第一章地球的形狀和重力場專業：地球物理學主講教師：張美玲教授聯系電話錄概述

位論簡述地球的重力場重力校正和重力異常重力異常場異常的劃分與識別重力資料的地質解釋及應用實例

固體潮基本概念平均海平面在重力作用下是一個等位面，即是說，這個面上的重力位各處都是相等的。重力等位面：地球重力位相同的點在空間構成的曲面。重力等位面有兩個重要的性質：一是在重力等位面上移動單位質量時，重力不做功；二是兩個等位面之間的位差是個常量。

基本概念德國的大地測量學家利斯廷于1873年創立了大地水準面概念。定義是：假設海水面處于靜止平衡狀態下，將其延伸到大陸下面，構成一個遍及全球的閉合曲面，這個曲面就是大地水準面。即大地測量學中所謂的地球形狀。大地測量學中所謂的地球形狀是指平均海面所定義的一個封閉理論曲面的形狀。大地水準面也常被稱為海拔面或大地水準參考面。基本概念地球的形狀就是指大地水準面的理由是：大地水準面與占地球面積71％的平均海水面重合，與地球自然表面非常接近；大地水準面具有水準面特性，處處與鉛垂線正交，而測量儀器是用水準器整平，用垂球對中的，所以，大地水準面是測量作業的基準面；3.海水面是實際存在的，與世界上沿海國家都發生聯系，通過驗潮取平均值就可獲得平均海水面的位置。

大地水準面雖然比較平滑，但仍是一個極不規則的曲面。要確定這樣的曲面，可以分兩步走：1）首先確定一個和它同重力位而又最逼近的旋轉橢球面——扁球面，又稱作參考扁球面。這個參考面的形狀簡單、有規則，便于計算。2）然后確定大地水準面與這個扁球面的偏離。實測表明，大地水準面與參考橢球面的最大偏離不超過地球半徑的十萬分之一。即637×0.1≈63.7m。基本概念1924年，國際間選定一個扁球面作為參考面，以后在1967年又修訂了一次。這個選定的參考橢球面的參數是：長軸a=6378160m(637萬米)；扁率f=(a-c)/c=1/298.247也許有人認為選取一個三軸橢球面作為參考面更逼近一些，但這樣做對實際精度的提高改善不大，且計算上卻復雜得多了。參考橢球面：與大地水準面重力位相同且又最逼近的旋轉橢球面——扁球面，該球面是一個重力等位面。按照位論的定理，這個面上任一點的重力值是可以計算的。這樣得到的重力表達式就是所謂的國際重力公式。基本概念實際上，大地水準面在海洋上與平均海面重合，但在大陸地區，它的一部分可能切入地下。因此從全球來看，大地水準面并不是完全包在地球外面，而在某些地方卻覆蓋著少量的地球物質。地面上的實際重力值：是地球引力、自傳離心力、地球天體引力之和。前兩者幾乎是恒定的，強度也比第三者強。前兩者是測量點位置的函數。第三者主要是日月的引力，這個引力隨時間變化，是地面上的重力有一個微小的時間變化，因此是測量點位置和時間的函數。固體潮：地外天體的引力不但產生重力的時間變化，而且使地球發生形變。這種變形在海洋上表現為普通的潮汐現象；在陸地上和海底則稱為固體潮。正常重力值：以參考橢球面為模型，建立地球重力的理論表達式，即所謂的國際重力公式。根據這個公式所計算的重力值，稱為正常重力值，是重力測量的標準。重力異常：實測的重力值減去正常重力值之間的差異。在小區域的重力測量中，常選取一個合適地點的重力值作為標準，不必按重力公式去計算。重力異常分布與地下物質的密度分布有關系。研究重力異常在各種地球物理現象中的意義是重力學的任務。§1.1位場理論基礎§1.1.1質點的引力場及引力位

§1.1.2地球的引力場、引力位和大地位§1.1.3地球的離心力場及離心力位§1.1.4地球的重力場和重力位§1.1.5地球重力等位面和大地水準面、垂線和正高矢量分析復習一、矢量和標量的定義1.標量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：所以：一個矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中：為矢量的模，表示該矢量的大小。為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力、速度、電場等如：溫度T、長度L等矢量：.模的計算：.單位矢量：.方向角與方向余弦：在直角坐標系中三個矢量加法運算：

在直角坐標系中，已知三個坐標軸是相互正交的，即有兩矢量點積：結論:兩矢量點積等于對應分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當兩個非零矢量點積為零,則這兩個矢量必正交。推論1：不服從交換律：推論2：服從分配律：推論3：不服從結合律：推論4：當兩個非零矢量叉積為零，則這兩個矢量必平行。b.矢量積（叉積）：含義：兩矢量叉積，結果得一新矢量，其大小為這兩個矢量組成的平行四邊形的面積，方向為該面的法線方向，且三者符合右手螺旋法則。三、矢量微分元：線元，面元，體元例：其中：和稱為微分元。1.直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：2.圓柱坐標系在圓柱坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：3.球坐標系在球坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：四、標量場的梯度1.標量場的等值面可以看出：標量場的函數是單值函數，各等值面是互不相交的。以溫度場為例：熱源等溫面b.梯度定義：標量場中某點梯度的大小為該點最大的方向導數，其方向為該點所在等值面的法線方向。數學表達式：2.標量場的梯度a.方向導數：空間變化率，稱為方向導數。為最大的方向導數。標量場的場函數為計算：在直角坐標系中：所以：梯度也可表示：在柱坐標系中：在球坐標系中：在任意正交曲線坐標系中：在不同的坐標系中，梯度的計算公式：在直角坐標系中：3.散度：a.定義：矢量場中某點的通量密度稱為該點的散度。

b.表達式：c.散度的計算：

在直角坐標系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個平面組成。矢量場表示為：該閉合曲面所包圍的體積：通常散度表示為：4.散度定理：物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標系中：球坐標系中：正交曲線坐標系中：直角坐標系中：常用坐標系中，散度的計算公式六、矢量場的旋度1.環量：在矢量場中，任意取一閉合曲線，將矢量沿該曲線積分稱之為環量。可見：環量的大小與環面的方向有關。2.旋度:定義：一矢量其大小等于某點最大環量密度，方向為該環的法線方向，那么該矢量稱為該點矢量場的旋度。表達式：旋度計算：以直角坐標系為例，一旋度矢量可表示為：場矢量：其中：為x方向的環量密度。旋度可用符號表示：其中：可得：同理：所以：旋度公式：為了便于記憶，將旋度的計算公式寫成下列形式:類似的，可以推導出在廣義正交坐標系中旋度計算公式：對于柱坐標，球坐標，已知其拉梅系數，代入公式即可寫出旋度的計算公式。在圓柱坐標系中：

在球坐標系中：

在廣義正交曲線坐標系中：

2.拉普拉斯算子

在直角坐標系中：1.1.1質點的引力場及引力位式中，為質點作用于點處單位質點上的引力，為方向的單位矢量，為引力常數，負號表示吸力方向。p(x,y,z)r′Or0f(r)圖1-1質點dm的引力場根據牛頓萬有引力定律，位于空間任一P′點的質點dm作用在P點單位質點上的引力指向P′點，它的大小與dm成正比，與兩點間距離的平方成反比，即（1-1）為直角坐標系的三個坐標軸方向的單位矢量。這樣，可以把（1-1）式寫成（1-2）（1-3）（1-4）dm單位質點p′(x′,y′,z′)三個分量：（1-5）由于引力場是一個保守力場，并可以證明位于點的質點在點產生的引力等于標量函數在點的梯度，引入矢量微分算符，即（1-6）引力及引力場推廣到體積分布令

則引入標量則假設dm的體積忽略不計則滿足此方程的解為規定時，，所以。于是有（1-7）標量函數稱為位于P′

點的質點dm

在P點產生的引力位。引力位在P點的梯度等于dm在P點產生的引力。引力位標量質點dm在P點的引力位沿某一方向的方向微商等于該質點在P點產生的引力在該方向上的投影。用表示引力位在P點沿n方向的微商，則有（1-8）證明令P點在坐標系中的位置為(x,y,z),P點的矢徑表示為V0V0+dV1.1.2地球的引力場、引力位和大地位如圖1-2所示，選取直角坐標系，坐標原點O點選在地球的質心，Oz沿著地球的旋轉軸，在地球的赤道平面內，由（1-7）式，地球在空間內任一點P(r)產生的引力位為PxyzOr0r′P′圖1-2地球在空間任一點P產生的引力位，

P′為地球內部任一點若將地球作為一個質量體，P為空間一點，考慮地球在P點產生的引力及引力位（1-7）（1-9）

式中，為地球在點的密度函數；為P′點處積分體積元，積分遍及整個地球。于是地球在空間P點的引力為地球引力位在該點的梯度，即（1-10）①若P點在物體(或地球)之外，令不能為零。因為為有限值，故積分（1-9）為收斂的，可在積分號下求導數xOrr′P′r引入拉普拉斯算子用分別代替，則有同理,可以證得

稱為拉普拉斯方程,其解稱為調和函數或諧函數圍繞P點作一小球面σ，其半徑為。取球面上一點P′。令點P′由小球外物質所產生的力位為，則令P′點由小球所產生之力位為，則Pεσr②若P點在物體(或地球)之內，則地球在該點產生的力位滿足泊松方程,其解為諧函數與一特解之和。即證明:因物體是一個質量為ρ的有限體,積分收斂。令該有限體的包裹面為Σ，ΣP′為P點的密度。（1-12）即在物體之內，力位V滿足泊松方程。引入因而有（1-13）有（1-14）當，，，故說明地球在其外部空間產生的引力位滿足拉普拉斯方程，在其內部滿足泊松方程。地球在其外部空間產生的引力位稱大地位。令不變,關于求微分,得，方向長度為例1：求一均勻球體對其外任一點P產生的引力位。設球體的半徑為R，密度為，P點與球心O的距離為h（圖1-3）。若利用球極坐標（，，），求P點的力位。圖1-3均勻球體引力位示意圖解：設為球體上任一小長方體，其中為方向的厚度，方向長度為利用余弦定理則引力位公式變為M是球體的總質量。若球體不是實心的而是一個同心球層，其內半徑為，外半徑為，則上式改為此時M是球層的質量。以上兩式表明：一均勻球體或均勻球層在其外一點所產生的引力位等于將其全部質量集中于球心所產生的引力位。若球體或球層并不均勻，但密度只是r′的函數，這個結論顯然仍是正確的。以上結論十分重要，因為它說明，不同的密度分布可以產生相同的引力位。例2：任一有限物體在遠處的力位。取任一點O為原點，P為體外遠處的任一點。物體在P點所產生的力位為Srr’Pθ任意球體引力位示意圖為物體上任一小個體與質心的距離;S為與P點的距離解:令為P與質點O間的距離;令利用泰勒級數展開所以，若取O點為物體的質心，則易見而誤差降低為。故對一有限物體M為物體的質量，A、B均為有限值。當r極大時，其誤差的數量級為上式是位函數的主要性質。這樣的函數不僅在重力場的理論中要遇到，而且在許多物理部門中，如電磁學，流體力學，彈性力學，熱傳導等等問題中也是常常遇到的。總結1。一有限物體對其外一點產生的力位滿足拉普拉斯方程，其解為調和函數或諧函數。2。一有限物體對其內一點產生的力位滿足泊松方程，其解為諧函數與一特解之和3。一有限物體產生的力位與其自身的質量成正比，與點的距離成反比，無窮遠處為零。距離與力位的乘積為一常數。1.2.3地球的離心力場和離心力位如圖1-4所示。選取直角坐標系與地球固定在一起，P（r）為地球上的任一點，由于地球自轉，P點處單位質點的慣性離心力為（1-20）式中，為地球的自轉角速度矢量；r為P點的徑矢，（1-21）xyzOθrqPω圖1-4地球的離心力場為地球在點產生的離心力在重力測量中，矢量常簡稱為地球在P點產生的離心力矢量，其值為：（1-22）（1-23）（1-20）式也可寫成（1-24）引入標函數Q（r），可以證明Q（r）的梯度等于地球在P（r）點產生的離心力q（r），有（1-25）（1-26）Q（r）稱為地球在P點產生的離心力位，同樣可以證明離心力位沿著任意方向的方向微商等于離心力在這個方向上的投影。有（1-26）式，可以求出離心力的拉普拉斯公式為（1-27）1.1.4地球的重力場和重力位

