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文檔簡介
§3.2常用模擬低通濾波器特性
為了方便學習數字濾波器,先討論幾種常用的模擬低通濾波器設計方法,高通、帶通、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法,由低通濾波器變換得到。
模擬濾波器的設計就是根據一組設計規范設計模擬系統函數Ha(s),使其逼近某個理想濾波器特性。因果系統中式中ha(t)為系統的沖激響應,是實函數。∴
不難看出
定義振幅平方函數
式中Ha(s)—模擬濾波器系統函數
Ha(jΩ)—濾波器的頻率響應
|Ha(jΩ)|—濾波器的幅頻響應又S=jΩ,Ω2=-S2∴A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ問題:由A(-S2)→Ha(S)
對于給定的A(-S2),先在S復平面上標出A(-S2)的極點和零點,由(1)式知,A(-S2)的極點和零點總是“成對出現”,且對稱于S平面的實軸和虛軸,選用A(-S2)的對稱極、零點的任一半作為Ha(s)的極、零點,則可得到Ha(s)。
為了保證Ha(s)的穩定性,應選用A(-S2)在S左半平面的極點作為Ha(s)的極點,零點可選用任一半。例:已知,求對應的Ha(s)。解:這4個極點和2個零點在s平面上的分布如下圖所示。如果按最小相位條件來選取,則應取左半平面上的2個極點和1個零點構成Ha(S),因此N為濾波器階數,如圖1其幅度平方函數:特點:具有通帶內最大平坦的振幅特性,且隨f↗,幅頻特性單調↘。三種模擬低通濾波器的設計:1)巴特沃茲濾波器(Butterworth濾波器)(巴特沃茲逼近)圖1巴特沃茲濾波器振幅平方函數
通帶:使信號通過的頻帶阻帶:抑制噪聲通過的頻帶過渡帶:通帶到阻帶間過渡的頻率范圍
Ωc:通帶邊界頻率。
過渡帶為零,阻帶|H(jΩ)|=0
通帶內幅度|H(jΩ)|=const.,
H(jΩ)的相位是線性的。
理想濾波器圖1中,N增加,通帶和阻帶的近似性越好,過渡帶越陡。通帶內,分母Ω/Ωc<1,(Ω/Ωc)2N《1,A(Ω2)→1。過渡帶和阻帶,Ω/Ωc>1,(Ω/Ωc)2N
》1,Ω增加,A(Ω2)快速減小。Ω=Ωc,,,幅度衰減,相當于3dB衰減點。
振幅平方函數的極點:
令分母為零,得
可見,Butterworth濾波器的振幅平方函數有2N個極點,它們均勻對稱地分布在|S|=Ωc的圓周上。例:為N=3階BF振幅平方函數的極點分布,如圖。圖2三階A(-S2)的極點分布
考慮到系統的穩定性,知DF的系統函數是由S平面左半部分的極點(SP3,SP4,SP5)組成的,它們分別為:
系統函數為:
令,得歸一化的三階BF:
如果要還原的話,則有
2)切比雪夫(chebyshev)濾波器(切比雪夫多項式逼近)
特點:誤差值在規定的頻段上等幅變化。巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的,如果階次一定,則在靠近截止頻率處,幅度下降很多,或者說,為了使通常內的衰減足夠小,需要的階次(N)很高,為了克服這一缺點,采用切比雪夫多項式逼近所希望的。切比雪夫濾波器的在通帶范圍內是等幅起伏的,所以同樣的通帶衰減,其階數較巴特沃茲濾波器要小。可根據需要對通帶內允許的衰減量(波動范圍)提出要求,如要求波動范圍小于1db。
振幅平方函數為—有效通帶截止頻率—與通帶波紋有關的參量,大,波紋大。
0<<1
VN(x)—N階切比雪夫多項式,定義為
如圖1,通帶內變化范圍1~
Ω>Ωc
,隨Ω/Ωc
↗,→0(迅速趨于零)當Ω
=0時,
N為偶數,,min,
N為奇數,,max,
切比雪夫濾波器的振幅平方特性
給定通帶波紋值分貝數后,可求。有關參數的確定:a、通帶截止頻率Ωc
,預先給定
b、通帶波紋為c、階數N—由阻帶的邊界條件確定。(、A事先給定)
3、橢圓濾波器(考爾濾波器)特點:幅值響應在通帶和阻帶內都是等波紋的,對于給定的階數和給定的波紋要求,橢圓濾波器能獲得較其它濾波器更窄的過渡帶寬,就這點而言,橢圓濾波器是最優的。其振幅平方函數為
RN(Ω,L)—雅可比橢圓函數
L—表示波紋性質的參量
N=5,的特性曲線
可見,在歸一化通帶內(-1≤Ω≤1),在(0,1)間振蕩,而超過ΩL后,在
間振蕩。這一特點使濾波器同時在通帶和阻帶具有任意衰減量。
下圖為典型的橢園濾波器振幅平方函數
橢圓濾波器的振幅平方函數
圖中ε和A的定義同切比雪夫濾波器ΩrΩr當Ωc、Ωr、ε和A確定后,階次N的確定方法為:式中為第一類完全橢圓積分
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