第4課時函數(shù)的奇偶性與周期性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關于

對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有

，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關于

對稱1．函數(shù)的奇偶性f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點2．周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝

，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中

的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一個最小1．對任意實數(shù)x，下列函數(shù)中的奇函數(shù)是(

)A．y＝2x－3

B．y＝－3x2C．y＝ln5xD．y＝－|x|cosx解析：若f(x)＝ln5x，則f(－x)＝ln5－x＝ln(5x)－1＝－ln5x＝－f(x)．∴函數(shù)y＝ln5x為奇函數(shù)．答案：C解析：答案：B3．已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(2011)＝(

)A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期為4，∴f(2011)＝f(502×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：A答案：坐標原點5．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝2x－3，則f(－2)＝________.答案：－11．用定義判斷(或證明)函數(shù)的奇偶性的一般步驟：(1)驗證定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)．(2)證明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若f(－x)＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)．解析：(1)此函數(shù)的定義域為R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函數(shù)．(2)此函數(shù)的定義域為x＞0，由于定義域關于原點不對稱，故f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，從而函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(2)f(x)的定義域為{－1,1}，關于原點對稱，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．1．對對抽抽象象函函數(shù)數(shù)解解不不等等式式問問題題，，應應充充分分利利用用函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性，，將將““f””脫掉掉，，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為我我們們會會求求的的不不等等式式；；2．奇奇偶偶函函數(shù)數(shù)的的不不等等式式求求解解時時，，要要注注意意到到：：奇奇函函數(shù)數(shù)在在對對稱稱的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間上上有有相相同同的的單單調(diào)調(diào)性性，，偶偶函函數(shù)數(shù)在在對對稱稱的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間上上有有相相反反的的單單調(diào)調(diào)性性．．解析析：[變式訓練練]2.(1)奇函數(shù)f(x)的定義域域為[－5,5]．若當x∈[0,5]時，f(x)的圖象如如圖所示示，則不不等式f(x)＜0的解是________．(2)已知函數(shù)數(shù)y＝f(x)是R上的偶函函數(shù)，且且在(－∞，0]上是減函函數(shù)，若若f(a)≥f(2)，則實數(shù)數(shù)a的取值范范圍是________．解析：(1)由奇函數(shù)數(shù)圖象對對稱性質(zhì)質(zhì)補出其其在[－5,0)上的圖象象，由圖圖象知解解集為(－2,0)∪(2,5]．(2)由已知f(x)在[0，＋∞)上為增函函數(shù)，且f(a)＝f(|a|)，∴f(a)≥f(2)f(|a|)≥f(2)，∴|a|≥≥2得a≥2或a≤－2.答案：(1)(－2,0)∪(2,5](2)a≤－2或a≥2遞推法：：若f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴周期T＝4.換元法：：若f(x＋2)＝f(x－2)，令x＋2＝t，x＝t－2，∴f(t)＝f(t－4)，∴周期期T＝4.設f(x)是定義在在R上的奇函函數(shù)，且且對任意意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函函數(shù)；(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．解析：(1)證明：∵∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為為4的周期函函數(shù)．(2)當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，由已知知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函數(shù)數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又當x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為為4的周期函函數(shù)．∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.從而求得x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.[變式訓練]3.已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2008)＋f(2009)的值為()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴∴f(－2008)＝f(2008)．∵f(x)在x≥0時f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2.∴f(－2008)＋f(2009)＝f(2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1.答案：C1．正確理解奇奇函數(shù)和偶函函數(shù)的定義，，必須把握好好兩個問題：：(1)定義域在數(shù)軸軸上關于原點點對稱是函數(shù)數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶偶函數(shù)的必要要非充分條件件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的的恒等式．2．奇偶函數(shù)的的性質(zhì)(1)奇函數(shù)的圖象象關于原點成成中心對稱圖圖形，偶函數(shù)數(shù)的圖象關于于y軸成軸對稱圖圖形，反之亦亦真，因此，，也可以利用用函數(shù)圖象的的對稱性去判判斷函數(shù)的奇奇偶性；(2)奇±奇＝奇，偶±偶＝偶；(3)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；(4)函數(shù)y＝f(x)，當x＝0時有意義，則則f(0)＝0為y＝f(x)是奇函數(shù)的必必要條件．因此判斷函數(shù)數(shù)的奇偶性，，一般有三種種方法：①定義法；②②圖象法；③③性質(zhì)法．通過對近三年年高考試題的的統(tǒng)計分析，，可以看出以以下的命題規(guī)規(guī)律：1．考查熱點：：函數(shù)的奇偶偶性、周期性性是高考命題題的熱點．2．考查形式：：多為選擇題題和填空題，，整個命題過過程著眼基礎礎，突出重點點．3．考查角度：：一是對函數(shù)奇奇偶性的考查查，主要涉及及函數(shù)奇偶性性的判斷，利利用奇偶性函函數(shù)圖象的特特點解決相關關問題，利用用函數(shù)的奇偶偶性求函數(shù)值值、參數(shù)值等等．二是對函數(shù)周周期性的考查查，主要涉及及判斷函數(shù)的的周期，利用用函數(shù)的周期期性求函數(shù)值值，以及解決決與周期有關關的函數(shù)綜合合問題．(2010··全國新課標卷卷)設偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)＞0}＝()A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}解析：∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)為偶函數(shù)且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．答案：B[閱后報告]本題考查了分分段函數(shù)求值值問題，解答答本題的難點點是不理解f(f(0))的意義，不知知f(0)是對外層f來說相當于x.考生試求f(f(－1))的值．1．(2010··廣東卷)若函數(shù)f(x)＝3x＋3－x與g(x)＝3x－3－x的定義域均為為R，則()A．f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)C．f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D．f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x.∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函數(shù)．．又∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x.∴g(x)＝－g(－x)，即函數(shù)g(x)是奇函數(shù)．．答案：B2．(2010·山東卷)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù)數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3B．1C．－1D．－3解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)數(shù)，因此f(－x)＋f(x)＝0.當x＝0時，可得f(0)＝0，可得b＝－1，此時f(x)＝2x＋2x－1，因此f(