地球是一個具有一定質量、兩極半徑略小于赤道半徑且按照一定角速度旋轉的橢球體。如果忽略日、月等天體對地面物質的微弱吸引作用，則在地球表面及其附近空間的一切物體都要同時受到兩種力的作用：一是地球所有質量對它產生的吸引力；二是地球自轉而引起的慣性離心力，此兩力同時作用在某一物體上的矢量和稱為重力，見圖1-5。圖中z為地球自轉，為余緯度。點為地球的質心，有矢量場稱為地球的重力場。r-p點的徑矢；g(r)-p點的重力矢量；f(r)-p點的引力矢量；q(r)-p點的慣性離心力矢量；-地球自轉角速度矢量圖1-5地球的重力場地球的引力場決定于地球內部的密度分布，而地球內部的密度分布是不規則的，因而地球的引力矢量不指向地心，其大小隨地面點位置的不同而變化。慣性離心力矢量決定于地球的自轉角速度和P點在地球上的位置，一般把地球的自轉角速度看成一個常矢量，所以地球的離心力場是一個規則的力場，因而地球的重力場是一個由地球內部密度分布及其繞軸自轉角速度決定的力場，它是P點位置的不規則的矢量函數。重力矢量的模簡稱為重力，即（1-29）在重力學中，簡稱重力，重力的量綱與加速度相同，在SI單位中它的測量單位是。由于單位太大，重力測量單位采用g.u.（gravityunit），。在CGS單位中，為了紀念伽利略（Galileo），重力測量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等單位，Gal與SI單位的換算關系是：

在CGS單位中，為了紀念伽利略（Galileo），重力測量中采用Gal（伽）、mGal（毫伽）等單位，Gal與SI單位的換算關系是：（1-30）地球在P點的引力位V（r）和離心力位Q（r）的和稱為地球在該點的重力位W（r），即（1-31）將式（1-7）和（1-26）式代入上式，得（1-32）由重力位的定義，地球在P點的重力等于地球的重力位在該點的梯度，即（1-33）地球的重力位在P點沿著任一方向的方向微商等于重力在這個方向上的投影（1-34）根據（1-16）和（1-27）式，地球重力位W（r）滿足下列方程：

1.2.1等效層定理及解的唯一性問題

一、等效層定理

設有一物質分布，其表面為S，見圖1-10。求面外一點P的力位。設、為可微分函數，則滿足格林公式：（1-39）令，r是由P點到空間任一點的距離，體積分延展到S以外的全部空間。因在P點，r=0，故可取一小球面包圍P，取一大球面包圍S和，積分在之內，但在S與之外的空間進行，最后則令趨于無限，趨于零。代入（1-39）SPεΣ圖1-10適當面積分布存在于物體表面上故物體在其外一點所產生的力位和在其表面上取一適當的面積分布所產生的力位等效，稱作等效層定理。

SPεΣ圖1-10適當面積分布存在于物體表面上若V為一位函數，則當無限大時，，當時，，故化簡后，得（1-40）n為S的向外法線。若在S以外，無物質分布，則，上式化為

（1-41）PSV=V。圖1-11適當面積分布存在于物體表面外以上兩式稱為格林公式。故物體在其外一點所產生的力位和在其表面上取一適當的面積分布所產生的力位等效，稱作等效層定理。由這個定理還可引出一個有意義的結果：設S是物體之外的一個等位面：，P點在S之外，圖1-11。由式（1-41）

利用位場理論公式此式右端第一項等于零。故（1-42）S是一個等位面。此式稱為沙斯爾（Chasles）定理，它表明在計算力位時，任一物體可以用它的任一外部等位面上的適當單層分布所替代。

二、唯一性定理和狄利克雷問題在物體之外，引力位滿足拉普拉斯方程。在一定條件之下，拉普拉斯方程只有一個確定的解。因此若用任何一個方法得到一個解，而這個解又滿足所給的條件，則這個解必然是正確的解。討論諧函數唯一性的條件是位論的重要課題之一。設所有質量都位于S曲面之內。故在S外，引力位V是一個諧函數，即。代入格林公式（1-43）并令，則（1-44）

