§3．3從模擬濾波器低通原型到各種數(shù)字濾波器的頻率變換（原型變換）

對(duì)于模擬濾波器,已經(jīng)形成了許多成熟的設(shè)計(jì)方案，如巴特沃茲濾波器,切比雪夫?yàn)V波器,考爾濾波器,每種濾波器都有自己的一套準(zhǔn)確的計(jì)算公式，同時(shí)，也已制備了大量歸一化的設(shè)計(jì)表格和曲線，為濾波器的設(shè)計(jì)和計(jì)算提供了許多方便，因此在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中，只要掌握原型變換，就可以通過(guò)歸一化低通原型的參數(shù)，去設(shè)計(jì)各種實(shí)際的低通、高通、帶通或帶阻濾波器。這一套成熟、有效的設(shè)計(jì)方法，也可通過(guò)前面所討論的各種變換應(yīng)用于數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，具體過(guò)程如下：原型變換映射變換

原型變換也可把前兩步合并成一步，直接從模擬低通歸一化原型通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系，完成各類數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)模擬原型模擬低通、高通帶通、帶阻數(shù)字低通、高通帶通、帶阻

一．低通變換通過(guò)模擬原型設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的四個(gè)步驟：1）確定數(shù)字濾波器的性能要求，確定各臨界頻率{ωk}。2）由變換關(guān)系將{ωk}映射到模擬域，得出模擬濾波器的臨界頻率值{Ωk}。3）根據(jù){Ωk}設(shè)計(jì)模擬濾波器的Ha(s)4）把Ha(s)變換成H(z)（數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)）

下面舉例討論應(yīng)用模擬濾波器低通原型，設(shè)計(jì)各種數(shù)字濾波器的基本原理，著重討論雙線性變換法。例1

設(shè)采樣周期,設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃茲LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1khz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。解：a.脈沖響應(yīng)不變法由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的，所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計(jì)Ha(s)。根據(jù)上節(jié)的討論，以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃茲濾波器的傳遞函數(shù)為： 以代替其歸一化頻率，得：

也可以查表得到。由手冊(cè)中查出巴特沃茲多項(xiàng)式的系數(shù)，之后以代替歸一化頻率，即得。將代入，就完成了模擬濾波器的設(shè)計(jì)，但為簡(jiǎn)化運(yùn)算，減小誤差積累，fc數(shù)值放到數(shù)字濾波變換后代入。

為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換，計(jì)算Ha(S)分母多項(xiàng)式的根，將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu)：對(duì)照前面學(xué)過(guò)的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式,有將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：極點(diǎn)并將代入，得：

合并上式后兩項(xiàng)，并將代入，計(jì)算得：

可見，H（Z）與采樣周期T有關(guān)，T越小，H（Z）的相對(duì)增益越大，這是不希望的。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只與有關(guān)，即只與fc和fs的相對(duì)值有關(guān)，而與采樣頻率fs無(wú)直接關(guān)系。例如，與的數(shù)字濾波器具有相同的傳遞函數(shù)，這一結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)。最后得：

b.雙線性變換法（一）首先確定數(shù)字域臨界頻率（二）根據(jù)頻率的非線性關(guān)系，確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將代入上式。（四）將雙線性變換關(guān)系代入，求H(Z)。圖1三階Butterworth數(shù)字濾波器的頻響脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法fs/2頻率/Hz三階巴特沃茲濾波器的頻率響應(yīng)幅度/dB

圖1為兩種設(shè)計(jì)方法所得到的頻響，對(duì)于雙線性變換法，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來(lái)越快，最后在折

疊頻率處形成一個(gè)三階傳輸零點(diǎn),這個(gè)三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在處的三階傳輸零點(diǎn)通過(guò)映射形成的。因此,雙線性變換法使過(guò)渡帶變窄,對(duì)頻率的選擇性改善,而脈沖響應(yīng)不變法存在混淆,且沒有傳輸零點(diǎn)。

二.高通變換 設(shè)計(jì)高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器時(shí)，有兩種方法：

①先設(shè)計(jì)一個(gè)相應(yīng)的高通、帶通或帶阻模擬濾波器，然后通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。模擬原型模擬高通、帶通、帶阻數(shù)字高通、帶通、帶阻 設(shè)計(jì)方法同上面討論的低通濾波器的設(shè)計(jì)。即確定轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的

高通、帶通、帶阻模擬濾波器的設(shè)計(jì)

Ha(s)H(Z)②直接利用模擬濾波器的低通原型，通過(guò)一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)。頻率變換模擬原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻這里只討論第二種方法。因其簡(jiǎn)捷便利，所以得到普遍采用。

變換方法的選用：脈沖響應(yīng)不變法：對(duì)于高通、帶阻等都不能直接采用，或只能在加了保護(hù)濾波器后才可使用。因此，使用直接頻率變換（第二種方法），對(duì)脈沖響應(yīng)不變法要有許多特殊的考慮，它一般應(yīng)用于第一種方法中。雙線性變換法：下面的討論均用此方法，實(shí)際使用中多數(shù)情況也是如此。基于雙線性變換法的高通濾波器設(shè)計(jì)：

在模擬濾波器的高通設(shè)計(jì)中，低通至高通的變換就是S變量的倒置，這一關(guān)系同樣可應(yīng)用于雙線性變換，只要將變換式中的S代之以1/S，就可得到數(shù)字高通濾波器.

