《正弦函數、余弦函數的圖象》教學設計教學目標1．經歷繪制正弦函數圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數圖象的五點法．2．經歷繪制余弦函數圖象的過程，理解其中運用的圖象變換的思想．教學重難點教學重點：正弦函數、余弦函數的圖象．教學難點：掌握準確繪制正弦函數圖象上一個點的方法．課前準備PPT課件．教學過程（一）整體感知問題1：三角函數是我們學習的一類新的基本初等函數，按照函數研究的方法，學習了三角函數的定義之后，接下來應該研究什么問題？怎樣研究？你的研究思路是什么？追問：（1）研究指數函數、對數函數圖象與性質的思路是怎樣的？（2）繪制一個新函數圖象的基本方法是什么？（3）根據三角函數的定義，需要繪制正弦函數在整個定義域上的函數圖象嗎？選擇哪一個區間即可？預設的師生活動：教師提出問題，學生活動回憶函數研究的路線圖，師生共同進行交流、規劃，完善方案．預設答案：（1）研究的線路圖：函數的定義→函數的圖象→函數的性質．（2）繪制一個新函數圖象的方法都是描點法．（3）對于三角函數，單位圓上任意一點在圓周上旋轉一周又回到原來的位置，這一特性已經用誘導公式一表示，據此，可以簡化對正弦函數、余弦函數圖象與性質的研究過程，比如可以先畫函數y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，再畫正弦函數y＝sinx，x∈R的圖象．設計意圖：規劃研究方案，構建本單元的研究路徑，以便整體把控整個單元的教學進程，建立整體觀念．（二）新知探究1．正弦函數的圖象問題2：繪制函數的圖象，首先需要準確繪制其上一點．對于正弦函數，在[0，2π]上任取一個值x0，如何借助單位圓確定正弦函數值sinx0，并畫出點T(x0，sinx0)？追問1：根據正弦函數的定義思考，一個的橫坐標x0在單位圓上表示哪個幾何量？sinx0的幾何意義又是什么？預設的師生活動：教師引導學生結合圖1，根據定義分析，確定x0，sinx0對應的幾何量．圖1圖1追問2：根據上述分析，如何具體地作出點T(x0，sinx0)？預設的師生活動：教師和學生討論后，共同通過提前準備的工具嘗試繪制這個點．預設答案：方法一（學生操作）：“手工細線纏繞”法；方法二（教師操作）：利用信息技術．設計意圖：教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數定義的理解．通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點．問題3：我們已經學會繪制正弦函數圖象上的任意一個點，類比指數函數、對數函數圖象的畫法，接下來，如何畫出函數y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象？你能想到什么辦法？預設的師生活動：學生給出設想，師生討論后選擇一種或者多種適合的方法實施．預設答案：方案一：在區間[0，2π]內任取一些橫坐標的值，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．方案二：為方便操作，可以在區間[0，2π]內取等分點，按照上述方法逐一繪制，再用光滑的曲線連接．追問：這兩種繪制方法的異同是什么？預設的師生活動：學生用方案二繪制函數圖象．教師借助信息技術，用方案一繪制函數圖象．預設答案：兩種方法本質相同，在信息技術條件支持下都容易實現，在手工操作的條件下，用方案二比較可行．設計意圖：確定畫出一個周期內正弦函數圖象的方法，并實施，同時體會信息技術給數學研究帶來的便捷．問題4：根據函數y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，你能想象正弦函數y＝sinx，x∈R的圖象嗎？依據是什么？請你畫出該函數的圖象．預設的師生活動：學生畫圖，教師予以指導．預設答案：根據誘導公式一，可知函數y＝sinx，x∈[2kπ，2π]2(k+1)，k∈Z且k≠0的圖象與y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象形狀完全一致．因此將函數y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象不斷向左、向右平移（每次移動個單位長度），就可以得到正弦函數y＝sinx，x∈R的圖象，如圖2所示．圖2圖2－3教師指出，正弦函數的圖象叫做正弦曲線(sinecurve)，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線．設計意圖：繪制函數y＝sinx，x∈R的圖象，并培養說理的習慣．問題5：如何畫出函數y＝sinx，x∈[0，2π]圖象的簡圖？追問：在確定正弦函數的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？預設的師生活動：教師提出問題，引導學生觀察圖2，并說出他的想法．預設答案：觀察圖2，在函數y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象上，五個點（0，0），，QUOTEπ2，1（π，0），，QUOTE3π2，-1（2π，0）在確定圖象形狀時起關鍵作用．因此只要描出這五個點，按照正弦函數圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出函數的簡圖，稱之為“五點法”．設計意圖：觀察函數圖象，概括其特征，獲得五點法畫圖的簡便畫法．2．余弦函數的圖象問題6：如何畫出余弦函數y＝cosx的圖象？預設的師生活動：學生可能會類比正弦函數圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數的圖象．對此教師應予以肯定，并進一步提出追問的問題．追問1：由三角函數的定義可知，正弦函數、余弦函數是一對有密切關聯的函數．誘導公式表明，余弦函數和正弦函數可以互化．相應的，能否通過對正弦函數圖象進行變換得到余弦函數的圖象？預設的師生活動：學生先用排除法觀察誘導公式，選擇簡潔的公式，作為正弦函數、余弦函數關系研究的依據．教師引導學生通過比較進行選擇．從數的角度看，可以選擇關系：cosx＝sin（x+）．記f（x）＝sinx，則cosx＝f（x+）．因此函數y＝cosx的圖象，可以看作將函數y＝sinx的圖象上的點向左平移個單位得到．追問2：你能在兩個函數圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？預設的師生活動：這是教學的難點，教師要首先進行示范．教師可以先選擇一個具體的點，進行分析，然后上升到對一般點的分析．得到圖象之后還可以再利用圖象進行驗證．預設答案：設（x0，y0）是函數y＝cosx圖象上任意一點，則有y0＝cosx0＝sin（x0+）．令x0+＝t0，則y0＝sint0，即在函數y＝sinx圖象上有對應點（t0，y0）．比較兩個點：（t0，y0）與（x0，y0）．因為x0+＝t0，即x0＝t0－．所以點（x0，y0）可以看做是點（t0，y0）向左平移個單位得到的．所以只要將函數y＝sinx圖象上的點向左平移個單位即可得到函數y＝cosx的圖象，如圖3所示：圖3圖3教師指出，余弦函數y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線（cosinecurve）．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線．設計意圖：利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數的圖象獲得余弦函數圖象．增強對兩個函數圖象之間的聯系性的認識．問題7：類似于用“五點法”作正弦函數圖象，如何做出余弦函數的簡圖？追問：余弦函數在區間[－π，π]上相應的五個關鍵點是哪些？請將它們的坐標填入下表，然后作出y＝cosx，x∈[－π，π]的簡圖．xcosx預設的師生活動：預設答案：設計意圖：觀察余弦函數圖象，掌握其特征，獲得“五點法”．例1先用五點法畫出下列函數的圖象，然后再說明如何經過圖象變換得到下列函數的圖象：（1）y＝1+sinx，x∈［0，2π］；（2）y＝－cosx，x∈［0，2π］．預設的師生活動：學生先獨立完成，之后就解題思路和結果進行展示交流，教師點評并給出規范的解答．預設答案：（1）按五個關鍵點列表：描點并將它們用光滑的曲線連接起來．將函數y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象向上平移一個單位長度可得；（2）按五個關鍵點列表：描點并將它們用光滑的曲線連接起來．將函數y＝cosx，x∈［0，2π］的圖象關于x軸對稱可得．設計意圖：鞏固學生對正弦函數、余弦函