現在要證明：若S面上的V值分布為已知，則S面外的V值即完全確定，即V只有一個解。因為如果不是如此，則可假定V尚有其他一個解V′。V和V′都滿足拉普拉斯方程并在S上具有同值。令。則在S上，U=0，代入上式則故U=常數。因在S上,U=0，故U恒等于零，而所以V的解是唯一的，即是說，若V是諧函數，它在S以外的解可以由它在S上的給定值完全確定。由諧函數的邊界值來確定這個函數稱為狄利克雷（Dirichlet）問題，或稱為第一邊界值問題。同樣道理，若S面上的是給定的，則仍有

U=C，但未必為零，故，即S外的力位最多相差一常數。給定邊界上的法向導數來確定一諧函數，稱為第二邊界值問題，或稱為諾依曼（Neumann） 問題。若在S上，給定V及的線性組合，，h及K為同號，則在S外，值完全確定；不然的話，仍令，則在S上，，仍代入（1-43）中，得上式左端不能為負，右端不能為正，故。從而。這稱為混合邊界值問題或稱為第三邊界值問題。在地球重力場的研究中，這三種邊界問題都是會遇到的。

1.2.2拉普拉斯方程的解

（1-45）用分離變數法，設代入（1-45），得

第一項是r的函數而后兩項則是的函數，故只能有（1-46）（1-47）K是一個參數。式（1-46）的解是（1-48）A、B是兩個任意常數，。將代入（2b），得（1-49）此式的解可以寫為。故

（1-50）V稱為球諧函數，寫成式（1-50）的形式，則稱為立體球諧函數。是的n次多項式。稱為n次面諧函數，它只和球面上的坐標有關系，它與r無關。拉普拉斯方程的一般解可由上式疊加而成，即（1-51）根據以上的定義，可以得到以下一條定理：若V是一個n次的球諧函數，則也是一個球諧函數，它的次數是。因為V可以寫成的形式，所以由式（1-50）可見它也是一個球諧函數。根據這個定理，若在球內某一點的力位為已知，則在同一向徑上的球外一點的力位可以立刻寫出來。

將一球面函數展開成面諧函數的級數時，面諧函數的正交歸一關系極為重要。求解方程（1-49），給出面諧函數的具體形式。仍用分離變數法，代入

（1-52）得，該形式的方程稱為連帶勒讓德方程L是一參數。令，則上式是簡諧方程，其解是（1-53）是任意常數。代入前式，得

（1-54）若令，則上式可化為（1-55）式（1-54）或（1-55）是的二階常微分方程，它有兩個獨立的級數解，都和參數n，m有關系。最重要的情況是n，m都是正整數或零，而且，其中一個解常用符號或表示，稱為第一類連帶勒讓德函數；第二類連帶勒讓德函數則用或表示，但較少應用。由式（1-52）得（1-56）

（1-57）由式（1-50）得（1-58）都是任意常數。這是諧函數V最一般的解，各常數可以由邊界條件來確定。當然，V也可以用來表示，但此處從略。若是力位在一球面上（球面半徑為）的值，顯然當P點在球面之外，即當時即當時§1.2.6

地球形狀和正常重力場1、地球橢球由于地球內部質量分布不均勻，使得大地水準面的形狀也是一個不規則的曲面，但是，地球從總體上來說處于流體平衡狀態。地球的大地水準面接近旋轉橢球面，選擇適當參數的旋轉橢球作為真實地球的模型稱作參考橢球，參考橢球選定后，大地水準面相對參考橢球面的起伏不超過110m。構造地球模型，確定一個重力場使它滿足以下的條件：

1）它必須等于引力場與離心力場之和。

2）它的一個等位面必須是一個旋轉橢球面，其對稱軸與旋轉軸重合。

3）質量等于地球總質量，且產生引力位的所有質量都在橢球面之內。

4）引力位必須滿足。這種地球模型（正常場地球模型）在其表面和外部空間產生的重力場稱為地球的正常重力場。而真實地球（大地水準面包絡的地球）與正常場地球模型的密度分布不同在該點產生的重力場的差值稱為地球在該點產生的重力異常場。2、正常重力場引入直角坐標系，坐標原點在旋轉橢球的中心，沿其極半徑，在赤道平面內，則旋轉橢球面的方程為式中，分別為旋轉橢球的赤道半徑和極半徑；為旋轉橢球的橢圓率（扁率）。地心至點的徑矢與水平軸之間的夾角稱為點的地心緯度。P正常場地球模型的赤道半徑、極半徑、扁率、總質量和旋轉角速度惟一地決定了旋轉橢球在其表面上和外部空間產生的重力場。旋轉橢球面是正常場地球模型的一個重力等位面，對旋轉橢球面上的重力位沿其內發現方向求微商，就可以求出正常場地球模型在參考橢球面上的正常重力分布。用和分別表示赤道上和兩極的正常重力，表示正常場地球模型的重力扁率，它等于兩極的重力和赤道上的重力差與赤道上重力的比值，即索米格蘭納（Somigliana）根據重力位公式直接導出正常重力公式的一般形式為：式中，值約為，約等于赤道上的離心力與地球重力的比值，它的量級與旋轉橢球的扁率相等，約為。從（3-47）式看出，重力扁率和旋轉橢球的扁率有如下關系稱為克雷繞（Clairant）定理。正常場地球模型有四個獨立參數：地心引力常數，參考橢球的赤道半徑、扁率和旋轉角速度，給定這四個參數，可以求出赤道上的正常重力和兩極的正常重力，根據上述式，可以計算出地球參考橢球在它表面上的重力分布。國際大地測量和地球物理聯合會于1979年通過了1980參考系相對應的正常重力場地球模型的參數和導出的物理參數為與1980大地參考系相對應的正常重力公式為與1980大地參考系相對應的平均重力目前我國勘探部門使用的是1901年赫爾默德正常重力公式為式中，B表示大地緯度，它與地理緯度之間的關系為，為極半徑；為赤道半徑。

