2.3拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).FM.－－拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程1、拋物線的定義：一、溫故知新標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

焦點(diǎn)

準(zhǔn)線xyoF..xyFo.yxoF.xoyF2、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?對(duì)稱性2、關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)

也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，頂點(diǎn)3、

定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)不同。4、開(kāi)口方向P(x,y)拋物線y2=2px（p>0）的開(kāi)口方向向右。+X，x軸正半軸，向右-X，x軸負(fù)半軸，向左+y，y軸正半軸，向上-y，y軸負(fù)半軸，向下離心率5、P(x,y)

拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。

由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.xyOFABy2=2px2p過(guò)焦點(diǎn)而垂直于對(duì)稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑6、2p越大，拋物線張口越大.思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑7、xyOFP方程圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦半徑

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于x軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱

關(guān)于y軸對(duì)稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）分析:直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種情形：一種是直線平行于拋物線的對(duì)稱軸；另一種是直線與拋物線相切．例1已知拋物線的方程為y2=4x

,直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1),斜率為k

,k為何值時(shí),直線與拋物線y2=4x:⑴只有一個(gè)公共點(diǎn);⑵有兩個(gè)公共點(diǎn);⑶沒(méi)有公共點(diǎn)?分析:直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)△>0分析:直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)△<0注:在方程中,二次項(xiàng)系數(shù)含有k,所以要對(duì)k進(jìn)行討論作圖要點(diǎn):畫(huà)出直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情形,觀察直線繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的情形132過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)過(guò)點(diǎn)1過(guò)點(diǎn)2過(guò)點(diǎn)33條2條1條xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法二:由題意可知,ABFA1B1H

ABFA1B1H同理

lFAxyBB1pp1A1通徑就是過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的線段長(zhǎng)為2p即為的最小值A(chǔ)xyOBF2F1AxyOBF2F1(2)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)做傾斜角為的直線L,設(shè)L交拋物線于A,B兩點(diǎn),(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.例2、(1)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為

.思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？FAxyBFFyOxBA例6、過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸.xOyFABD2、已知拋物線y=x2,動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值.1、在拋物線y2=64x上求一點(diǎn)，使它到直線Ｌ：4x+3y+46=0的距離最短，并求此距離.3、已知拋物線y2=2x,過(guò)Q(2,1)作直線于拋物線交于A、B，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.探照燈、汽車(chē)前燈的反光曲面，手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)灶的鏡面都是拋物鏡面。拋物鏡面：拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面。燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置上，通過(guò)鏡面反射就變成了平行光束，這就是探照燈、汽車(chē)前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理。平行光線射到拋物鏡面上，經(jīng)鏡面反射后，反射光線都經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，這就是太陽(yáng)灶能把光能轉(zhuǎn)化為熱能的理論依據(jù)。例2：探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處。已知燈口圓的直徑為60cm，燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)位置。xyO(40,30)解:所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使反射鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,x軸垂直于燈口直徑.在探照燈的軸截面設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=2px由條件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y2=x,焦點(diǎn)為(,0)24l例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.水下降1米后，水面寬多少？xoAy若在水面上有一寬為2米,高為1.6米的船只，能否安全通過(guò)拱橋？思考題2BA（2,－2）x2=－2yB（1，y）y=－0.5B到水面的距離為1.5米不能安全通過(guò)y=－3代入得例題3歸納:

(1)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),它也可以無(wú)限延伸

(2)拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;(3)拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn),一條準(zhǔn)線；

(4)拋物線的離心率e是確定的為１,⑸拋物線的通徑為2P,2p越大,拋物線的張口越大.

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析

（1）已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則P

=

。

（2）拋物線的弦AB垂直x軸，若|AB|=，則焦點(diǎn)到AB的距離為

。42（3）已知直線x-y=2與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是

。

四、課堂練習(xí)5.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，若P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則|PA|+|PF|的最小值為()(A)3(B)4(C)5(D)6

4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)在直線x-2y-4=0上.(2)焦點(diǎn)在軸x上且截直線2x-y+1=0所得的弦長(zhǎng)為6、已知Q(4,0)，P為拋物線上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.B.