第三章Statisticdistributionofcarrierinsemiconductor半導體中載流子的統計分布●狀態密度●費米能級和載流子的統計分布●本征半導體載流子濃度的計算●雜質半導體載流子濃度的計算●簡并半導體載流子濃度的計算中心問題：半導體中載流子濃度隨溫度變化的規律；計算一定溫度下半導體中熱平衡載流子濃度。主要內容：§3.1狀態密度一、熱平衡狀態：產生載流子過程—電子從價帶或雜質能級向導帶躍遷；載流子復合過程—電子從導帶回到價帶或雜質能級上。同時有：在一定的溫度下，在半導體材料中存在：●●○○產生復合EcEDEv在一定的溫度下，產生數=復合數熱平衡狀態熱平衡時載流子濃度決定于兩個因素：允許電子存在的量子態是如何按能量分布的，或者說每一個能量E有多少允許電子存在的量子態？→狀態密度電子是按什么規律分布在這些能量狀態的？→分布函數二、狀態密度狀態密度:能帶中能量E--E+dE之間有dZ個量子態。即狀態密度是能帶中能量E附近單位能量間隔內的量子態數目半導體的導帶和價帶中，有很多能級存在，間隔很小，約10-22eV，可以認為是準連續的。波矢k～電子態的關系能量E～電子態的關系能量E～波矢k態密度的計算方法狀態密度的計算：通過狀態空間即k空間1、理想晶體的k空間的狀態密度（1）：一維晶體（一維單原子鏈）設它由N個原子組成，晶格常數為a，晶體的長為L=aN，起點在x處axL=a×N

x+L在x和x+L處，電子的波函數分別為φ(x)和φ(x+L)φ(x)=φ(x+L)滿足周期性邊界條件:∴∵∴∴（2）.三維晶體小立方的體積為：一個允許電子存在的狀態在k空間所占的體積∴單位k空間允許的狀態數為：即：單位k空間體積內所含的允許狀態數正比于晶體體積V—k空間的量子態（狀態）密度如考慮自旋后，k空間的電子態密度為：任意k空間體積V中所包含的電子態數為：2、半導體導帶底附近和價帶頂附近的狀態密度（1）、極值點k0=0，E(k)為球形等能面(a)導帶底球形等能面的半徑k：球所占的k空間的體積為：設這個球內所包含的電子態數為Z(E)：能量由E增加到E+dE，k空間體積增加：電子態變化dZ(E)：導帶底附近單位能量間隔的電子態數—量子態（狀態）密度為：(b)價帶頂部EEc1Ev2gc(E)gv(E)狀態密度與能量的關系圖對Si、Ge、GaAs材料,價帶頂有重空穴和輕空穴：稱mdp為價帶空穴狀態密度有效質量令：則：(2)極值點ko≠0,(旋轉橢球等能面情況)導帶底附近：導帶底（不止有一個狀態）附近的狀態密度為：式中S為導帶極小值的個數,即導帶底的狀態共有S個如，由于對稱性，Si：S=6，Ge：S=4令：稱mdn導帶電子狀態密度有效質量如考慮晶體的對稱性，取旋轉橢球等能面，則存在縱的和橫的有效質量：同理，價帶頂狀態密度：由此可知：狀態密度gc(E)和gv(E)與能量成正比，還與有效質量有關，有效質量大的能帶中的狀態密度大。為空穴態密度有效質量gv(E)與gc(E)有相同的形式§3.2費米能級和載流子統計分布1、假設已知導帶（價帶）中單位能量間隔含有的狀態數為gc(E)—導帶（價帶）的狀態密度。2、還有對于多粒子系統應考慮粒子的統計分布：能量為E的每個狀態被電子占有的幾率為f(E)，即要考慮電子在不同能量的量子態的統計分布。一、載流子濃度的求解思路：在熱平衡時，統計分布的概率是一定的。所以，在能量dE內的狀態具有的電子數為：f(E)gc(E)dE。整個導帶的電子數N為：f(E)?二、費米（Fermi）分布函數與費米能級1、費米分布函數：