實際觀測表明，真實地球的重力場與正常重力場相差甚小，研究這個差異部分比研究整個重力場方便得多，研究這個差異部分也就研究了整個的地球重力場。3、大地水準面的形狀和垂線偏差地球與正常場地球模型的密度分布上的差異，一方面使得地球在空間任一點的重力位與正常場地球模型在該點產生的重力位有偏差，這個偏差稱為地球在該點的擾動位，即圖1-15大地水準面高度示意圖AA2W(A)=W0U(A)=當A點恰巧落到大地水準面上時T(S)=γ（A2）N3、大地水準面的形狀和垂線偏差另一方面使得大地水準面相對參考橢球面發生起伏，地面上某點重力矢量方向與該點正常重力方向之間有一個夾角，這個夾角稱為該點的垂線偏差。垂線偏差是一個矢量，它有偏差方向和大小。用ξ（A1）表示它的南北分量，向南為正；用η（A1）表示它的東西方向分量，向西為正。兩點之間的數值的差稱為A1點的重力偏差如圖所示，為地面點在大地水準面上的投影，為在參考橢球面上的投影，為點的大地高程，為點的正高，為點的大地水準面的高度（點處大地水準面與參考橢球面之間的距離），或稱為大地水準面的起伏。點的大地高程等于點的正高和之和，即3、大地水準面的形狀和垂線偏差地面大地水準面參考橢球面大地高程（AA2）；大地水準面的高度（N）；正高（H）大地水準面上點的擾動位等于（3-53）式中，為地球在點的重力位；為正常場地球模型在點產生的重力位。由于大地水準面上的重力位等于正常重力位，即，在旋轉橢球面上，旋轉橢球面上的重力位與大地水準面的位相等，因而有將上式代入（3-53）式，有（3-54）（3-54）式表明，大地水準面上A1點的擾動位T(A1)實際上等于A2、A1兩點的正常重力位的差。圖1-15大地水準面高度示意圖A1A2令大地水準面上P點的重力與其對應于參考面上Q點的正常重力差稱為P點的重力異常。定義此式稱為布容斯公式但又有在下列公式中，W以及U都不是諧函數，因為它們都包含離心力位，但T是質量重新分布引起的，則有參考面的扁率是e≈3×10-3。若將它看成球面，則N,T,等量的相對誤差不過3×10-3

。N的值不超過百米，所以它的誤差不超過一米。如果這個誤差是在允許的范圍之內，則在地面上，球面半徑可用橢球面的平均半徑R來替代，即，值可用橢球面上的平均值來替代，于是得

(1-129)

(1-130)上二式是球面幾近公式§1.3重力校正和重力異常自由空氣校正和自由空氣重力異常布格校正和布格重力異常地殼均衡模型、均衡校正和均衡重力異常

重力測量是在地球的自然表面上進行的。地面上的重力值隨時間和地點而變化，其測量值受到兩種因數的影響，一是觀測點至大地水準面的距離，二是地形質量。為了便于對不同觀測點進行比較，需要對地球自然表面上的重力觀測值進行必要的校正。在地表某一點的重力異常值（?g）就是重力觀測值（g）通過外部校正（δg）后，與該點正常重力值（γ）的差值，即

（3-56）地面上的重力異常分布是研究地球形狀和地球內部結構的根據，不同的異常用于不同的研究目的。§1.3.1自由空氣校正和自由空氣重力異常如圖所示，為地球表面上的任一點，和為與點相對應的大地水準面上和參考橢球面上的點。假若地球的地形表面與大地水準面之間不存在質量，則點的重力觀測值與大地水準面上相對應的重力值之間的關系為（3-57）

