§5.1數列的概念與簡單表示法

§5.1數列的概念與簡單表示法考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考雙基研習·面對高考1．數列的概念按一定次序排列的一列數叫作數列，數列中的每一個數叫作這個數列的___．數列一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為數列{an}，其中數列的第1項a1也稱____；an是數列的第n項，也叫數列的____．雙基研習?面對高考基礎梳理項首項通項2．數列的分類分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數____無窮數列項數____按項與項間的大小關系分類遞增數列an＋1__an其中n∈N＋遞減數列an＋1__an常數數列an＋1＝an有限無限><3.數列與函數的關系從函數觀點看，數列可以看作定義域為_________________的函數，當自變量從小到大依次取值時，該函數對應的一列______就是這個數列．4．數列的通項公式如果數列{an}的第n項an與__之間的函數關系可以用一個式子表示成_______，那么這個式子就叫作這個數列的通項公式．N＋或它的有限子集函數值an＝f(n)n思考感悟數列的通項公式唯一嗎？是否每個數列都有通項公式？1．(教材習題質檢)已知數列{an}的通項公式為an＝29－9n，則在下列各數中，不是{an}的項的是(

)A．20

B．11C．－2 D．－7答案：C課前熱身答案：D3．(2011年宿州質檢)若數列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4等于(

)A．7

B．8C．9 D．17答案：A5．已知數列{an}滿足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，則a2011＝______；a2018＝______.答案：0