電子遵循費米-狄拉克（Fermi-Dirac）統計分布規律。能量為E的一個獨立的電子態被一個電子占據的幾率為：沒有被電子占有的幾率為：也就是量子態被空穴占據的幾率只要知道EF，在一定溫度下，電子在各個量子態上的統計分布就能完全確定！2、費米能級EF的特點：它和溫度、導電類型、雜質含量以及能量零點的選取有關?？梢杂蓺w一化條件決定。即能帶內所有量子態被電子占據的量子數應等于電子總數。就是處于熱平衡狀態下，增加一個電子所引起系統的自由能的增加。在平衡時電子系統有統一的費米能級。EF就是系統的化學勢(1)、f(E)與體系所處的溫度T直接相關

f(E)EF1/21T＞0k若E＜EF,f(E)＞1/2若E＝EF,f(E)＝1/2若E＞EF,f(E)＜1/2當T=0k時，若E＜EF,f(E)=1若E＞EF,f(E)=0電子占據的界限例子：當量子態的能量比費米能級高或低5kT時：所以，溫度高于0k時，能量比費米能級高5kT的量子態被占據的概率為0.7%;量子態幾乎是空的；而比費米能級低5kT的量子態被電子占據的概率是99.3%,概率很大，量子態幾乎總有電子。一般認為，在溫度不高時，能量大于費米能EF的能級基本沒有被電子占據；小于費米能EF的能級的量子態基本被電子所占據。費米能級標志了電子填充能級的水平，費米能級位置高說明有較多高能量的量子態有電子。(2)、f(E)與體系費米能EF相關性EFEFEA強p型（a）EFEFEi（b）（c）（d）（e）p型本征n型強n型EFEDEF↑，f(E)↑，高能帶中的電子占有幾率增加。費米能級的位置標志著電子填充水平的高低三、波爾茲曼（Boltzmann）分布函數1.電子的玻氏分布玻爾茲曼分布可見，此時費米分布幾率和波爾茲曼分布幾率基本相等。當E－EF＞＞kT時，量子態被電子占據的概率很小，泡利不相容原理失去作用，兩種統計結果一樣。例如：E－EF=5kT時，對于本征Si:在室溫時，kT=0.026ev，0.56/0.026=21.6＞5EcEvEF=EiEg所以，導帶中的電子可以用玻氏分布來計算2.空穴的玻氏分布當E遠低于EF時，空穴占據能量為E的量子態的幾率很小，即這些量子態幾乎都被電子占據。E↑，空穴占有幾率增加；EF↑，空穴占有幾率下降，即電子填充水平增高。空穴的玻氏分布服從Boltzmann分布的電子系統為非簡并系統，相應的半導體是非簡并半導體服從Fermi分布的電子系統是簡并系統，相應的半導體為簡并半導體半導體中一般情況，費米能級在禁帶之中，并且與導帶底或價帶頂底距離遠大于kT,所以導帶的電子可用玻耳茲曼分布函數。稱為非簡并半導體滿足：四、導帶中的電子濃度和價帶中的空穴濃度本征激發－本征載流子的產生：空穴電子成對產生如何算出兩種載流子的濃度?1、導帶電子濃度no和價帶空穴濃度po（1）.電子濃度no

在能量E→E+dE間隔內的電子數dN為：dN=fB(E)gc(E)dE所以，整個導帶的電子數N為：分布函數態密度引入：利用積分公式：

簡化計算一般，導帶寬度為1到2eV，當T=500K,kT=0.043eV,1/0.043=23,在積分的被積函數隨x增大而迅速減小。積分上限取不影響結果。物理上講，導電電子主要集中在導帶的底部。電子占據導帶底Ec

的幾率令：——

導帶有效狀態密度所以：導帶電子濃度（2）.空穴濃度po價帶中的空穴濃度為：其中——

價帶的有效狀態密度在室溫時,常用半導體的導帶、價帶有效狀態密度為：Nc(cm-3)Nv(cm-3)Si2.8×10191.2×1019

Ge 1.04×1019

6.1×1018

GaAs 4.7×10177×1018

2、影響no和po

的主要因素：（1）mdn和mdp的影響－－材料本征的影響電子空穴三個因素：m,T,EF（2）溫度T的影響NC、NV～Tf(EC)

～T①

有效狀態密度Nc、Nv～TT↑，NC、NV↑no、po↑②占據EC、EV的幾率f函數與T有關T升高，幾率增大

溫度升高，本征激發加劇，有更多的電子和空穴產生（3）費米能級EF位置的影響●EF→EC，EC-EF↓，no↑－－EF越高，電子的填充水平越高?！馝F→EV，EF-EV↓，po↑－－EF越低，電子的填充水平越低。費米能級的高低取決于材料，溫度與雜質3、載流子濃度積（1）對于一定材料，n0p0只決定于溫度T，和雜質及費米能級無關；（2）當溫度T一定時，不同材料因禁帶寬度Eg不同，不同的有效質量，

n0p0不同。與雜質無關⑵影響因素（1）對于一定材料，n0p0只決定于溫度T，和雜質及費米能級無關；（2）當溫度T一定時，不同材料因禁帶寬度Eg不同，不同的有效質量，

n0p0也不同。§3.3本征半導體的載流子濃度在T≠0,熱平衡態下，電子和空穴成對產生，半導體是電中性的，即：n0=p0兩式相等一、本征半導體的費米能級EFn0和p0?即得到：Ei為禁帶的中心能級將NC、NV代入上式：Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo例如：室溫時，kT=0.026evEF－Ei=－0.008eV（和帶隙Eg相比很?。┧?，一般溫度下，Si、Ge、GaAs等本征半導體的EF近似在禁帶中央Ei，只有溫度較高時，EF才會偏離Ei。(Eg)Ge=0.67ev∴EF≈Ei對Si、GaAs一樣，EF≈Ei特例：對InSb，Eg=0.17ev,mdp/mdn