稱做點的自由空氣校正，于是（3-57）式可改寫成式中，為地球在點的重力垂直梯度；為點的正高。令（3-58）

（3-59）即與點對應的大地水準面上點的重力值等于點的重力觀測值與自由空氣校正之和。地球在點的重力垂直梯度是未知量，一般用正常場地球模型在A點的重力垂直梯度代替真實地球的重力垂直梯度，即將1980大地參考系相對應的參考橢球面上的重力垂直梯度值代入（3-58）式，得出自由空氣校正，即式中，h以m為單位。若不考慮離心力，分層均勻的球狀地球模型在其外部的重力式中，為地球的地心引力常數，可得出分層均勻的球狀地球模型在其表面上產生的重力垂直梯度，即式中，R為地球的平均半徑；g0為地球的平均重力。將kM和R的數值代入上式得當A點的正高h較小時（不超過9km），可以認為正常場地球模型在A點的重力垂直梯度與分層均勻的球狀地球模型表面的重力垂直梯度相等，即于是由（3-58）式得對A點的重力觀測值作自由空氣校正后，得出與A點相對應的大地水準面上A1的重力值g(A1)，g(A1)與其在參考橢球面相對應點A2處的正常場地球模型的正常重力值的差稱為A點的自由空氣重力異常1.3.2布格校正和布格重力異常地面觀測點的重力觀測值包括地形表面和大地水準面之間的地形質量對該點產生的引力的垂直分量。為了從重力觀測值提取有關地球內部異常質量分布的信息，必須考慮地形質量對地面重力觀測值的影響。在研究分析局部地區重力測量結果時，把參考面取為平面，遠區地形質量對測區的重力影響視為常量。觀測點A的布格校正包括局部地形校正和中間層校正兩部分，即如圖3-13所示，MAN為過A的水準面，A點的局部地形校正等于地形表面和水準面MAN之間的地形質量在A點產生的重力影響。Ⅰ區的多余地形質量和Ⅱ區的空缺地形質量都是使A點的重力觀測值減小，因而A點的局部地形校正值總是正值。大地水準面參考橢球面計算觀測點的局部地形校正時，需要有測區的地形圖。將繪有同心圓和半徑的透明紙放在地形圖上（圖3-14），使圓心和測點重合。還采用如圖3-15所示的柱坐標系，將坐標原點置于A點，Az軸反重力方向垂直向上，則地形質量元對A點的重力影響（引力的垂直分量）為還采用如圖3-15所示的柱坐標系，將坐標原點置于A點，Az軸反重力方向垂直向上，則地形質量元對A點的重力影響（引力的垂直分量）為式中，ρ為地形的密度。對于內半徑為ri、外半徑為ri+1，相對中心點A的下底面高度為h1、上底面高度為h的空心柱狀地形，在A點產生的重力為用的圓環和等間距的射線將過點的水平面分割成扇形，用高度等于常數的空心扇形柱體的組合逼近點周圍的地形，由（3-71）式，高度為的第個空心扇形圓柱體在點產生的重力影響為當時，有（3-71）（3-72）（3-70）A點的局部地形校正為

（3-73）式中，P為圓環個數；n等于圓環內的扇形個數。計算局部地形校正需要計算三重數值積分，現在都在計算機上完成。（3-70）根據根據（3-70）式，當時，得出厚度等于h的水平板在點產生的重力影響是式中，為地球的平均密度；為地球的平均重力；為地球的平均半徑。A點的中間層校正大小等于介于過A的水平面和大地水準面之間的平面層在A點產生的重力影響。在陸地上中間層校正為負，在海上為正。在大陸上在海洋上式中，為海水的密度；為點的海水深度。這樣，A點的布格校正為A點的重力觀測值經自由空氣校正和布格校正后與其在參考橢球面上A2點正常重力的差稱為A點的布格重力異常，即（3-77）若將地表附近巖石的密度取為，地球的平均密度取為，則有（3-78）式中，h單位為m。（3-78）式表明，陸地上的中間層校正的大小約為自由空氣校正的三分之一，但符號與其相反，中間層校正使自由空氣校正的影響減少了三分之一。§1.3.3地殼均衡模型、均衡校正和均衡重力異常一、均衡模型1740年布格（Bouguer）在南美的基多（Quito）測量擺的周期時，發現山脈處測得的引力比起海水面測得的引力要小。后來在一座山旁測量垂線偏差時，其測量結果也比預期的小得多。1854年英國人普拉特（J.H.Pratt）在整理喜馬拉雅山附近的垂線偏差測量記錄時，發現比計算的垂線偏差值小。20世紀初的大量重力測量結果表明，山區的布格重力異常是負的，山脈越高，其負值越大，海洋地區是正的，海洋越深，其正值越大。20世紀初的地震資料也表明，在地球的表層有一密度間斷面，即莫霍界面，山脈下莫霍界面深，海洋下的莫霍界面淺，可推測，在地球的表層存在著與地形有關的補償質量，為了計算補償質量對觀測點重力的影響，必須對補償質量的形式作定量的假設，常用的均衡校正模型有三個：普拉特-海福特均衡模型、艾里-海斯卡寧均衡模型和溫寧·梅尼茲均衡模型。1.普拉特（J.H.Pratt）-海福特（F.Hayfort）均衡模型

1854年普拉特認為，山脈是由于地下物質從某個補償深度起，向上熱膨脹形成的，山脈越高，則山脈下地殼巖石的密度越小。地球表層中存在一個等壓力深度（又稱補償深度），無論是在山脈下，還是平原、海洋下，這個深度的壓力處處相等，在這個深度以上的每一個截面積相等的巖石柱體的總質量相等，補償質量分布在大地水準面與補償深度之間的地球表層。如圖所示，設任意柱體密度為，地殼平均密度，柱體頂部相對于大地水準面的高度為，補償深度，則有可以導出補償質量的密度表明，補償質量的密度與地形高度成正比。對于海底柱體，柱體上部有密度的海水，則有式中，為剩余密度；為海水深度。模型表明，高山下地球表層的密度小，海洋下地球表層的密度大，地球表層中存在著補償質量，高山下的不足質量和海洋下的多余質量與地形質量相抵消，使地殼達到平衡。

