第3課時等比數(shù)列1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從

起，每一項與它的

的比等于

常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的

，公比通常用字母

(q≠0)表示．(2)等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝

.第2項前一項同一個公比qa1qn－11．等比數(shù)列{an}中a5＝4，則a2·a8等于(

)A．4

B．8C．16D．32答案：

C2．(2010·重慶卷)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2B．3C．4D．8答案：

A答案：

C答案：

155．(2010·福建卷)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式an＝________.解析：∵等比數(shù)列{an}的前3項之和為21，公比q＝4，不妨設(shè)首項為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.答案：

4n－1(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N)，則{an}是等比數(shù)列．(4)前n項和公公式法法：若若數(shù)列列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比比數(shù)列列．[注意](1)前兩種種方法法是證證明等等比數(shù)數(shù)列的的常用用方法法，而而后兩兩種方方法常常用于于選擇擇、填填空中中的判判定．．(2)若要判判定一一個數(shù)數(shù)列不不是等等比數(shù)數(shù)列，，則只只需判判定存存在連連續(xù)三三項不不成等等比即即可．．[變式訓(xùn)練]1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1，n∈N．求證：數(shù)列列{an＋1}從第二項起起是等比數(shù)數(shù)列，并求求數(shù)列{an}的通項公式式．證明：由Sn＋1＝2Sn＋n＋1①得Sn＝2Sn－1＋(n－1)＋1(n≥2)．②①－②得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－(n－1)．故an＋1＝2an＋1(n≥2)．又an＋1＋1＝2(an＋1)，所以＝＝2(n≥2)．故數(shù)列{an＋1}從第二項起起，是以a2＋1為首項，公公比為2的等比數(shù)列列．又S2＝2S1＋1＋1，a1＝1，所以a2＝3.故an＝4××2n－2－1＝2n－1(n≥≥2)又a1＝1不滿滿足足an＝2n－1，所以以an＝.等比比數(shù)數(shù)列列基基本本量量的的運運算算是是等等比比數(shù)數(shù)列列中中的的一一類類基基本本問問題題，，數(shù)數(shù)列列[注意]在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式．2010··江蘇蘇蘇蘇州州調(diào)(1)若{an}是等差數(shù)列，且b3＝12，求a的值及{an}的通項公式；(2)若{an}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項和Sn；[變式式訓(xùn)訓(xùn)練練]2.設(shè)等等比比數(shù)數(shù)列列{an}的公公比比q＜1，前前n項和和為為Sn.已知知a3＝2，S4＝5S2，求求數(shù)數(shù)列列{an}的通通項項公公式式．．等比比數(shù)數(shù)列列與與等等差差數(shù)數(shù)列列在在定定義義上上只只有有““一一字字之之差差””，，它它們們的的通通項項公公式式和和性性質(zhì)質(zhì)有有許許多多相相似似(2)由題題意意知知Sn＝X，S2n＝Y(jié)，S3n＝Z.又∵∵{an}是等等比比數(shù)數(shù)列列，，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n為等等比比數(shù)數(shù)列列，，即X，Y－X，Z－Y為等等比比數(shù)數(shù)列列，，∴(Y－X)2＝X··(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)，∴∴選選D.答案案：：(1)A(2)D[變式式訓(xùn)訓(xùn)練練]3.(1)(2010··北京京卷卷)在等等比比數(shù)數(shù)列列{an}中，，a1＝1，公公比比|q|≠≠1.若am＝a1a2a3a4a5，則則m＝()A．9B．10C．11D．12(2)設(shè)數(shù)列{a等比數(shù)列的定定義，通項公公式，前n項和公式是解解決等比數(shù)列列中的有關(guān)計計算、討論等等比數(shù)列的有有關(guān)性質(zhì)的問問題的基礎(chǔ)和和出發(fā)點．(1)確定等比數(shù)列列的關(guān)鍵是確確定首項a1和公比q.(2)在等比數(shù)列通通項公式和前前n項和公式中共共涉及五個量量an，a1，n，q，Sn，可“知三求求二”．(3)等比數(shù)列求和和公式的推導(dǎo)導(dǎo)的思想可用用于等比數(shù)列列與等差數(shù)列列對應(yīng)項之積積構(gòu)成的數(shù)列列求和問題，，即利用錯位位相消的方法法去求數(shù)列的的前n項和．(4)在利用等比數(shù)數(shù)列前n項和公式時，，一定要對公公比q＝1或q≠1作出判斷；計計算過程中要要注意整體代代入的思想方方法．(5)等差數(shù)列與等等比數(shù)列的關(guān)關(guān)系是：①若一一個數(shù)數(shù)列既既是等等差數(shù)數(shù)列，，又是是等比比數(shù)列列，則則此數(shù)數(shù)列是是非零零常數(shù)數(shù)列；；②若{an}是等比比數(shù)列列，且且an＞0，則{lgan}構(gòu)成等等差數(shù)數(shù)列．．通過對對近三三年高高考試試題的的統(tǒng)計計分析析可以以看出出，本本節(jié)命命題的的規(guī)律律總結(jié)結(jié)如下下：1．考查查熱點點：等等比數(shù)數(shù)列的的通項項公式式與前前n項和公公式．．2．考查查形式式：多多以選選擇題題或填填空題題形式式出現(xiàn)現(xiàn)，證證明一一個數(shù)數(shù)列為為等比比數(shù)列列常以以解答答題的的形式式出現(xiàn)現(xiàn)．3．考查查角度度：一是對對等比比數(shù)列列定義義的考考查，，多以以證明明題的的形式式出現(xiàn)現(xiàn)．二是對對等比比數(shù)列列的通通項公公式、、前n項和公公式的的考查查，涉涉及到到五個個量a1、an、Sn、n、q，可知知三求求二．．是方方程思思想的的基本本運用用．三是對對等比比數(shù)列列的性性質(zhì)的的考查查，解解題時時要充充分利利用基基本量量思想想得到到方程程或不不等式式，然然后針針對結(jié)結(jié)構(gòu)特特點，，恰當(dāng)當(dāng)選擇擇運算算的技技巧．．4．命題題趨勢勢：等等比數(shù)數(shù)列的的基本本量運運算和和性質(zhì)質(zhì)的應(yīng)應(yīng)用，，同時時加強強運算算能力力的考考查．．答案：：C[閱后報報告]本題考考查了了等比比數(shù)列列的基基本運運算及及性質(zhì)質(zhì)，解解答本本題難難點在在計算算q的值出出錯，，不知知把1－q6表示為為(1－q3)(1＋q3)．2．(2010·江西卷卷)等比數(shù)數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n解析：：∵|a1|＝1，∴a1＝1或a∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5＞a2，即a2q3＞a2，∴a2＜0.而a