約為32，EF≠Ei，費米能級遠在禁帶中線之上。二、本征載流子濃度及影響因素可以見到：（1）、溫度一定時，Eg大的材料，ni??；（2）、對同種材料，ni隨溫度T按指數關系上升。1、本征載流子濃度ni代入h和k0的數值，引入電子慣性質量m0通過實驗測量很寬溫度范圍的本征載流子濃度，可以得到Ge、Si、GaAs的Eg(0)為0.78ev、1.21eV、1.53eV，和光學方法測定數值吻合。2、一般半導體載流子濃度積與ni關系實際上，半導體中總是存在一定的雜質和缺陷的。但兩種載流子的濃度積關系還成立。Note:ni是半導體材料的本征載流子濃度，是溫度的函數，和雜質類型、濃度無關！3、本征半導體在應用上的限制⑴純度達不到如果要求本征激發是載流子的主要來源，在室溫下雜質原子全部電離。即：雜質原子/總原子＜＜本征載流子/總原子Si：原子密度1023/cm3，在表中可查到：室溫時，ni=1010/cm3本征載流子/總原子=1010/1023=10-13大于雜質原子/總原子Si的純度必須高于99.9999999999999%不可能！⑵本征載流子濃度隨溫度變化很大，隨溫度升高而迅速增加，強烈的溫度相關性在室溫附近：Si:T↑，8Kni↑

一倍Ge:T↑，12Kni↑

一倍有意摻雜的半導體才是材料的主體例題1、已知硅在常溫下的NC=2.8×1019cm-3,Nv=1.2×1019cm-3,Eg=1.12ev,試計算si半導體在常溫下本征載流子濃度2、若兩塊Si樣品中常溫下的電子濃度分別為2.25×1010cm-3和6.8×1016cm-3，試分別求出其中的空穴的濃度，并判斷樣品的導電類型§3.4雜質半導體的載流子濃度一、雜質能級上的電子和空穴雜質能級

最多只能容納一個某個自旋方向的電子。在雜質半導體的未電離的施主雜質或已電離的受主雜質的雜質能級上被電子所占據。但雜質能級上的電子占據幾率不能用費米分布函數來分析研究，能帶中的能級可以容納自旋相反的兩個電子，而對于雜質能級有：可以嚴格證明，雜質能級上電子占據的幾率為：電子占據施主能級ED的幾率:空穴占據受主能級EA的幾率:對于Si、Ge中摻入Ⅴ

族雜質，四個價電子束縛在共價鍵上，第五個價電子可以取任意一方向的自旋，即二度自旋簡并，故gD=2。但對于價帶，gA=4，同時，實驗已證明，Ge中Ⅲ族雜質所引起的受主能級情況的確取gA=4。在本課程中，為了便于討論，簡度取2，即簡并因子為1/2.若施主濃度和受主濃度分別為ND、NA(雜質的量子態密度），所以施主能級上的電子濃度nD為：—

即未電離的施主濃度所以，電離的施主濃度nD+為：同理，沒有電離的受主濃度pA為：電離的受主濃度pA-為：

結論分析：雜質能級和費米能級的相對位置反映了電子和空穴占據雜質能級的情況?！馝D－EF＞＞kTnD→0，nD+→ND，施主幾乎全電離費米能級遠在雜質能級之下EcEvEFEDN型雜質半導體●EF=ED費米能級和雜質能級重合施主雜質有1/3電離●EF－ED＞＞kTnD→ND，nD+

→0，施主幾乎都未電離費米能級遠在雜質能級之上EcEvEFEDN型雜質半導體所以，相對于雜質能級ED

，費米能級EF低時，施主全電離；EF高時，施主未電離.受主相反，EF低時，受主未電離；EF高時，受主全電離。EF→雜質的電離→導帶電子或價帶空穴內在聯系如何定量計算雜質半導體的載流子濃度？二、雜質半導體載流子濃度和費米能級在雜質半導體中的帶電粒子四種，即：電子、空穴、電離的施主和電離的受主在半導體體內應保持電中性，由此可得：no+pA-=po+nD+→（6）假設只含一種施主雜質。在熱平衡條件下，半導體是電中性的：1、n型半導體的載流子濃度n0=p0+nD+（7）關鍵是求費米能EF

