《簡單的三角恒等變換（第三課時）》教學設計教學目標通過例題，回顧本節學習過的公式及常用的數學思想方法，并用于解決簡單的三角變換問題，發展學生邏輯推理與數學運算素養．教學重難點教學重點：體會三角函數公式之間的內在聯系，并運用公式解決三角恒等變換問題．教學難點：解決一些三角恒等變換的問題．課前準備PPT課件．教學過程（一）歸納小結問題1：兩角差的余弦公式C(α-β)不僅是和（差）角公式的基礎，也可以看成是誘導公式的一般化．你能畫一張本章公式的“邏輯圖”嗎？推導這些公式的過程中用到了哪些數學思想方法？師生活動：學生思考并回答．預設答案：和（差）角公式、二倍角公式推導過程圖：CC(α-β)C(α+β)C2αβ換成-ββ換成αS(α-β)S(α+β)S2αβ換成-ββ換成αT(α-β)T(α+β)T2αβ換成α和(差)角公式與誘導公式的關系圖：CC(α-β)cos(2kπ+α)=cosα-β=2kπ，k∈Zcos(π+α)=-cosα-β=πcos(-β)=cosβα=0cos(π-β)=-cosβα=πcos(-β)=sinβα=cos(+α)=-sinα-β=推導這些公式的過程中用到了特殊與一般、轉化與化歸的數學思想方法．設計意圖：回顧反思，讓學生們再次感悟公式的重要性．例1用的正弦、余弦值表示．追問：請你觀察例1中給出的問題，你能發現已知量與待求量之間的差異嗎？能不能借助目前我們已經掌握的公式逐步消除或削弱這些差異？預設的回答：變換對象中含有三個任意角，但如果把其中兩個角的和或差看作一個整體，則可轉化為兩個角和或差的形式，可借助和角、差角公式變換求解．設計意圖：通過“差異”引導學生，鼓勵他們設計變換過程，同時鞏固復習本節學習的和角、差角公式并回顧推導這些公式時用到的數學思想方法，滲透整體意識、化歸思想、換元法等，提升學生邏輯推理與數學運算素養．解：．教師講解：以上運算可以看出，只要掌握和角公式、差角公式，我們可以推出三個、四個甚至更多個任意角的和或差的正弦、余弦公式，它們的推導并不復雜但是形式非常復雜，因此沒必要記憶它們，如果今后真的需要使用這些公式，臨場推導即可．問題2：我們運用公式進行三角恒等變換的一般思路是什么？師生活動：學生思考并回答．預設的答案：尋找變換對象和變換目標之間的差異(包括角度差異、名稱差異、結構差異、次數差異等)，并以消除或削弱差異為目的選擇適當的公式進行變換．設計意圖：引導學生回顧本節核心任務，即三角恒等變換的一般思路．例2觀察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝34sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝34sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝34分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．追問1：你打算從哪些角度分析這些式子的相同點與不同點？試逐條分析，并寫出一般規律．預設的答案：可以從角、函數名、次數三個角度著手分析．角：每個式子均包括四個角，第一、第三個角相同；第二、第四個角相同，且比第一、三個角大；函數名：每個式子均出現四個函數名，且從左向右均為正弦、余弦、正弦、余弦；次數：各式各項均為二次．故可歸納出等式．設計意圖：引導學生從不同角度對比分析，進行歸納推理．追問2：仔細觀察剛才發現的規律，你能找到等式兩側的差異嗎？如何設計變換方案呢？預設的答案：有兩種方案．方案一：從角度差異著手，等式左側有兩個角，而等式右側沒有角，可將看作兩角和展開，這樣可減少左側角的個數，縮小與右側的差異；方案二：從次數差異著手，等式左側均為二次，右側為非零常數，零次，故采用降冪擴角公式(半角公式)，積化和差公式降低左側次數，縮小與右側的差異．設計意圖：引導學生發現“差異”，并設計變換過程．解：反映一般規律的等式是．證法一：左邊右邊．證法二：左邊右邊．例3要把半徑為R的半圓形鐵皮截成長方形，應怎樣截取，才能使長方形面積最大？追問1：如何將長方形的面積表示出來？預設答案：如圖，設出長方形的寬為x，利用長、寬、半徑之間的等量關系可以表示出長，則長方形的面積為，然后利用函數知識求出最大值．追問2：除了設長方形的長或寬之外，還有哪個量同樣可以表示出長和寬？預設答案：如圖，可以用∠AOB表示出長和寬，從而解決面積問題．解：如圖，設圓心為O，長方形截面面積為S，∠AOB＝α，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，S＝(Rsinα)·2(Rcosα)＝2R2sinαcosα＝R2sin2α．當sin2α取最大值，即sin2α＝1時，長方形截面積最大，不難推出，α＝eq\f(π,4)時，長方形截面面積最大，最大截面面積等于R2．教師講解：解出本題的關鍵是找到并設出，以往我們處理類似問題時，往往都是設邊長為基本量，這是因為當時我們并沒有系統地學習關于角的理論和性質．學習本章之后，我們比較系統地學習了角的概念、度量、三角函數及其圖象和三角恒等變換公式等，不難發現，角是與邊同等重要的幾何要素．因此，今后解決幾何問題時，我們應該充分關注其中的角元素．（二）作業布置教科書習題第15，16，20題．（三）目標檢測設計1．用表示．2．已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求證：4cos22α＝cos22β．答案：1．．2．由于sinθ＋cosθ＝2sinα，所以(sinθ＋cosθ)2＝4sin2α，又sinθcosθ＝sin2β，因此，1+2sin2β＝4sin2α，2-cos2β＝2-2cos2α，故4cos22α＝cos22β．設