二項式定理第I卷（選擇題）一、單選題1．，則（）A．49 B．56 C．59 D．642．在的二項展開式中，的系數是（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B．10 C． D．454．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據考證，我國至遲在世紀，北宋數學家賈憲就已經知道了二項式系數法則，在的二項式展開式中，的系數為（）A． B． C． D．5．的展開式中項的系數是（）A． B． C． D．

6．已知，則等于（）A．63 B．64 C．31 D．327．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝（）A．284 B．356 C．364 D．3788．若，則（）A． B．4 C． D．9．已知的展開式中所有項的系數之和為-64，則其常數項為（）A．-25 B．-5 C．20 D．5510．我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關于楊輝三角的猜想中錯誤的是（）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它‘肩上’兩個數的和”猜想：C．由“第n行所有數之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝1510105111．已知二項式的展開式的二項式系數和為32，所有項系數和為243，則（）A． B．2 C． D．312．若，則（）A． B． C． D．13．設，則的值為（）A． B． C． D．14．設，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．415．的展開式中二項式系數最大的項是（）A． B． C． D．16．設，則A． B．0 C．1 D．17．設，若與的二項展開式中的常數項相等，則（）A．4 B．-4 C．2 D．-218．展開式的二項式系數之和為32，則按x降冪排列的展開式的第三項是A． B． C． D．19．已知的展開式中的系數為25，則展開式中所有項的系數和為（）A． B．97 C．96 D．20．已知一組數據1，3，5，7的方差為n，則在二項式（2x）n的展開式所有項中任取一項，取到有理項的概率為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、解答題21．在二項式的展開式中，________．給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數的和等于46；②所有奇數項的二項式系數的和為256；③若展開式中第7項為常數項．試在上面三個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式的常數項．（備注：如果多個條件分別解得，按第一個條件計分）22．在二項式的展開式中，前三項系數的絕對值成等差數列．（1）求項數；（2）求展開式中的二項式系數最大的項；（3）求展開式中所有系數的絕對值的和．23．請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.①第5項的系數與第3項的系數之比是14：3；②第2項與倒數第3項的二項式系數之和為55；③.已知在的展開式中，________.（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中含的項.24．已知展開式中的第二項、第三項、第四項的二項式系數成等差數列．（1）求的值及展開式的所有項的系數和；（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率．25．已知的二項展開式中，第三項的系數為7.（1）求證：前三項系數成等差數列；（2）求出展開式中所有有理項（即的指數為整數的項）.參考答案1．C【分析】令，可得各項系數和.【詳解】令，.故選：C.【點睛】求二項展開式各項系數和、奇數項系數和與偶數項系數和問題關鍵是賦值法應用.若，則展開式中：(1)各項系數之和為；(2)；(3).2．C【分析】由二項式展開式通項，即可確定的系數.【詳解】由二項式通項，∴當時，，則.∴的系數是.故選：C.3．A【分析】由于，求出的通項，從而可求出的值【詳解】，.故選：A4．D【分析】寫出二項式展開式的通項，令的指數位置等于即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，解得，所以二項式展開式中，的系數為，故選：D.5．D【分析】由題意利用二項展開式的通項公式求得的項的系數.【詳解】的展開式中項系數為，故選：D.6．A【分析】先逆用二項式定理得到，求得n值，再利用計算即得結果.【詳解】逆用二項式定理得＝，即3n＝36，所以n＝6，所以＝64－1＝63.故選：A.7．C【分析】分別令x＝1和x＝－1，得到兩式相加即得a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，得a0，即得結果.【詳解】令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，①令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1，②①②兩式左右分別相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，則a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.故選：C.【點睛】方法點睛：二項式定理的系數和問題，通常先通過觀察，根據需要使用賦值法代入計算即可.8．C【分析】由題知，再令，得，令，得，進而得.【詳解】因為，所以．令，得，即．令，可得．所以，故選：C．【點睛】本題考查二項式定理求值，考查運算求解能力，是中檔題.解題的關鍵在于賦值和求解.9．A【分析】令可得所有項的系數，進而得，再由的展開式和相乘可得常數項.【詳解】令可得的展開式中所有項的系數之和為，解得，展開式的通項公式為：，展開式中的常數項為：.故選：A.【點睛】方法點睛：利用二項展開式計算指定項的系數時，注意利用通項公式和多項式的乘法判斷出指定項的系數是有哪些項的系數相乘所得到的.10．D【分析】由組合數及二項式系數的性質可判斷A、B、C，由二項式定理運算可判斷D.【詳解】對于A，由組合數的互補性質可得，故A正確；對于B，由組合數的性質可得，故B正確；對于C，由二項式系數和的性質可得，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了數學文化及組合數、二項式定理、二項式系數的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.11．A【分析】根據二項式系數和求得，利用賦值法，結合所有項系數和求得.【詳解】∵二項式系數和為，∴.令，∴，∴.故選：A.