第2講導數在研究函數中的應用

1．函數的單調性與導數的關系

一般地，函數的單調性與其導函數的正負有如下關系：在某個區間(a，b)內，如果f′(x)＞0，那么函數y＝f(x)在這個區間內__________；如果f′(x)＜0，那么函數y＝f(x)在這個區間內_____________.單調遞增單調遞減

2．判別f(x0)是極大、極小值的方法

若x0滿足f′(x0)＝0，且在x0的兩側f(x)的導數異號，則x0是f(x)的極值點，f(x0)是極值．且如果f′(x)在x0兩側滿足“左正右負”，則x0是f(x)的______點，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側滿足“左負右正”，則x0是f(x)的______，f(x0)是_______．極大值極小值極小值)D1．函數f(x)＝x3－3x2＋1是減函數的區間為(A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－∞，0) D．(0,2)2．函數f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時取得極值，則a＝()DA．2B．3C．4D．53．函數y＝2x3－3x2－12x＋5在區間[0,3]上最大值與最小值分別()AA．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16A

解析：y′＝ex＋xex＋2，斜率k＝e0＋0＋2＝3，所以，y－1＝3x，即y＝3x＋1.考點1討論函數的單調性

例1：設函數

f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a、b的值； (2)求函數f(x)的單調區間與極值點．

y＝3x＋15．曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為_________.解題思路：本題考查利用導數研究函數的單調性和極值． 解析：(1)f′(x)＝3x2－3a， ∵曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處與直線y＝8相切，

(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)， 當a＜0時，f′(x)＞0， 函數f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，此時函數f(x)沒有極值點．

當x∈(－∞，－a)時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增， 當x∈(－a，a)時，f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減， 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增，

∴此時x＝－a是f(x)的極大值點，x＝a是f(x)的極小值點．

本題出錯最多的就是將(1)中結論a＝4用到(2)中．【互動探究】

1．設函數f(x)＝xekx

(k≠0)． (1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程； (2)求函數f(x)的單調區間； (3)若函數f(x)在區間(－1,1)內單調遞增，求k的取值范圍． 考點2導數與函數的極值和最大(小)值

