第一節平面向量的概念及其線性運算[主干知識梳理]一、向量的有關概念1．向量：既有大小又有

的量叫向量；向量的大小叫做向量的

．2．零向量：長度等于

的向量，其方向是任意的．3．單位向量：長度等于

的向量．方向模01個單位4．平行向量：方向相同或

的非零向量，又叫共線向量，規定：0與任一向量共線．5．相等向量：長度相等且方向

的向量．6．相反向量：長度相等且方向

的向量．相反相同相反二、向量的線性運算b＋aa＋(b＋c)b＋aa＋(b＋c)三、向量的數乘運算及其幾何意義1．定義：實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數乘，記作

，它的長度與方向規定如下： (1)|λa|＝

； (2)當λ>0時，λa的方向與a的方向

；當λ<0時，λa的方向與a的方向

；當λ＝0時，λa＝

．λa|λ||a|相同相反02．運算律：設λ，μ是兩個實數，則 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.四、共線向量定理

向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數λ，使得

．b＝λa[基礎自測自評]1．下列命題正確的是() A．不平行的向量一定不相等 B．平面內的單位向量有且僅有一個 C．a與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．若a與b平行，則b與a方向相同或相反A[對于B，單位向量不是僅有一個，故B錯；對于C，a與c的方向也可能相反，故C錯；對于D，若b＝0，則b的方向是任意的，故D錯，綜上可知選A.]2．如圖所示，向量a－b等于()

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2

[關鍵要點點撥]共線向量定理應用時的注意點(1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數個．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合．向量的有關概念

③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個數為()A．1 B．2C．3 D．4③不正確．兩向量不能比較大小．④不正確．當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．答案C[規律方法]1．平面向量的概念辨析題的解題方法 準確理解向量的基本概念是解決該類問題的關鍵，特別是對相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例進行否定也是行之有效的方法．2．幾個重要結論 (1)向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性； (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量； (3)向量平行與起點的位置無關．

[跟蹤訓練]1．設a0為單位向量， ①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0； ②若a與a0平行，則a＝|a|a0； ③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0. 上述命題中，假命題的個數是() A．0 B．1 C．2 D．3D[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3.]向量的線性運算

答案D答案A[規律方法]在進行向量的線性運算時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則求解，并注意利用平面幾何的性質，如三角形中位線、相似三角形等知識．答案C答案2共線向量

[規律方法]1．當兩向量共線時，只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，解決向量共線問題要注意待定系數法和方程思想的運用．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系．【答案】D【高手支招】判斷與向量有關的基本概念問題，首先考慮向量為零向量時是否成立，這樣可快速作出判斷．2．(2012·浙江高考)設a，b是兩個非零向量．() A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b B．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數λ，使得b＝λa D．若存在實數λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|C[由|a＋b|＝|a|－|b|兩邊平方，得a2＋b2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|，即a·b＝－|a|·|b|，故a與b