2.艾里（A.Airy）-海斯卡寧（W.A.Heiskanen）均衡模型1855年艾里假設，山脈浮在地殼上部，地殼在巖漿中飄浮，山脈有“山根”，山脈越高，陷入巖漿的山根越深，海洋地區有與海洋相對應的反山根，山根與反山根在地球表層產生的質量不足或過剩形成的補償質量與地形質量相補償。它也把地殼劃分成截面積相等的許多柱體，并假設地殼的密度各處是相等的，。固體地殼柱體飄浮在密度較大（）的均勻流體物質上，并處于靜力平衡狀態。如圖3-18所示，h為柱體頂面的海拔高程，T為地殼正常厚度，“t”為山根厚度，“t’”為反山根厚度，為殼下與地殼的密度差。根據阿基米德原理有（3-81）（3-82）式中，，λ的物理意義是密度比。（3-81）式表明，山根的厚度與地形高度成正比。同理，對于反山根，有（3-83）式中，為海水的密度，為海水的深度。或寫成（3-84）式中，為另一密度比。（3-84）式表明，反山根的厚度與海水深度成正比。

普拉特和艾里地殼均衡模型的共同處是，在地球的表層有與地形質量相等的補償質量，在地球表層的某一深度上，盡管地形的存在，由于補償質量的抵消作用，地球介質所受的流體靜壓力處處相等。3.溫寧·曼乃茲（Vening

MeinszF.A）均衡模型溫寧·曼乃茲修正了艾里的假設，將完全、均勻、局部補償調整為完全、均勻、局部補償。把地殼當成彈性薄板，山脈加載在彈性薄板上，山脈的質量把地殼向下壓彎，地殼向下彎曲陷入殼下層的流體物質上，形成與山脈相對應的區域山根，山根造成的補償質量等于山脈的地形質量（圖3-19）。計算表明當高山的橫向寬度大于25km時，才能將莫霍面壓彎，這已為實踐所證明。艾里和溫寧·曼乃茲模型假說的基本特點都是山根陷入巖漿中，不同的是溫寧·曼乃茲引入了大區域性的補償概念，以彈性理論為基礎，克服了地殼劃分為許多獨立柱體的困難，從理論上更為合理，但計算更為復雜，所以實際工作中很少采用溫寧·曼乃茲模型。

二、均衡校正和均衡異常重力測量和地震資料都表明，在地球的表層存在著與地形相對應的補償質量，根據補償質量在地球表層的分布可以計算出補償質量對地面觀測點的重力影響。考慮與全球地形質量相對應的補償質量對觀測點重力的影響的校正稱為均衡校正。全球地形對觀測值影響的重力校正稱為全球地形校正，觀測點的重力觀測值經自由空氣校正、全球地形校正和均衡校正后與參考橢球面對應點正常重力的差稱為該點的均衡重力異常

（3-85）式中，為點的重力觀測值；為自由空氣校正，等于；為全球地形校正，大小等于全球地形質量對觀測點重力的影響，符號與其相反；為均衡校正，大小等于補償質量對觀測點重力的影響，符號與其相反；為點的正常重力自由空氣校正只考慮測點高度的影響，并沒有改變地球的總質量。自由空氣異常中包括全球地形質量以及與其對應的補償質量的影響，它近似等于普拉特-海福特均衡模型中補償深度等于0時的均衡重力異常。自由空氣校正對大地水準面的形狀影響很小，因而自由空氣異常常用于物理大地測量及計算大地水準面的形狀和垂線偏差。布格校正包括測點周圍的局部地形校正和中間層校正，它消除了測點周圍的地形和大地水準面之間的地形質量對觀測點的重力影響，改變了地球的質量，對大地水準面的形狀有顯著影響。布格重力異常反映了地球內部異常質量對重力測量結果的影響，也就是說，布格異常主要是由莫霍界面、康氏界面、沉積基底面的起伏以及沉積巖中的構造以及金屬礦等密度不均勻體引起。布格重力異常多用于局部地區的地殼上地幔結構和淺層地質構造的研究。均衡校正消除了與地形質量相對應的補償質量對觀測點的重力影響，全球地形校正和均衡校正沒有改變地球的質量，只是把地形質量做了適當的調整，把地形質量按補償模型以一定的方式移到大地水準面以下。可以利用均衡重力異常計算調整后的大地水準面的形狀和垂線偏差，研究地球的均衡狀態，為研究地球內部動力學過程提供重力根據。§1.4重力異常場異常的劃分與識別§1.4.1局部重力異常和區域重力異常§1.4.2重力場的解析延拓§1.4.3高階導數法§1.4.1局部重力異常和區域重力異常

地面上觀測到的重力異常是分布在地球內部不同深度的密度界面和大小不同的孤立異常體在地面上產生的重力異常的相互疊加的結果。埋藏淺、水平延伸小的密度異常體在地面產生的重力異常的水平梯度大，幅度小，占據的水平范圍小，異常的波長短，隨著高度的增加衰減速度快，這種異常稱為局部異常；反之，埋藏深或水平延伸廣的密度異常體在地面上產生的重力異常的水平梯度小，占據的水平范圍大，異常的波長長，隨著高度的增加衰減速度慢的異常較前者而言稱為區域重力異常。區域重力異常與局部重力異常的劃分是相對的，利用局部重力異常反演埋藏淺、水平延伸小的密度異常體，而利用區域重力異常反演埋藏深、水平延伸廣的密度異常體。當研究的對象所引起的局部異常和一定區域異常疊加在一起時，不僅使局部異常形態發生相應的變化，而且使異常的中心位置也會發生偏離。同樣，局部異常往往是區域異常復雜化，因此進行地質解釋時，尤其是在反演的過程中，必須劃分局部異常和區域異常。重力預查與普查中關注區域異常，而詳查、細測中研究對象主要是局部異常。§1.4.2重力場的解析延拓

