風險厭惡

熊和平

2012年秋季一、風險厭惡的定義風險厭惡有多種定義方法，這里利用效用函數定義——給定財富水平和效用函數，定義風險厭惡。如下述定義：定義：如果投資者不喜歡任何零均值（即公平博弈）彩票，則稱其為風險厭惡者。效用函數的凸凹性與風險態度緊密相連定義:凹性Afunctionf:R→Risconcaveiff:px+(1-p)yf(EX)Ef(X)xy凹函數的定義定義：稱函數

f:R→R為凹函數當且僅當風險厭惡與凸凹性有關，如果效用函數為凹的則風險厭惡；反之凸效用函數為風險喜好；直線為風險中性。定理：如果凸的連續偏好表示為上述的期望效用函數，那么相應的效用函數是凹的風險厭惡的定義基于公平博弈的定義：定義：記為一個不確定的支付。如果，則稱為一個公平博弈。風險厭惡：稱效用函數的參與者是（嚴格）風險厭惡的，如果定理：當且僅當u(.)是（嚴格）凹函數時，參與者是（嚴格）風險厭惡的。Anagentisrisk-averseifhedislikesallzero-meanriskatallwealthlevels(Gollier2001)

zero-meanrisk=fairgamble基于效用函數的定義：風險態度的定義：若對于風險投資投資者滿足：風險厭惡風險偏愛風險中性RiskaversionAnagentisrisk-averseifandonlyifhisutilityfunctionisconcave,i.e.,iffu′′isnegative.Example:u(w)=ln(w).Jenseninequality例子：

100元（概率為3/4）

L-40元（概率為1/4）

E(L)=100×3/4+(-40)×1/4=65元選L而不是65元E(u(L))>u(E(L))

選65而不是LE(u(L))<u(E(L))

對兩者的態度相同

E(u(L))=u(E(L))二、風險厭惡的度量通常我們假設所有經濟人為風險厭惡者，接下來我們希望知道如何量化風險厭惡，從而能夠比較不同參與者或同一參與者在不同情況時的風險厭惡程度。風險態度的圖象：

u(.)

風險厭惡

風險中性

風險偏愛

W風險厭惡的度量：圖形分析v(x0)v(x1)v-1(E{v(x)})E{v(x)}E{x}x0x1xv(x)風險厭惡及其度量：

兩種風險厭惡的度量方法;

Markowtz度量—風險溢價

確定性等價（certaintyequivalent)

風險溢價（riskpremium)

具體地：Arrow-Pratt度量：Arrow-Pratt度量：風險容忍系數（absoluterisktolerance)兩種方法的比較：例子（Copeland）：某人具有對數效用函數，初始財富為$20,000面臨兩種風險決策：（1）

50%$10A50%-$10(2)80%-$1,000B20%-$10,000Arrow-Pratt度量Markowtz度量

請問你有何結論？回到王江教材絕對風險厭惡：

確定性等價：一個參與者與一個公平博弈所要求的風險溢價，定義為：

在小風險博弈下泰勒展開得到絕對風險厭惡：

相對風險厭惡：考慮如下以總財富為基數的博弈和風險溢價：這里，博弈的盈虧為，與總財富成比例展開得風險厭惡的例子線性或風險中性效用：負指數效用函數：平方效用函數：冪指數效用函數：風險厭惡的比較：定義：稱u1

比

u2

更加厭惡風險若在任何財富水平下前者不喜歡（dislikes）所有后者覺得無差異的彩票:

foranyX,w0:Eu2(w0+X)=u2(w0)

Eu1(w0+X)≤

u1(w0).NSC:三、風險厭惡的比較Moreriskaversion主要結論定理：下面的命題是等價的：1、2、是凹的；3、使得4、對所有的w和公平博弈成立遞減的絕對風險厭惡【Decreasingabsoluteriskaversion(DARA)】Itiswidelyacceptedthatpisadecreasingfunctionofw0.ThisistrueifandonlyifA(w0)isdecreasinginw0.DARAisequivalentto:其他概念絕對風險厭惡遞增（IARA）相對風險厭惡遞減(DRRA)相對風險厭惡遞增(IRRA)四、典型的效用函數(靜態)CARA:u(z)=-exp(-Az);A(z)=ACRRA:u(z)=z1-g/1-g;A(z)=g/zLN:u(z)=ln(z)A(z)=1/zQuad:u(z)=cz-0.5z2;A(z)=(c-z)-1TheyallbelongtotheHARAfamily:二次效用函數：CARA或指數效用函數：CRRA效用函數：HARA（hyperbolicabsoluteriskaversion)效用函數：

CRRACARA度量你的風險厭惡程度假定你當前財富為100，面臨50%-50%機會獲得或失去財富的

a%.你愿意支付多少來消除該風險?假定CRRA+estimategfromaboveeq.

EstimationofrelativeRA典型的效用函數(動態)最簡單情形：跨時可加

或跨時依賴：habitformation(見Chan&Kogan，2002）spiritofofcapitalism(Bakshi&Chen1996）遞歸效用[Epstein和Zin（1989、1991）]參考文獻：Machina,M.1987.Choiceunderuncertainty:problemssolvedandunsolved.JournalofEconomicPerspectives1:281-296ChrisStarmer.2000.Developmentsinnon-expectedutilitytheory: