第十三章能量法§13–1概述§13–2應變能桿件應變能計算§13–4互等定理§13–3應變能的普遍表達式§13–5虛功原理§13–6單位荷載法莫爾積分§13–7莫爾積分的圖乘法§13–1概述一、能量原理彈性體內部所貯存的變形能，在數值上等于外力所作的功：利用能量原理計算變形固體響應的方法稱為能量方法。三、重要性1．原理清晰，方法統一；2．適用于線彈性、非線性等多類問題；3．可求解靜定與超靜定問題二、能量法一、桿件應變能的計算1.拉壓桿的應變能§13–2應變能的計算應變能密度：基本公式：若內力是x的函數：2.扭轉軸的應變能應變能密度基本公式：若T是x的函數：3.彎曲梁的應變能對細長梁，剪力引起的變形能與彎矩引起的變形能相比很小，通常可忽略不計。純彎曲梁段內各截面彎矩M相等，為常數。基本公式：若彎矩是x的函數，則一、桿件應變能-基本公式總結§13–2應變能的計算彎曲梁：拉壓桿：扭轉軸：基本桿件的變形能計算公式應用-1內力方程和內力圖：應變能：如圖所示，長為l的桿件，受均布拉伸載荷q作用，已知橫截面性質EA，求桿件的應變能。xqlqx軸從右到左基本桿件的變形能計算公式應用-2彎矩方程和彎矩圖分別為：應變能：P如圖所示，桿長為l的懸臂梁，右端受集中力P作用，已知橫截面性質EI，求梁的應變能。xMPlx軸從右到左4．廣義力和廣義位移1）廣義力泛指力與力矩3）線彈性情況下，廣義力與廣義位移成線性關系2）廣義位移是與廣義力所對應的位移，如力產生線位移，力矩產生轉角4．廣義力和廣義位移線彈性材料的變形能—三類基本桿件統一表示：非線性彈性材料的變形能：構件的應變能：F1F2F3§13–3應變能的普遍表達式1.克拉貝依隆原理等比例加載，引進參數β

(0～1)，則加載過程中廣義外力的中間值對應的廣義位移中間值廣義力的增量

線彈性體

無剛體位移

廣義力

F1,,Fn

對應廣義位移

1,,

n

廣義位移的增量克拉貝依隆原理：線彈性體應變能等于每一廣義外力與其產生廣義位移乘積二分之一的總和。外力在位移增量上做的功為外力總功由于：應變能唯一，且與加載次序無關，

所以：彈性體中的應變能一般表達式為：依據以上原理，

對于受組合變形的桿件而言，應變能的普遍表達式為：注：

1)上式中忽略了剪切變形能；

2)

扭轉部分為圓截面桿件；

§13–5互等定理δ1111Fδ12δ2222F1、功的互等定理引起的位移上做功在21FF應變能為§13–5互等定理若先施加F2再施加F1，則根據應變能與加載次序無關，有功的互等定理2、位移互等定理由功的互等定理可得F1作用點沿其方向因F2引起的位移，等于F2作用點沿F2方向因F1而引起的位移，就稱為位移互等定理F1F2說明：1)

位移應理解為廣義位移；

2)

功的互等定理和位移互等定理只對線彈性材料和結構成立。§13–6虛功原理1實功與虛功實功是力在自身引起的位移上做的功；虛功是力在因其它因素（如溫度或其它外力）所引起的位移上做的功。2彈性體虛位移結構某點處滿足其約束條件（邊界條件和連續條件）時所發生的微小位移。外力虛功，符號：δWe；內力虛功，符號：δWi；微小位移小變形3變形體的虛功原理：若變形體有滿足變形協調及約束允許的虛位移，則滿足靜力平衡條件的任一力系在該變形體的虛位移上所作的總外力虛功等于總內力虛功（虛應變能），即變形體平衡的充要條件：對于任意的虛位移，外力虛功等于變形體積蓄的虛應變能(即內力虛功）。§13–7單位荷載（力）法莫爾積分1、單位荷載法原理求任意點沿某一方向的廣義位移ΔF1F2q(x)Δ由單位載荷引起的內力，看做“實內力”

原外載荷引起的位移，看做虛位移由虛位移原理：在該點此方向施加單位載荷（廣義）單位荷載法的計算位移公式F=1若材料為線彈性，由桿系結構的線彈性變形公式：非線性彈性材料可用單位荷載法的莫爾積分計算位移公式式中：加一杠的內力是單位載荷引起的內力；

