一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的回歸模型時(shí),分別選擇了4種不同模型,計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如表:甲乙丙丁R2哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好()A.甲 B.乙C.丙 D.丁年初,新型冠狀病毒引起的肺炎疫情暴發(fā)以來(lái),各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種針對(duì)性的治療方法,取得了不錯(cuò)的成效,某地開(kāi)始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后,每周治愈的患者人數(shù)如表所示:周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)(Y)21736103142由表格可得Y關(guān)于x的非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6x2+a,則此回歸模型第4周的殘差(實(shí)際值與預(yù)報(bào)值之差)為() 3.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:收入x/萬(wàn)元支出Y/萬(wàn)元根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+,其中=,=-.據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶(hù)年收入為15萬(wàn)元的家庭的年支出為()萬(wàn)元 萬(wàn)元萬(wàn)元 萬(wàn)元4.已知具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量x,Y滿(mǎn)足一組數(shù)據(jù)如表所示.若Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=,則m的值為()x0123Y-11m8 B. 5.已知x與Y之間的幾組數(shù)據(jù)如表:x123456Y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線(xiàn)方程為y′=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是()A.>b′,>a′ B.>b′,<a′C.<b′,>a′ D.<b′,<a′6.已知具有線(xiàn)性相關(guān)的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=2x+,若++…+=(12,18)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則=________.

7.已知n組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)確定的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-x+2且=4,通過(guò)殘差分析,發(fā)現(xiàn)兩組成對(duì)樣本數(shù)據(jù),,,誤差較大,除去這兩組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)后,重新求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率估計(jì)值為,則當(dāng)x=-4時(shí),=________.

8.某工廠(chǎng)為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到如表數(shù)據(jù):單價(jià)x(元)89銷(xiāo)量Y(件)908483807568(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+,其中=-20,=-;(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠(chǎng)獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)9.在一段時(shí)間內(nèi),某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷(xiāo)售價(jià)格x(元)和日銷(xiāo)售量Y(件)之間的一組數(shù)據(jù)為:價(jià)格x(元)2220181614日銷(xiāo)售量Y(件)3741435056求出Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并說(shuō)明該方程擬合效果的好壞.參考數(shù)據(jù):xiyi=3992,=1660.擴(kuò)展練習(xí)1.若一函數(shù)模型為y=sin2α+2sinα+1,為將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,則需作變換t等于()α B.(sinα+1)2C. D.以上都不對(duì)2.在生物學(xué)上,有隔代遺傳的現(xiàn)象.已知某數(shù)學(xué)老師的體重為62kg,他的曾祖父、祖父、父親、兒子的體重分別為58kg、64kg、58kg、60kg.如果體重是隔代遺傳,且呈線(xiàn)性相關(guān),根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得解釋變量x與預(yù)報(bào)變量的回歸方程為=x+,其中=,據(jù)此模型預(yù)測(cè)他的孫子的體重約為()kg kg kg kg3.對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)行年限x(x=1,2,3,…)與當(dāng)年利潤(rùn)Y的統(tǒng)計(jì)分析知x,Y具備線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=估計(jì)該臺(tái)機(jī)器最為劃算的使用年限為_(kāi)_____年.

4.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出非經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)z=lny,其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=+4,則c=________.