例2：設函數

f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取得極值． (1)求a、b的值； (2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．當x∈(1,2)時，f′(x)<0；當x∈(2,3)時，f′(x)>0.所以，當x＝1時，f(x)取得極大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因為對于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．【互動探究】考點3構造函數來來證明不等等式例3：已知函數f(x)是(0，，＋∞)上上的可導函函數，若xf′(x)>f(x)在x>0時恒恒成立．(2)求證證：當x1>0，x2>0時，，有f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．所以函數g(x)＝因為xf′(x)>f(x)，所以g′(x)>0在在x>0時恒恒成立，f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函數．．(2)由(1)知函函數g(x)＝f(x)x在(0，＋＋∞)上是是增函數，，所以當x1>0，x2>0時，，兩式相加得得f(x1＋x2)>f(x1)＋f(x2)．≤ln(x＋1)≤x.－1＝－x＋1【互動探究究】3．已知函函數f(x)＝ln(x＋1)－x.(1)求函函數f(x)的單調遞遞減區間；；(2)若x＞－1，證證明：1－－1x＋1(1)解：函數f(x)的定義域域為(－1，＋∞)，f′(x)＝1x＋1x.由f′(x)＜0及及x＞－1，得得x＞0.所以當x∈(0，＋＋∞)時，，f(x)是減函數數，即f(x)的單調遞遞減區間是是(0，＋＋∞)．(2)證明：由(1)知知，當x∈(－1,0)時，，f′(x)＞0；當x∈(0，＋＋∞)時，，f′(x)＜0.因此，當x＞－1時時，f(x)≤f(0)，即即ln(x＋1)－x≤0，－1，－.x＋1所以以ln(x＋1)≤≤x.令g(x)＝＝ln(x＋1)＋＋1x＋1則g′(x)＝＝11x＋1(x＋1)＝2x(x2當x∈(－－1,0)時，，g′(x)＜0；當當x∈(0，＋＋∞)時，，g′(x)＞0.所以當當x＞－1時時，g(x)≥g(0)，即ln(x＋1)＋1x＋1－1≥≥0，，ln(x＋1)≥1－1.綜上可可知，，若x＞－1，則則1－1x＋1≤ln(x＋1)≤x.錯源：f′(x0)＝0是f(x0)為極值的必必要但不充充分條件例4：已知函數f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1時時有極值0，則m＝_______，，n＝________.誤解分析：：對f(x)為極值的的充要條件件理解不清清，導致出出現多解．正解：f′(x)＝3x2＋6mx＋n，由題意，f′(－1)＝3－6m＋n＝0，f(－1)＝＝－1＋3m－n＋m2＝0，即x＝－1不不是f(x)的極值點點，應舍去去．故m＝2，n＝9.糾錯反思：：f′(x)=0是f(x0)為極值的的必要但不不充分條件件,判斷x0不是極值點點需要檢查查x0側f′(x)的符號.如如果左正右右負，那么么f(x0)是函數f(x)的一個極極大值；如如果左負右右正，那么么f(x0)是函數f(x)的一個極小小值；如果果符號相同同，那么f(x0)不是函數數f(x)的極值.此題就沒有有討論在兩兩種情況下下，f(-1)是是不是為極極值.本題題說明用導數求函數數極值時一一定要判斷斷某函數值值是不是極極值，要檢驗驗相關區間內導導數的符號號.【互動探究究】4．設f′(x)是函數f(x)的導函數數，y＝f′(x)的圖像如如圖4－－)C2－1，則則y＝f(x)的圖像最最有可能的的是(圖4－2－1解析：由導函數的的圖像知，，導函數在在x＝0和x＝2時的的導函數值為為0，，故原來來的函數數y＝f(x)在x＝0和和x＝2時時取得極極值．當x≤0或或x≥2時時，導函函數值為為正(或或0)，當0＜x＜2時時，導函函數值為負負，所以以當x≤0或或x≥2時時函數y＝f(x)為增函函數，當當0＜x＜2時時，函數數y＝f(x)為減函函數，故故選項為為C.(1)證證明a>0；(2)若若z＝a＋2b，求z的取值范范圍．解析：f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.(1)由由函數f(x)在x＝x1處取得極大值值，在x＝x2處取得極小值，知x1、x2是f′(x)＝0的兩兩個根．所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)．當x<x1時，f(x)為增函數，，f′(x)>0，由x－x1<0，x－x2<0得a>0.(2)在題題設下，0<x1<1<x2<2等價價于圖4－2－21．求函數數的極值的的步驟：(1)確定定函數的定定義區間，，求導數f′(x)．(2)求方方程f′(x)＝0的的根．(3)用函函數的導數數為0的的點，順順次將函數數的定義區區間分成若若干小開區間間，并列成成表格．檢檢查f′(x)在方程根根左右的值值的符號，，如果左正右右負，那么么f(x)在這個根根處取得極極大值；如如果左負右右正，那么f(x)在這個根根處取得極極小值；如如果左右不不改變符號號，那么f(x)在這個根處處無極值．．2．求函數數最值的步步驟：(1)求出出f(x)在(a，b)上的的極值值．(2)求出出端點點函數數值f(a)、f(b)．(3)比較較極值值和端端點值值，確確定最最大值值或最最小值值．1．(2010年年佛山山調研研)已已知函函數f(x)＝x2＋ax＋blnx(x>0，，實數a、b為常數數)．．(1)若a＝1，，b＝－1，求求函數數f(x)的極極值；；(2)若a＋b＝－2，討討論函函數f(x)的單單調性性．(1)求函函數f(x)為奇奇函數數的充充要條條件；；(2)若任任取a∈[0,4]，，b∈[0,3]，，求函函數f(x)在R上是增增函數數的概率率．所以f(x)為奇奇函數數．故f(x)為奇奇函數數的充充要條條件是是a＝1.(2)因為為f′(x)＝x2－2(a－1)