未加杠的內力是原外載荷引起的內力。單位荷載法的莫爾積分計算位移公式2、說明1）實際問題中幾種內力不一定同時出現，且以彎曲為主的構件常忽略軸力和剪力的影響。2）單位載荷是廣義力即（集中力、集中力偶等）。3）用單位荷載法求位移結果為正時，表示位移的真實方向與所加單位力方向相同；結果為負時，表示所求的位移與所加的單位力的方向相反。4）同一積分號內的內力坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立。例1用單位力法求C點的水平位移。（EI、EA已知）3

積分解：1加單位載荷2求內力方程bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CBFx2AFFaB例2

用單位力法求C點的撓度和轉角。等截面直梁（EI已知）。解：1在要求位移處加單位力2分別求外載和單位力作用下的內力方程：aaACBF=1xxqaaACB例2

用單位力法求C點的撓度和轉角。等截面直梁（EI已知）。3單位力法求位移aaACBF=1xxqaaACB4求轉角加單位力偶并重建坐標系，寫內力方程x1x2qaaACBM=1aaACB例3已知:

P,l,a,E,I1,I2,

不計軸力和剪力的影響。求：A點垂直位移y及B截面的轉角B

。解：1實際載荷的彎矩

AB段laCEI2BAEI1x1x2P

BC段1實際載荷的彎矩

AB段在A點加y方向單位力

BC段2求y

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式

AB段

BC段在B點加單位力偶矩2求B

CBAx1x21單位載荷的彎矩AB段BC段代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式

AB段

BC段CBAx1x21負號表示與所畫方向相反§10-8圖形互乘法應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計算積分外載作用下的彎矩方程單位載荷作用下的彎矩方程l1圖乘法：莫爾積分的圖形計算方法2計算公式：Mxxy積分因單位力為集中力，產生的彎矩圖為一斜直線，有——M(x)圖對y軸的靜矩M(x)圖形心

：M(x)圖面積xCOCxdxxM(x)3圖乘法計算公式及說明說明:1)2)彎矩乘積正負規定，單位載荷彎矩圖與實際載荷彎矩圖在坐標同側，則結果應為正，異側為負。莫爾積分——可用原載荷彎矩圖的面積與該圖形形心位置所對應的單位載荷(直線)的彎矩圖的幅度之積代替。—M(x)圖面積；—M(x)圖形心對應的

值。常見圖形面積和形心三角形常見圖形面積和形心（續）開口向下拋物線常見圖形面積和形心（續）開口向上拋物線例1：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度。CBlAPPlM1l例1用圖乘法求C點的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABCax1Fx2ABCx1F=1CB段：純彎曲CBFFaM(x)a例1用圖乘法求C點的水平位移。（EI、EA已知）bx2ABF=1AB段：壓縮+彎曲x2AFFaBFa=aFaM(x)a1F例2

用圖乘法求C點的撓度和轉角。等截面直梁（EI已知）。解：1.畫彎矩圖aaACBF=1xxqaaACBqaqaqa2/21/21/2a/2例2

圖乘法求C點的撓度和轉角。梁為等截面直梁（EI已知）。2.圖乘公式qa2/2a/24求轉角加單位力偶,畫彎矩圖qaaACBM=1aaACBqa2/21/21/2習題補充練習圖示剛架，已知兩桿E=200GPa，I=3000cm。試用圖乘法求D截面處的水平位移和轉角。P=10kN，l=1m。4解：1）求D處水平位移，在D處加單位力，并分別作出單位力和原載荷對應的彎矩圖，如圖（b）、（c)，再圖乘：Pll2l2PABCD(a)12l(b)2PlP2P(c)例3用單位力法求BD兩點的相對位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=13變形解：1加單位力2求內力（如圖所示）000-F1例3

已知:

q,a,l,

EI為常數。求：xC

及C

，軸力及剪力不計。解：用圖乘法

外載荷的彎矩圖laCBAqCBAMPC2C112

面積

外載荷的彎矩圖CBAMPC2C112

面積

1）求xC

單位載荷的彎矩圖CBA1lCBAMPC2C112

2）求C

單位載荷的彎矩圖CBA111CBAMPC2C112

正負號問題CBA