1考點探究?挑戰高考考點突破考點一數列的通項公式根據據數數列列的的前前若若干干項項寫寫出出數數列列的的一一個個通通項項公公式式．．解解決決這這一一題題型型的的關關鍵鍵是是通通過過觀觀察察、、分分析析、、比比較較去去發發現現項項與與項項之之間間的的關關系系，，如如果果關關系系不不明明顯顯，，應應該該將將項項作作適適當當變變形形或或分分解解，，讓讓規規律律突突現現出出來來，，便便于于找找到到通通項項公公式式；；同同時時還還要要借借助助一一些些基基本本數數列列的的通通項項及及其其特特點點．．例1【思路路點點撥撥】由所所給給數數列列前前幾幾項項的的特特點點，，歸歸納納出出其其通通項項公公式式，，注注意意項項與與項項數數的的關關系系，，項項與與前前、、后后項項之之間間的的關關系系，，通通項項公公式式的的形形式式并并不不唯唯一一．．【失誤誤點點評評】在解解決決有有關關通通項項公公式式的的問問題題時時易易在在以以下下環環節節出出錯錯：：(1)項數數搞搞錯錯；；(2)由歸歸納納法法求求通通項項時時，，只只滿滿足足前前幾幾項項，，而而不不能能滿滿足足所所有有的的情情況況．．變式式訓訓練練1根據據下下面面各各數數列列前前幾幾項項的的值值，，寫寫出出數數列列的的一一個個通通項項公公式式．．解：：(1)符號問題可通通過(－1)n或(－1)n＋1表示．其各項項的絕對值的的排列規律為為：后面的數數的絕對值總總比它前面數數的絕對值大大6，故通項公式式為an＝(－1)n(6n－5)(n∈N＋)．(2)這是一個分數數數列，其分分子構成偶數數數列，而分分母可分解成成1×3,3××5,5×7,7×9,9×11，…，每一項都是是兩個相鄰的的奇數的乘積積，經過組合合，則所求數數列的通項公公式為考點二由遞推關系求通項公式遞推公式是給給出數列的一一種方法，根根據遞推公式式，寫出數列列的前幾項，，可以根據前前幾項的構成成，找出數列列的基本規律律，歸納出數數列的通項公公式；或將遞遞推公式變形形，推導出數數列的通項公公式．例2(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2為公比的等比比數列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N＋)．(4)由已知，an>0，在遞推關系系式兩邊取對對數，有lgan＋1＝2lgan＋lg3.令bn＝lgan，則bn＋1＝2bn＋lg3.所以bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，所以{bn＋lg3}是等比數列．．所以bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3.所以bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan.所以an＝32n－1.【規律小結】(1)數列遞推關系系形如an＋1＝an＋f(n)，其中{f(n)}的前有限項可可求和．此種種類型的數列列求通項公式式時，常常是是相鄰兩項作作差，然后對對差式求和，，這是求通項項公式的一種種重要方法．．(2)數列遞推關系系形如an＋1＝g(n)an，其中{g(n)}的前n項的乘積容易易化簡．此數數列求通項公公式一般采用用累乘法．考點三由Sn求an例3已知下面各數數列{an}的前n項和Sn的公式，求{an}的通項公式．．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2；(3)Sn＝3an－2.【解】(1)a1＝S1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.由于a1也適合此式，，因此an＝4n－5(n∈N＋)．【失誤點評】在解答過程中中易忽視n＝1時，a1＝S1，而直接利用用an＝Sn－Sn－1求an的情況，導致致此種錯誤的的原因是沒有有熟練掌握數數列{an}的前n項和Sn與通項an之間的關系或或粗心大意．．1．數列的單調調性：若an＋1>an，則{an}為遞增數列，，若an＋1<an，則{an}為遞減數列，，否則為擺動動數列或常數數列．2．周期性：若若an＋k＝an對n∈N＋(k為常數)成立，則{an}為周期數列．．對于一些數數列，若通項項無法求出時時，可考慮其其周期性．3．有界界性：：若{an}滿足：：|an|≥M或|an|≤M，則稱稱{an}為有界界數列列，并并能求求出數數列中中的最最大項項或最最小項項．考點四數列的函數特性例4【名師點點評】(1)數列是是一類類特殊殊的函函數，，解題題時注注意函函數與與方程程思想想的應應用，，以及及轉化化思想想也是是解題題的常常用方方法．．(2)數列的的單調調性是是高考考常考考內容容之一一，有有關數數列最最大項項、最最小項項、數數列有有界性性問題題均可可借助助數列列的單單調性性來解解決，，判斷斷單調調性時時常用用①作差法法，②作商法法，③結合函函數圖圖像等等方法法．方法感感悟方法技技巧1．求數數列通通項或或指定定項．．通常常用觀觀察法法(對于交交錯數數列一一般用用(－1)n或(－1)n＋1來區分分奇偶偶項的的符號號)；已知知數列列中的的遞推推關系系，一一般只只要求求寫出出數列列的前前幾項項，若若求通通項可可用歸歸納、、猜想想和轉轉化的的方法法．(如例1)3．已知知遞推推關系系求通通項：：這類類問題題的要要求不不高，，但試試題難難度較較難把把握．．一般般有三三種常常見思思路：：(1)算出前前幾項項，再再歸納納、猜猜想；；(2)“an＋1＝pan＋q”這種形形式通通常轉轉化為為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待待定系系數法法求出出λ，再化化為等等比數數列；；(3)逐差累累加或或累乘乘法．．(如例2)4．創新新內容容：體體現新新情境境，體體現與與其它它知識識的交交匯．．(如例4)1．數列列是一一種特特殊的的函數數，即即數列列是一一個定定義在在非零零自然然數集集或其其子集集上的的函數數，當當自變變量依依次從從小到到大取取值時時所對對應的的一列列函數數值，，就是是數列列．因因此，，在研研究函函數問問題時時既要要注意意函數數方法法的普普遍性性，又又要考考慮數數列方方法的的特殊殊性．．失誤防防范2．根據據所給給數列列的前前幾項項求其其通項項時，，需仔仔細觀觀察分分析，，抓住住其幾幾方面面的特特征：：分式式中分分子、、分母母的各各自特特征；；相鄰鄰項的的聯系系特征征；拆拆項后后的各各部分分特征征；符符號特特征，，應多多進行行對比比、分分析，，從整整體到到局部部多角角度觀觀察、、歸納納、聯聯想．．3．數列列的圖圖像是是一系系列孤孤立的的點．．由數列列的遞遞推關關系求求數列列的項項或通通項公公式是是高考考的熱熱點，，題型型以選選擇、、填空空題為為主，，也可可能作作為一一步出出現在在解答答題中中，屬屬較難難題目目，旨旨在考考查學學生分分析問問題、、解決決問題題的能能力．．考查查基本本知識識的同同時又又注重重考查查等價價轉化化、函函數與與方程程、分分類討討論等等思想想方法法．預測2012年仍將將以考考查遞遞推關關系式式為主主，重重點考考查學學生的的運算算能力力與邏邏輯推推理能能力．．考情分析考向瞭望?把脈高考真題透透析例(2)數列的的通項項公式式、前前n項和公公式都都是關關于正正整數數n的函數數，要要善于于從函函數的的觀點點認識識和理理解數數列問問題．．數列列的通通項公公式的的求解解是歷歷年高高考的的重點點和熱熱點，，該題題中的的累加加法實實際上上也是是推導導等差差數列列通項項公式式的一一種方方法．．關于于正整整數n的對應應函數數，使使其取取最值值的點點就在在離單單調區區間分分界點點距離離最近近的那那兩個個點中中取得得，代代入檢檢驗便便可確確定最最值．．名師預測測2．已知數數列{an}的通項公公式是an＝n2＋Kn＋2，若對于于n∈N＋，都有an＋1>an成立，則則實數K的取值范范圍是()A．K>0B．K>－1C．K>－