5.如表為收集到的一組數(shù)據(jù):x21232527293235Y711212466115325試建立Y與x之間的回歸方程.G網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù),我國(guó)的5G技術(shù)發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款5G手機(jī),現(xiàn)調(diào)查得到該款5G手機(jī)上市時(shí)間x和市場(chǎng)占有率Y(單位:%)的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線(xiàn)圖中,橫軸1代表2019年8月,2代表2019年9月,……,5代表2019年12月,根據(jù)數(shù)據(jù)得出Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì),則最早何時(shí)該款5G手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過(guò)%(精確到月)()年6月 年7月年8月 年9月參考答案1.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x,y的回歸模型時(shí),分別選擇了4種不同模型,計(jì)算可得它們的相關(guān)指數(shù)R2分別如表:甲乙丙丁R2哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好()A.甲 B.乙C.丙 D.丁分析：選A.相關(guān)指數(shù)R2越大,表示回歸模型的效果越好.年初,新型冠狀病毒引起的肺炎疫情暴發(fā)以來(lái),各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)采取了各種針對(duì)性的治療方法,取得了不錯(cuò)的成效,某地開(kāi)始使用中西醫(yī)結(jié)合方法后,每周治愈的患者人數(shù)如表所示:周數(shù)(x)12345治愈人數(shù)(Y)21736103142由表格可得Y關(guān)于x的非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6x2+a,則此回歸模型第4周的殘差(實(shí)際值與預(yù)報(bào)值之差)為() 分析：選C.因?yàn)?(1+4+9+16+25)=11,=(2+17+36+103+142)=60,所以a=60-6×11=-6,則Y關(guān)于x的非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=6x2-6.取x=4,得=6×42-6=90,所以此回歸模型第4周的預(yù)報(bào)值為90,則此回歸模型第4周的殘差為103-90=13.3.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭,得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表:收入x/萬(wàn)元支出Y/萬(wàn)元根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+,其中=,=-.據(jù)此估計(jì),該社區(qū)一戶(hù)年收入為15萬(wàn)元的家庭的年支出為()萬(wàn)元 萬(wàn)元萬(wàn)元 萬(wàn)元分析：選B.由題意可得=×++++=10,=×++++=8,所以=×10=,所以線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=+,把x=15代入,可得=×15+=.4.已知具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量x,Y滿(mǎn)足一組數(shù)據(jù)如表所示.若Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=,則m的值為()x0123Y-11m8 B. 分析：選A.由題意可知,樣本點(diǎn)的中心一定在回歸直線(xiàn)上,所以代入方程可得m=4.5.已知x與Y之間的幾組數(shù)據(jù)如表:x123456Y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+,若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線(xiàn)方程為y′=b′x+a′,則以下結(jié)論正確的是()A.>b′,>a′ B.>b′,<a′C.<b′,>a′ D.<b′,<a′分析：選C.過(guò)(1,0)和(2,2)的直線(xiàn)方程為y′=2x-2,畫(huà)出六點(diǎn)的散點(diǎn)圖,回歸直線(xiàn)的大概位置如圖所示,顯然,b′>,>a′.6.已知具有線(xiàn)性相關(guān)的變量x,y,設(shè)其樣本點(diǎn)為Pi(xi,yi)(i=1,2,…,6),經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=2x+,若++…+=(12,18)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則=________.

分析：由題意可得,=(x1+x2+x3+x4+x5+x6)==2,=(y1+y2+…+y6)==3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=2x+,所以3=2×2+,解得=-1.答案:-17.已知n組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)確定的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-x+2且=4,通過(guò)殘差分析,發(fā)現(xiàn)兩組成對(duì)樣本數(shù)據(jù),,,誤差較大,除去這兩組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)后,重新求得經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率估計(jì)值為,則當(dāng)x=-4時(shí),=________.