即

由于倒數(shù)關(guān)系不改變模擬濾波器的穩(wěn)定性，因此，也不會(huì)影響雙線變換后的穩(wěn)定條件，而且軸仍映射在單位圓上，只是方向顛倒了。如圖即

映射到即映射到即

圖1高通變換頻率關(guān)系

這一曲線的形狀與雙線性變換時(shí)的頻率非線性關(guān)系曲線相對(duì)應(yīng)，只是將坐標(biāo)倒置，因而通過(guò)這一變換后可直接將模擬低通變?yōu)閿?shù)字高通,如圖2。1.01.00

圖2高通原型變換

應(yīng)當(dāng)明確：所謂高通DF，并不是ω高到，由于數(shù)字頻域存在

折疊頻率，對(duì)于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，部分只是的鏡象部分，因此有效的數(shù)字域僅是，高通也僅指這一段的高端，即到為止的部分。高通變換的計(jì)算步驟和低通變換一樣。但在確定模擬原型預(yù)畸的臨界頻率時(shí)，應(yīng)采用,不必加負(fù)號(hào)，因臨界頻率只有大小的意義而無(wú)正負(fù)的意義。例：采樣設(shè)計(jì)一個(gè)三階切比雪夫高通DF，其通過(guò)頻率（但不必考慮以上的頻率分量），通帶內(nèi)損耗不大于1dB。

解：首先確定數(shù)字域截止頻率,則切比雪夫低通原型的振幅平方函數(shù)為：為N階切比雪夫多項(xiàng)式通帶損耗時(shí)，N=3時(shí),系統(tǒng)函數(shù)為：為方便，將和S用T/2歸一化，

則于是圖3三階切比雪夫高通頻響例5），確定最小階數(shù)N。模擬切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)中階數(shù)的確定公式為

A2實(shí)際是與阻帶最小衰減有關(guān)的值，1/A2是阻帶內(nèi)最大振幅平方，也就是最小阻帶衰減，如以分貝值表示這一衰減量，則 ，e是以分貝計(jì)的阻帶衰減

今最小阻帶衰減為e=19dB，故將

一起代入上式，即求得最小的N。

例5

設(shè)計(jì)一數(shù)字高通濾波器，它的通帶為400～500Hz，通帶內(nèi)容許有0.5dB的波動(dòng)，阻帶內(nèi)衰減在小于317Hz的頻帶內(nèi)至少為19dB，采樣頻率為1,000Hz。

wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));

wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));

[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');

[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');

[num,den]=bilinear(B,A,1000);

[h,w]=freqz(num,den);

f=w/pi*500;

plot(f,20*log10(abs(h)));

axis([0,500,-80,10]);

grid;

xlabel('')

ylabel('幅度/dB')頻率/Hz

切比雪夫高通濾波器幅度/dB三．帶通變換如圖1,如果數(shù)字頻域上帶通的中心頻率為，則帶通變換的目的是將:模擬低通（頻率映射關(guān)系具有周期性,幅頻響應(yīng)具有原點(diǎn)對(duì)稱性）。

即將S的原點(diǎn)映射到，而將點(diǎn)映射到，滿足這一要求的雙線性變換為：

圖1帶通原型變換

當(dāng)時(shí)

因此（帶通變換關(guān)系）

圖中點(diǎn)正好映射在上，而映射在，兩端，因此滿足帶通變換的要求。帶通變換的頻率關(guān)系穩(wěn)定性證明：同時(shí)，這一變換也滿足穩(wěn)定性要求，設(shè)

由于上式完全是實(shí)數(shù)，所以是映射在S平面軸上。其中分子永遠(yuǎn)非負(fù)的，因此的正負(fù)決定于分母由此證明了，S左半平面映射在單位圓內(nèi)，而右半平面映射在單位圓外，這種變換關(guān)系是穩(wěn)定的變換關(guān)系，可用它來(lái)完成帶通的變換，如圖1。設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)帶通時(shí)，一般只給出上、下邊帶的截止頻率作為設(shè)計(jì)要求。為了應(yīng)用以上變換，首先要將上下邊帶參數(shù)換算成中心頻率及模擬低通截止頻率。為此將代入變換關(guān)系式：由于在模擬低通中是一對(duì)鏡象頻率，代入上面兩等式，求出例又同時(shí)也就是模擬低通的截止頻率，有了這兩個(gè)參數(shù)就可完成全部計(jì)算。：采樣fs=400kHz，設(shè)計(jì)一巴特沃茲帶通濾波器，其3dB邊界頻率分別為f2=90kHz,f1=110kHz,在阻帶f3=120kHz處最小衰減大于10dB。解：確定數(shù)字頻域的上下邊帶的角頻率求中心頻率：

求模擬低通的通帶截止頻率與阻帶邊界頻率：

從頻率增加了約1.05倍，衰減增加了（10-3）dB，故選用二階巴特沃茲濾波器可滿足指標(biāo)（查表）歸一化的系統(tǒng)函數(shù)：

代入，

代入變換公式

P88例6帶通濾波器設(shè)計(jì)3dB10dBf2f1f3H(ejω)f

w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400))