中考一輪復習數學幾何專題：四邊形壓軸訓練（一）1．已知正方形ABCD，E，F為平面內兩點．【探究建模】（1）如圖1，當點E在邊AB上時，DE⊥DF，且B，C，F三點共線．求證：AE＝CF；【類比應用】（2）如圖2，當點E在正方形ABCD外部時，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三點共線．猜想并證明線段AE，CE，DE之間的數量關系；【拓展遷移】（3）如圖3，當點E在正方形ABCD外部時，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三點共線，DE與AB交于G點．若DF＝3，AE＝，求CE的長．2．（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），連接CE，AG交于點H，請直接寫出線段AG與CE的數量關系，位置關系；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°），連接AG，CE交于點H，（1）中線段關系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉α（0°＜α＜360°），直線AG，CE交于點H，當點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．3．定義：有一組對邊相等且這一組對邊所在直線互相垂直的凸四邊形叫做“等垂四邊形”．（1）如圖①，四邊形ABCD與四邊形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求證：四邊形BEGD是“等垂四邊形”；（2）如圖②，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD≠BC，連接BD，點E，F，G分別是AD，BC，BD的中點，連接EG，FG，EF．試判定△EFG的形狀，并證明；（3）如圖③，四邊形ABCD是“等垂四邊形”，AD＝4，BC＝6，試求邊AB長的最小值．4．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG有公共頂點D．（1）如圖1，連接AG和CE，直接寫出AG和CE的關系；（2）如圖2，連接AE，M為AE中點，連接DM、CG，探究DM、CG的關系，并說明理由；（3）如圖3，若AB＝4，DE＝2，直線AG與直線CE交于點P，請直接寫出AP的取值范圍：．5．在正方形ABCD中，E為邊CD上一點（不與點C、D重合），垂直于BE的一條直線MN分別交BC、BE、AD于點M、P、N，正方形ABCD的邊長為6．（1）如圖1，當點M和點C重合時，若AN＝4，求線段PM的長度；（2）如圖2，當點M在邊BC上時，判斷線段AN、MB、EC之間的數量關系，并說明理由；（3）如圖3，當垂足P在正方形ABCD的對角線AC上運動時，連接NB，將△BPN沿著BN翻折，點P落在點P'處，AB的中點為Q，直接寫出P'Q的最小值．6．如圖，四邊形ABCD為矩形，點E為邊AB上一點，將△ADE沿DE折疊，點A落在矩形ABCD內的點F處．（1）如圖①，若AB＝8，AD＝6，點F恰好落在矩形的對角線BD上，求線段BF的長；（2）如圖②，連接BF，若△BEF為等邊三角形，求的值；（3）如圖③，已知E為AB中點，tan∠ADE＝，連接BF，FC，若△ADE的面積為S，求△BFC的面積．（結果用關于S的代數式表示）7．如圖①，在長方形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，動點P從點D出發，以每秒2個單位的速度沿線段DC向終點C運動，運動時間為t秒，連接AP，設點D關于AP的對稱點為點E．（1）如圖②，射線PE恰好經過點B，試求此時t的值．（2）當射線PE與邊AB交于點Q時，①請直接寫出AQ長的取值范圍：；②是否存在這樣的t的值，使得QE＝QB？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由．8．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：△BCE≌△CDG．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，CE＝9，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點，若＝k，＝，求的值（用含k的代數式表示）．9．如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，CB＝CD＝3，∠ABC＝∠ADC＝90°，點M、N是邊AB、AD上的動點，且∠MCN＝∠BCD，CM、CN與對角線BD分別交于點P、Q．（1）求sin∠MCN的值；（2）當DN＝DC時，求∠CNM的度數；（3）試問：在點M、N的運動過程中，線段比的值是否發生變化？如不變，請求出這個值；如變化，請至少給出兩個可能的值，并說明點N相應的位置．10．在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．11．綜合與實踐問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在?ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數量關系，并加以證明．獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發，將?ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應點為C′，連接DC′并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明．問題解決：（3）智慧小組突發奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應點為A′，使A′B⊥CD于點H，折痕交AD于點M，連接A′M，交CD于點N．該小組提出一個問題：若此?ABCD的面積為20，邊長AB＝5，BC＝2，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．12．閱讀下列材料：問題：如圖1，在正方形ABCD內有一點P，PA＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度數．小明同學的想法是：已知條件比較分散，可以通過旋轉變換將分散的已知條件集中在一起，于是他將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得到了△BP′A（如圖2），然后連接PP′．請你參考小明同學的思路，解決下列問題：（1）如圖2，△APP′為，△BPP′為；（填等腰三角形，直角三角形或等腰直角三角形）（2）如圖2，∠BPC的度數為；（3）如圖3，若在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA＝2，PB＝4，PC＝2，則求：①∠BPC的度數；②正六邊形ABCDEF的邊長．13．（1）問題發現如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，填空：的值為；∠AMB的度數為．（2）類比探究如圖2，在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，DG＝3，連接AG，BF，求的值．14．【教材呈現】圖是華師版九年級上數學教材第77頁的部分內容：如圖23.4.2，在△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．請用演繹推理給出證明．【結論應用】（1）如圖1，在矩形ABCD中，點M、N、P、Q分別為AB、BC、CD、DA的中點，順次連結M、N、P、Q．求證：四邊形MNPQ是菱形．（2）如圖2，在△ABC中，F是BC邊中點，D是AC邊上一點，E是AD的中點，直線FE交BA的延長線于點G，若AB＝DC＝2，∠FEC＝60°，則FE的長為．15．已知，如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，點P從點A沿AB以每秒2cm的速度向點B運動，點Q從點以每秒1cm的速度向點A運動，點P