第5章全同粒子及二次量子化1§5.1全同粒子量子力學的特征之一是不能區分亞原子范圍內的全同粒子.將一群具有相同質量、相同電荷、相同自旋,且在相同物理條件下具有相同物理行為的粒子稱為全同粒子.2O圖1:在質心系中觀察粒子在O原子核上的散射D1D2(假設能量足夠低!)3O圖1a幾率振幅f()D1D2令f()表示探測器放在角度上粒子散射到其中的幾率振幅:4圖1b幾率振幅eif()OD1D2f()表示粒子散射到

()

角度上其中的幾率振幅,或探測器在角度上探測到O原子的振幅.5若所用探測器既能對粒子也能對O原子做出反應,則在D1中探測到某種粒子的概率=|f()|2+|f()|26如果發生相互作用的是兩個全同粒子,將會如何呢?7首先,這時,a,b兩圖的過程將不能分別;8其次,當我們交換兩個粒子時,我們必須在振幅上乘以某個相位因子ei,而如果把兩個粒子再交換一次,應該回到了第一個過程,故而ei=+1

或1即兩個全同粒子交換前后的振幅要么具有相同的符號,要么具有相反的符號.這兩種情況在自然界確實都存在!9原理5：描寫全同粒子系統的態矢量,對于任意一對粒子的對調,是對稱的或反對稱的.服從前者的粒子稱為玻色子,服從后者的粒子稱為費米子.玻色子:如光子、介子和引力子;費米子:如電子、子、中微子、核子.10圖2:在質心系中觀察粒子對粒子的散射D1D211粒子到達D1的概率=|f()

+f()|2因為,此時(以粒子替代O原子),我們無法再區分圖1a和圖1b,且粒子對于置換是對稱的,故而應為幾率幅相加.He3+He4?復合粒子呢?12圖3:在質心系中觀察電子對電子的散射eeD1D213電子到達D1的概率=|f()

f()|2因為,電子對于置換是反對稱的.14圖4:在質心系中觀察電子對電子的散射eeD1D215ee圖4aD1D2ee16ee圖4bD1D2ee17電子到達D1的概率=|f()|2

+

|f()|2圖418§5.2N個全同粒子的狀態在N個有自旋的粒子體系中,體系的波函數是4N個坐標的函數(3N個空間和N個自旋坐標):(1)19用Pij表示粒子i與粒子j間的置換算符,由于粒子全同,交換使得系統物理狀態不變,即(2)其中,是任意常數因子.20如果對二個粒子再交換一次,則恢復到原有狀態,故而(3)21(3)式意味著可以有兩種粒子體系,對稱波函數:(4)或者反對稱波函數:(5)22交換簡并考慮N個全同粒子,體系的Schrodinger

方程為(6)其中Hi(ri,si)作用于粒子i上.23如果粒子k的本征函數為(rk,sk),即單粒子本征值問題是(7)則(6)式的解是單粒子波函數之積(8)24如果有ni個粒子在態i中,則總能量的本征值為(9)由于粒子不可區分,不能指明某個粒子具體處于何態,故有種由單粒子波函數乘積形成的具有相同能量值E的(8)式.這就是所謂的交換簡并.25對稱波函數與反對稱波函數對于玻色子,對稱波函數由(8)式中全部可能的N!種單粒子波函數變量交換后的和構成,即(10)其中P為對換算符,這里假定單粒子波函數正交.26反對稱波函數最好的表示形式是行列式---Slater行列式---它由N個單粒子波函數組成(11)27§5.3產生和湮滅算符上述有關全同粒子的對稱性假設將不同種類的粒子的態限制為對稱、或者反對稱.這極大地簡化了多粒子態理論,從而允許我們引進一種包含產生和湮滅算符的更簡潔的理論形式,即所謂的二次量子化.這種形式將不限制于固定粒子數的系統,而是將粒子數作為一動力學變量處理.進而,這種理論形式可以較容易的推廣到描述高能情況下粒子的產生和湮滅.28新的理論形式中,態空間(稱之為Fock

空間)的正交基矢包括:真空或無粒子態；單粒子態的完備集,{

:(=1,2,3…)}；雙粒子態的完備集{

}；三粒子態的完備集{

}；……這些完備集皆具有正確的置換對稱性.29在坐標表象中,這些矢量將為:30一、費米子首先,由下列關系定義產生算符:(12)31這些矢量在置換時是反對稱的,因此下面為了方便我們將稱函數x為一軌道,而對于矢量則說被占據,同時其他軌道未被占據.如果軌道未被占據,則表示為:32方程(12)的無窮序列可總結為下述表達式(13)當然如果軌道已被占據,則因此Pauli不相容原理自動得到滿足.于是(14)33產生算符C+由(13)、(14)式而完全被定義,而且其伴隨算符C=(C+)+的性質也可從中推出：從(14)式,我們有(15c)(15a)(15b)34從(15)的三個關系式可以分別得到(16)(17)(18)(17),(18)(18),(16)(17),(18)35若令,從(17)及(18)式我們可以看出C|0與任意基矢正交,故而(19)36另外,由(18)令,可得C與任意軌道被占據的態正交;同時,由(16)C與,除了C=1,任意軌道未被占據的其它態正交.因此(20)37又由(16),(21)若在(17),(18)中(~),則知(22)38因此我們看到C的作用效果是:

如果

軌道被占據,則清空

軌道；如果

軌道未被占據,則結果為零.故而C被稱作湮滅算符.綜上,我們看到產生算符C?增加一個粒子于

軌道(如果它是空的),而湮滅算符從

軌道(如果它被占據)移走一個粒子;否則,結果為零.39算符方程對任意成立(23)(24)1.考慮算符C?

C?,402.考慮算符C?

C?+C?

C?,(25)(26)41考慮算符C

C?+C?

C

:3.若,則當軌道空、或

軌道已被占據,則上述算符作用結果必定為0.因此只需考慮其作用于~形式的態矢情況42若=,則分別考慮軌道被占據或空的情況:43(27)44容易驗證,所有Fock基矢皆為算符C?

C的本征矢,更嚴格地,為其本征值為0(軌道空)、或為1(軌道被占據)的本征矢,因此C?

C的功能相當于軌道的占有數算符;而總粒子數算符是:(28)45基的變換上面已經對一特定的單粒子基函數的集合,C?(對應于函數x)定義了產生和湮滅算符.46現若作一基變換,則需要考慮新的產生和湮滅算符與原有的算符之間的關系.設bj?和bj為相應于基函數fjx的產生和湮滅算符,這里bj?j,fjx=xj.47兩組函數集合{x}和{fjx}都既是完備的又是正交的,于是或等價的48新的產生和湮滅算符當然也必須(25),(26)及(27)式.上述要求經下面的線性變換都將得到滿足:49作為例子,我們考慮如下的一組產生位置本征矢的算符應用上述結果,有50其中x=

x正是原有基函數在坐標表象中的表示,因此這些在空間某點產生和湮滅的新算符被稱之為場算符(fieldoperators).積?(x)(x)稱為數密度算符,而類似于(28)式的總粒子數算符等于51二、玻色子玻色子的Fock空間的基矢構建與費米子有諸多共同之處,只是現在多粒子態須是粒子置換下的對稱態.這意味著軌道的多重占據是可能的了，如可以為三粒子的一對稱態.因此,與在費米子情況中僅需指明被占據軌道相比,在玻色子情況中則還需指明占有度.52如果單粒子基矢由集合{:(=1,2,3…)}組成,則多玻色子態可表示為|n1,n2,n3,…,其中n

.53產生算符可根據下列性質定義:(29)54既然態矢是對稱的,必定有:a?a?=a?

a?

.55利用在有關費米子的論述中相似的方法,可以知道,a=(a?)?

的作用相當于一湮滅算符,并有下述性質:(30)56類似地,定義軌道的數算符為a?

a

,因此,由關系(31)(32)57現在方程(29)中的正比因子可以確定如下,首先(33)作用以a并注意到(32)式,我們得再作用以a?

得(34)58另一方面上一方程的左邊還可表示為:(35)比較(34)與(35),得59因此最終有(36)60從(32)、(36)我們導出以下對易關系(37)前已述及的另一關系式為(38)61與(25)、(26)及(27)式比較,我們看到費米子的產生、湮滅算符滿足反對易關系,而玻色子的相應算符滿足對易關系.62§5.4算符的二次量子化形式對于玻色子和費米子來說,用產生算符、湮滅算符表示動力學變量的形式在本質上是相同的,這里采用費米子來引入這一形式,因為它的反對易關系需要更加注意+、號.63n個全同粒子系統的力學量有幾種類型,一種可以寫成n個單體力學量Ri之和,如:動量動能外勢一般的(39)64另一種類型可以寫成n(n1)個雙體力學量之和,如一對粒子的相互作用勢能(xi,xj)等.當然更復雜的還有三體力學量,等.65上述的單體可相加算符可以利用產生、湮滅算符表示為(40)它的優點是無需涉及虛擬的粒子下標,也不依賴于粒子數.66下面證明(39)、(40)之間的等價性,這可通過它們對于任意一對n-體態矢具有相同矩陣元而得證:67首先,我們證明(40)對于基矢的變換不變,比如考慮另一基矢表示的相似的算符為利用前述基變換的相關結果我們得68既然(40)不依賴于基,則我們就可選擇任意方便的基來證明(39)、(40)之間的等價性.這里我們選擇新的基函數{|fk},它使得單粒子算符R1對角化:R1|fk=rk|fk,從而得在這個基中,算符R的對角矩陣元等于k(rknk),這里nk為軌道fk

的占有數,而非對角矩陣元為0.這顯然與(39)的矩陣元相一致(假定粒子數確定knk=n)69下一個須要考慮的動力學變量形如:(41)70上述算符