分析：由樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集{(xi,yi)|i=1,2,…,n}求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-x+2,且=4,所以=-2,故數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為(-2,4),去掉,,,,重新求得的經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率估計(jì)值為,經(jīng)驗(yàn)回歸方程設(shè)為:=+,代入(-2,4),求得=1,所以經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的方程為:y=+1,將x=-4代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程,求得y的估計(jì)值為×(-4)+1=7.答案:78.某工廠(chǎng)為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo),得到如表數(shù)據(jù):單價(jià)x(元)89銷(xiāo)量Y(件)908483807568(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+,其中=-20,=-;(2)預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中,銷(xiāo)量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠(chǎng)獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)分析：(1)=×(8+++++9)=.=×(90+84+83+80+75+68)=80.=+20=80+20×=250,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=-20x+250.(2)工廠(chǎng)獲得的利潤(rùn)z=(x-4)y=-20x2+330x-1000,由二次函數(shù)知識(shí)可知當(dāng)x=時(shí),zmax=(元).故該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為元.9.在一段時(shí)間內(nèi),某淘寶網(wǎng)店一種商品的銷(xiāo)售價(jià)格x(元)和日銷(xiāo)售量Y(件)之間的一組數(shù)據(jù)為:價(jià)格x(元)2220181614日銷(xiāo)售量Y(件)3741435056求出Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并說(shuō)明該方程擬合效果的好壞.參考數(shù)據(jù):xiyi=3992,=1660.分析：作出散點(diǎn)圖(此處略),觀(guān)察散點(diǎn)圖,可知這些點(diǎn)散布在一條直線(xiàn)的附近,故可用線(xiàn)性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù).因?yàn)?=18,==.所以==,=×18=.所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=+.yi-i與yi-的值如表:yi-i1yi-計(jì)算得(yi-i)2=,(yi-)2=,所以R2=1-≈.因?yàn)楹芙咏?,所以該模型的擬合效果比較好.擴(kuò)展練習(xí)1.若一函數(shù)模型為y=sin2α+2sinα+1,為將y轉(zhuǎn)化為t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,則需作變換t等于()α B.(sinα+1)2C. D.以上都不對(duì)分析：選B.因?yàn)閥是關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,實(shí)際上就是y是關(guān)于t的一次函數(shù),又因?yàn)閥=(sinα+1)2,若令t=(sinα+1)2,則可得y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t,此時(shí)變量y與變量t是線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.2.在生物學(xué)上,有隔代遺傳的現(xiàn)象.已知某數(shù)學(xué)老師的體重為62kg,他的曾祖父、祖父、父親、兒子的體重分別為58kg、64kg、58kg、60kg.如果體重是隔代遺傳,且呈線(xiàn)性相關(guān),根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得解釋變量x與預(yù)報(bào)變量的回歸方程為=x+,其中=,據(jù)此模型預(yù)測(cè)他的孫子的體重約為()kg kg kg kg分析：選B.由于體重是隔代遺傳,且呈線(xiàn)性相關(guān),則取數(shù)據(jù)(58,58),(64,62),(58,60),得==60,==60,即樣本點(diǎn)的中心為(60,60),代入=x+,得=×60=30,則=+30,取x=62,可得=×62+30=61kg.故預(yù)測(cè)他的孫子的體重約為61kg.3.對(duì)某臺(tái)機(jī)器購(gòu)置后的運(yùn)行年限x(x=1,2,3,…)與當(dāng)年利潤(rùn)Y的統(tǒng)計(jì)分析知x,Y具備線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=估計(jì)該臺(tái)機(jī)器最為劃算的使用年限為_(kāi)_____年.

分析：當(dāng)年利潤(rùn)小于或等于零時(shí)應(yīng)該報(bào)廢該機(jī)器,當(dāng)y=0時(shí),令解得x≈8,故估計(jì)該臺(tái)機(jī)器最為劃算的使用年限為8年.答案:84.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出非經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)z=lny,其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程=+4,則c=________.

分析：由題意,得ln(cekx)=+4,所以lnc+kx=+4,所以lnc=4,所以c=e4.答案:e45.如表為收集到的一組數(shù)據(jù):x21232527293235Y711212466115325試建立Y與x之間的回歸方程.分析：作出散點(diǎn)圖,如圖.從散點(diǎn)圖中可以看出x與Y不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線(xiàn)的周?chē)?令Z=lnY,則變換后的樣本點(diǎn)分布在直線(xiàn)=x+的周?chē)?這樣就可以利用線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸模型來(lái)建立非線(xiàn)性經(jīng)驗(yàn)回歸方程了,數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為:x21232527293235Z求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=所以=G網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù),我國(guó)的5G技術(shù)發(fā)展迅速,已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款5G手機(jī),現(xiàn)調(diào)查得到該款