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的有關計算，屬于中檔題.12．D【分析】利用二項式定理可知、、、為負數，、、、、為正數，可得出，然后令可求得所求代數式的值，可以求得，從而求得結果.【詳解】二項式的展開式通項為，所以，的奇數次冪的系數均為負數，偶數次冪的系數均為正數，即、、、為負數，、、、、為正數，所以.所以，故選：D.【點睛】本題考查利用賦值法求解各項系數絕對值之和，要結合二項式定理確定各項系數的正負，考查計算能力，屬于中檔題目.13．A【分析】根據題中條件，直接令代入，即可得出結果.【詳解】令，代入可得，，則.故選：A.【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，根據賦值法求解即可，屬于基礎題型.14．C【分析】令，即可求出．【詳解】解：，令，則，故選：．【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了賦值法，屬于基礎題．15．C【分析】根據二項式系數的性質，當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值，再根據通項公式可求得結果.【詳解】由二項式系數的性質，當n為偶數時，中間一項的二項式系數取得最大值，所以二項式系數最大的項是.故選：C.【點睛】本題考查了二項式系數的性質，考查了二項展開式的通項公式，屬于基礎題.16．B【分析】通過賦值法分別求出二項式奇數項和偶數項系數的和，代入所求極限中利用平方差公式化簡即可得解.【詳解】令，則①，令，則②，可得：，可得：，所以故選：B【點睛】本題考查賦值法求二項展開式中奇數項、偶數項系數的和，極限的求解，屬于中檔題.17．B【分析】分別求出與的通項公式，進而求出常數項，建立的方程即可.【詳解】的通項公式為，令，所以常數項為；的通項公式為，令，所以常數項為，依題意可得.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用，熟練掌握二項展開式通項是解題的關鍵，屬于基礎題.18．C【分析】先求出n=5,再利用二項式展開式的通項求出按x降冪排列的展開式的第三項得解.【詳解】由題得.所以=，所以按x降冪排列的展開式的第三項.故選：C【點睛】本題主要考查二項式系數和二項式展開式指定項的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.19．C【分析】先求得的值：解法一直接展開，再尋找的系數；解法二利用二項式定理，結合乘法分配律，求得的系數.由此列方程，求得的值.然后令，求得展開式中所有項的系數和.【詳解】解法1：因為，所以的系數為，所以，解得，所以，令，得.解法2：由乘法分配律知的展開式中的系數為所以，解得，所以令，得.故選：C【點睛】本小題主要考查二項式定理的運用，考查展開式中所有項的系數和的求法，屬于基礎題.20．C【分析】求出方差n再代入,求得展開式中的項數,再求有理項的個數即可.【詳解】1,3,5,7的平均數，故方差.故二項式的展開項共6項.其中通項公式.其中有理項滿足為整數,即滿足.故展開式所有項中任取一項,取到有理項的概率為故選：C【點睛】本題主要考查了方差的運算以及二項式展開式的應用,需要根據題意列出通項公式中某項滿足的條件再求解即可.屬于中等題型.21．答案見解析【分析】先根據所選的條件計算出的值：若選①，根據組合數計算出的值；若選②，根據奇數項的二項式系數為求解出的值；若選③，先寫出展開式的通項公式，然后根據的次數為零得到的關系，由此根據條件可確定出的值；（1）根據的值，先確定出二項式系數最大的項是哪幾項，然后利用展開式的通項求解出對應項；（2）先寫出展開式的通項，然后根據的次數為零求解出的值，由此求解出常數項.【詳解】解：選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）選擇②：，即，解得．選擇③：，則有，所以．因為展開式中第7項為常數項，即，所以．（1）展開式中二項式系數最大的項為第5和第6項，，．（2）展開式通項為：，令，∴，∴展開式中常數項為第7項，常數項為．【點睛】結論點睛：二項式系數的性質：（1）對稱性：與首末兩端“等距”的兩個二項式系數相等，即；（2）增減性與最大值：當時，二項式系數是遞增的，當時，二項式系數是遞減的；當為偶數時，中間一項的二項式系數最大，當為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大；（3）二項式系數的和：，.22．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）寫出二項式展開式的通項，根據等差中項的性質列方程可得出的值；（2）根據二項式系數的對稱性和單調性可得出二項式系數最大的項；（3）列出展開式中所有系數的絕對值，利用二項式定理特殊賦值求解即可.【詳解】（1）二項式展開式的通項為，因為前三項系數的絕對值成等差數列，所以，化簡得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二項式的展開項共9項，故二項式系數最大的項為第項，即（3）展開式中所有系數的絕對值的和為，【點睛】結論點睛：本題考查二項式系數的性質，在的展開式中，若n是偶數時，中間項項的二項式系數最大；若n是奇數時，中間兩項與項的二項式系數相等且最大．23．（1）；（2）.【分析】（1）先求出二項展開式的通項，根據條件求出，即可知道二項式系數最大的項；（2）令的指數為5，即可計算出，求出含的項.【詳解】可知，方案一：選條件①，（1）由題可知，，，解得或（舍去），所以展開式共有11項，其中二項式系數最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數最大的項是第6項，；（2）由（1）知，令，，，所以展開式中含的項是第一項，為；方案二：選條件②，（1）由題可知，整理得，解得或（舍去），所以展開式共有11項，其中二項式系數最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數最大的項是第6項，；（2）同方案一（2）；方案三：選條件③，（1），，所以展開式共有11項，其中二項式系數最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數最大的項是第6項，；（2）同方案一（2）.【點睛】本題考查二項展開式的相關性質，屬于中檔題.24．（1）；2187；（2）．【分析】（1）利用第二項、第三項、第四項的二項式系數為等差數列可求，再令可求系數和.（2）根據二項展開式的通項可得展開式中共有3項有理項，利用插空法和古典概型的概率計算公式可求概率.【詳解】解：（1）由已知第二項、第三項、第四項的二項式系數分別為、、，∴，解得或（舍），∴．令可得展開式的所有項的系數和為．（2），其中，故展開式共8項，當為有理項，共3項，∴由插空法可得有理項不相鄰的概率．【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數的計算以及古典概