上式解析求費米能是困難的。當溫度從高到低變化時，對不同溫度還可將此式進一步簡化。Note:

雜質電離在低溫下就不可忽略，在室溫時，幾乎全部電離達到飽和；而本征激發在室溫下，一般還比較弱，但隨溫度升高而迅速增大！1、雜質電離區，多子幾乎完全是由雜質電離提供；2、過渡區，本征激發不可忽視，數量級上與雜質相當；3、本征激發區，本征激發所產生的載流子至少比雜質電離要高一個數量級。推導定量公式根據溫度變化，把溫度分為三個區域：（1）、雜質電離區特征：本征激發可以忽略，p0≌0,

導帶電子主要由電離雜質提供。三個溫區（a）低溫弱電離區：很少量施主雜質電離，本征激發可以忽略，即導帶中的電子全部由電離施主雜質提供。所以根據電中性條件（9）式得到：電中性條件

n0=p0+nD+

可近似為

n0=nD+（9）本征激發提供

特征：nD+《ND，弱電離，少量施主雜質電離ED在EF

上，但很接近低溫弱電離區的費米能級，與溫度、雜質濃度以及雜質原子的種類有關。所以，低溫時，費米能級位于導帶底和施主能級的中線處。EcEiETNc=0.11ND把費米能公式（12）對溫度求微商：N型半導體在低溫電離時，費米能級隨溫度變化。在Nc=0.11ND，有一個極大值。雜質含量越高，費米能達到極大值的溫度也越高！得到低溫弱電離區的載流子濃度為：電離能結果分析:2、由于，所以在溫度很低時，載流子濃度隨溫度升高，no

呈指數上升。1、在溫度很低時，3、為一條直線，可求出雜質電離能△ED

。實際的應用雜質能級位置(b)中間弱電離區：本征激發仍略去，隨著溫度T的增加，nD+已足夠大，故直接求解方程（8）求費米能很繁瑣，用得不多！在中間電離區，溫度繼續升高時，但2NC＞ND結果定性討論：式（12）的第二項為負值，這時EF

下降到(EC+ED)/2以下，但溫度升高到，使得EF=ED則：施主雜質有1/3電離由式（8）得：EcEvEFEDN型雜質半導體中間電離區特征：雜質基本全電離

nD+≌ND

電中性條件簡化為

n0=ND

（18）（c）強電離區（飽和電離）：這時，在一般的摻雜濃度下，NC＞ND上式第二項為負值溫度一定時，

ND越大，EF

就越向導帶方向靠近。ND一定時，溫度越高，費米能級減低，向本征費米能級Ei

方向靠近。注：強電離與弱電離的區分：把求得的費米能式EF（19）代入上式得：求出未電離濃度：定義：所以：：為（1－離化率）是10％可認為施主雜質全部電離①當溫度升高時、D-小，電離程度增強②當ND當減小，D-小，電離程度增強③當△ED減小，D-小，電離程度增強Eg.

摻P的n型硅，室溫時：可由式：全部電離時雜質濃度上限等于：硅的本征載流子濃度為：所以，室溫時，P的摻雜范圍1、對于某n型半導體，試證明其費米能級在其本征半導體的費米能級之上。即EFn>EFi證明：設nn為n型半導體的電子濃度，ni為本征半導體的電子濃度。顯然

nn>ni2、兩塊半導體Si室溫下電子濃度分布為，（NC=3*1019cm-3，NV=1*1019cm-3，ni=1010cm-3，ln3000＝8,）則（1）、計算半導體的空穴濃度（2）、畫出半導體的能帶圖（3）、計算出半導體的費米能級的位置（要求n型半導體求EC－EF）

(2)、過渡區：特征：（1）雜質全電離

nD+=ND

（2）本征激發不能忽略電中性條件：

n0=ND+p0處于飽和區和完全本征激發之間，導帶的電子有本征激發的貢獻，同時價帶中有一定量的空穴?！?/p>

本征激發時：∵

no

＝po＝ni

及EF=Ei

，∴

同理可得：∴

代入由電中性條件式（22）可得：所以，T一定時，材料的本征載流子濃度ni和雜質濃度ND

已知，可算得（EF-Ei

）。當ND/(2ni)很小時，EF接近Ei

半導體接近本征激發。當ND/(2ni)增大，向飽和電離區接近。解上面方程（22）和（23），消去其中，的有一根無用結果