理證證明的方法不不是數學歸納納法．考情分析考向瞭望?把脈高考數學歸納法在在高考中的考考查重點是證證明與正整數數有關的不等等式以及與數數列有關的命命題，其中用用數學歸納法法證明與數列列有關的命題題是高考的熱熱點，題型為為解答題，主主要考查用數數學歸納法證證明數學命題題的能力，同同時考查學生生分析問題、、解決問題的的能力，難度度中、高檔．．預測2012年高考可能以以與數列有關關的等式或不不等式的證明明為主要考點點，重點考查查學生運用數數學歸納法解解決問題的能能力．真題透析例(本題滿分12分)(2010年高考江蘇卷卷)已知△ABC的三邊長都是是有理數．(1)求證：cosA是有理數；(2)求證：對任意意正整數n，cosnA是有理數．當n＝k＋1時，cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，8分sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①和歸納假設，，知cos(k＋1)A與sinA·sin(k＋1)A都是有理數．．即當n＝k＋1時，結論成立立.10分綜合①②可知，對任意意正整數n，cosnA是有理數.12分【名師點評】本題易失誤誤的是：①歸納假設使使用不當致致誤；②沒有證明sinA·sinnA或sinA·sinA為有理數，，直接應用用致誤；③步驟不全，，造成失分分．名師預測已知(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…an(x－1)n(其中n∈N＋)．(1)求a0及Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an；(2)試比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，并并說明理由由．解：(1)取x＝1，則a0＝2n；取x＝2，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－2n.(2)要比較Sn與(n－2)2n＋2n2的大小，即即比較3n與(n－1)·2n＋2n2的大小，當n＝1時，3n>(n－1)2n＋2n2；當n＝2,3時，3n<(n－1)2n＋2n2；當n＝4,5時，3n>(n－1)2n＋2n2；猜想：當n≥4時，3n>(n－1)2n＋2n2，下面用數數學歸納法法證明：由上述過程程可知，當當n＝4時結論成立立，假設當n＝k(k≥4)時結結論論成成立立，，即即3k>(k－1)2k＋2k2，兩邊邊同同乘乘以以3，得得3k＋1>3[(k－1)2k＋2k2]＝k2k＋1＋2(k＋1)2＋[(k－3)2k＋4k2－4k－2]，而(k－3)2k＋4k2－4k－2＝(k－3)2k＋4(k2－k－2)＋6＝(k－3)2k＋4(k－2)(k