從重力異常公式可以看到，重力異常隨著場源深度變化而變化。淺部地質體隨著觀測平面高度的變化具有較高的敏感性。在高度越高的觀測平面上的重力異常中，埋藏深、水平延伸范圍小的異常體的重力異常占的比重小。根據這種性質，將地面的實測異常換算到不同高度來劃分場源深度不同的疊加異常，這種方法稱為重力異常的解析延拓。從地面水平面上的實測異常向上解析延拓到某一定高度的異常稱為向上延拓，它可以突出埋藏較深、水平延伸范圍較大的場源引起的異常，壓制淺部異常。從地面水平面上的實測異常向下解析延拓到地下某一深度平面上的異常稱為向下延拓，向下延拓是為了突出埋藏較淺、水平延伸范圍較小的場源異常，壓制深部異常。這樣，可以把一定高度水平面上的重力異常看成地面水平面上重力異常的區域異常，地面上的重力異常與所選定的區域重力異常的差就是局部重力異常。§1.4.3高階導數法將布格重力異常換算成它的各階導數，如二階導數、三階導數等的方法稱為高階導數法。這種方法的特點是：①重力異常的導數在不同形狀地質體上有不同的特征，因此它有助于對異常的解釋和分類。②可以突出淺而小的地質體異常特征而壓制區域性深部地質因素的影響，在一定程度上可以劃分不同深度和大小異常源產生的疊加異常。且導數的次數越高，這種分辨能力就越強（圖3-25）。③重力高階導數可以將幾個相互靠近、埋深相差不大的相鄰地質因素引起的疊加異常劃分開來（圖3-26），這是由于導數階數越高，則異常隨中心埋深加大而衰減越快，從水平方向來看，基于同樣的道理，階次越高的異常范圍越小，因而無論從垂向或水平方向看，高階導數異常的分辨能力都提高了。§1.5重力資料的地質解釋及應用實例§1.5.1重力資料在研究地殼深部構造及地殼均衡中的應用§1.5.2重力資料在地震預報中的應用

§1.5.1重力資料在研究地殼深部構造及地殼均衡中的應用

重力異常的分布與構成地球物質的密度分布有著密切的關系，也就是與地質構造和礦產分布密切相關。通過對重力異常分析，首先與已知的地質和其他物、化探資料的綜合對比來確定引起異常的地質原因，然后在上述定性解釋的基礎上作定量解釋，計算被研究地質體的產狀要素，如埋藏深度、大小、傾角、密度等，最終作出合理的地質解釋。利用重力資料研究地殼深部構造，不僅對地殼上部高山、大陸和海洋的形成及其演化過程有重要意義，而且在對地殼運動和地殼結構的研究、確定地殼深部各物質層之間的密度界面的起伏變化，提供有關地殼均衡狀態的信息與天然地震的活動性，巖漿侵入活動以及礦產的成礦預測方面都具有重要作用。用于研究地殼深部構造及地殼均衡作用的重力資料主要是大區域范圍的布格重力異常圖和重力均衡異常圖。一、均衡異常分布特征與地殼運動的關系

根據均衡異常的大小分布，可以判斷地殼的均衡狀態。一般來說，均衡異常較為平靜（即異常值接近于零）的地區，表明地殼基本上處于均衡狀態。若均衡異常出現較大的正值，說明地殼均衡補償過剩，反之則說明補償不足。因此，均衡異常不論出現正值或負值，都說明地殼是處于不均衡狀態。根據地殼均衡原理，如果喜馬拉雅山區達到均衡狀態，那么在喜馬拉雅山下面應該相應地出現巨大的負重力異常。但實際測量結果得到的是重力異常梯級帶，并不是負重力異常。從大地高程測量結果也表明，喜馬拉雅山還在繼續上升，即該區地殼均衡運動仍然處于繼續調整的過程中。這可用板塊學說來解釋，認為喜馬拉雅山的隆起是來自南面的印度大陸板塊對亞洲板塊碰撞擠壓的結果，而重力異常梯級帶明顯地反映出這兩個板塊之間的擠壓接觸邊界線。在大陸上許多地區，特別是高山和高原地區及新沉積物填平的低凹地帶，由重力測量結果經常發現均衡補償不足的現象，這主要是推動地殼運動的內動力造成的。地殼各個部分都在不斷地通過補償以達到均衡，而地殼構造運動，冰川的融化和山脈被破壞卻傾向于打破平衡。地殼各個部分爭取達到均衡的傾向，可以引起局部地區發生升降運動。如在印度東北的阿薩姆高原及緬甸西部地區，均衡異常圖上展示出兩個走向相互垂直的重力異常帶（圖3-32），東西走向的正均衡異常帶平行于喜馬拉雅山和阿薩姆高原的構造走向，其異常值由0增加到，主要反映為基底的隆起。而南北走向的均衡負異常，則是沿緬甸西部的布拉馬普特拉谷的構造走向分布，其異常值由0降低至。異常幅度變化與形態輪廓，明顯地反映出基底下陷的構造特征，說明盆地演變是受老構造單元控制的。從均衡異常的急劇變化說明該地區的地殼均衡尚處于補償不足的狀態；從該區所發生的頻繁地震活動也說明地殼均衡作用正處于劇烈調整過程中。二、布格重力異常與深部構造和地震分布規律的關系1.我國布格重力異常的特征及其與深部構造關系圖3-35和圖3-36是我國布格重力異常圖和由它推斷的莫霍界面深度圖。圖3-35看出以下幾個特征：（1）布格重力異常的變化趨勢是由東部沿海向西到青藏高原，異常值逐漸降低。在遼東半島渤海地區，布格重力異常值為左右，到青藏南部雅魯藏布江一帶則降至以下。這