第35頁鞍山市2023初三年級數學上冊期中試卷(含答案解析)鞍山市2023初三年級數學上冊期中試卷(含答案解析)一、選擇題〔共8小題，每題3分，總分值24分〕1．關于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個不相等的實數根，那么實數m的取值范圍為〔〕A．B．C．D．2．某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是〔〕A．100〔1+x〕2=81B．100〔1﹣x〕2=81C．100〔1﹣x%〕2=81D．100x2=813．小剛用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個如下圖的圓錐形小丑帽子側面〔接縫忽略不計〕，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是〔〕A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm24．將二次函數y=2x2﹣8x﹣1化成y=a〔x﹣h〕2+k的形式，結果為〔〕A．y=2〔x﹣2〕2﹣1B．y=2〔x﹣4〕2+32C．y=2〔x﹣2〕2﹣9D．y=2〔x﹣4〕2﹣335．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯結BC，假設∠A=36°，那么∠C等于〔〕A．36°B．54°C．60°D．27°6．如圖，EF是⊙O的直徑，CD交⊙O于M、N，H為MN的中點，EC⊥CD于點C，FD⊥CD于點D，那么以下結論錯誤的選項是〔〕A．CM=DNB．CH=HDC．OH⊥CDD．=7．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖．那么以下5個代數式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的個數為〔〕A．2B．3C．4D．58．如圖，在等邊△ABC中，BC=6，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折后，點A落在點A′處．連結AA′并延長，交DE于點M，交BC于點N．如果點A′為MN的中點，那么△ADE的面積為〔〕A．B．3C．6D．9二、填空題〔共8小題，每題3分，總分值24分〕9．如果反比例函數的圖象經過點〔1，﹣2〕，那么這個函數的解析式是．10．假設關于x的方程ax2﹣4x+3=0有兩個相等的實數根，那么常數a的值是．11．△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC=2cm2，那么S△DEF=cm2．12．如果將拋物線y=x2﹣3向左平移2個單位，再向上平移3個單位，那么平移后的拋物線表達式是．13．如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，那么EF：FC等于．14．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是〔﹣2，1〕，點C的縱坐標是4，那么B點的坐標為．15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個公共點，那么半徑r的取值范圍是．16．如圖，點A，B的坐標分別為〔1，4〕和〔4，4〕，拋物線y=a〔x﹣m〕2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點〔C在D的左側〕，點C的橫坐標最小值為﹣3，那么點D的橫坐標最大值為．三、解答題〔共2小題，總分值16分〕17．解方程：x2﹣5x﹣6=0．18．假設α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根，求α2+β2的值．四、〔每題10分，共20分〕19．〔10分〕〔2023?衢州〕如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′．〔1〕在正方形網格中，畫出△AB′C′；〔2〕計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積．20．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，〔1〕求證：三角形ADC為等腰三角形；〔2〕求AC的長．21．〔10分〕〔2023?南充〕如圖，一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=的圖象相交于點A〔2，5〕和點B，與y軸相交于點C〔0，7〕．〔1〕求這兩個函數的解析式；〔2〕當x取何值時，y1＜y2．22．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕今年，9月8日為中秋節，在中秋節前期，三位同學到某超市調研一種進價每個為2元的月餅的銷售情況，請根據小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題．23．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，AB是⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，切線GD與AB延長線交于點E．〔1〕求證：∠C+∠EDF=90°〔2〕：AG=6，⊙O的半徑為3，求OF的值．24．〔10分〕〔2023?北京一模〕定義：如果一個y與x的函數圖象經過平移后能與某反比例函數的圖象重合，那么稱這個函數是y與x的“反比例平移函數〞．例如：y=+1的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y=的圖象，那么y=+1是y與x的“反比例平移函數〞．〔1〕假設矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加x〔cm〕、y〔cm〕后，得到的新矩形的面積為8cm2，求y與x的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數〞．〔2〕如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為〔9，0〕、〔0，3〕．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數〞y=的圖象經過B、E兩點．那么這個“反比例平移函數〞的表達式為；這個“反比例平移函數〞的圖象經過適當的變換與某一個反比例函數的圖象重合，請寫出這個反比例函數的表達式．〔3〕在〔2〕的條件下，過線段BE中點的一條直線l交這個“反比例平移函數〞圖象于P、Q兩點〔P在Q的右側〕，假設B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．25．〔12分〕〔2023秋?鞍山期末〕在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B為圓心，BA為半徑作⊙B交BC于點D，旋轉∠ABD交⊙B于點E、F．連接EF交AC、BC邊于點G、H．〔1〕假設BE⊥AC，求證：CG?BH=AB?CH；〔2〕假設AG=4，求△BEF與△ABC重疊局部的面積；〔3〕△BHE是等腰三角形時的旋轉角的度數．八、〔此題14分〕26．〔14分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣x﹣10與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t〔單位：秒〕．〔1〕求OACB的面積．〔2〕當t為何值時，四邊形ACQP為平行四邊形？請寫出計算過程；〔3〕當0＜t＜時，△PQF的面積是否總為定值？假設是，求出此定值，假設不是，請說明理由；〔4〕當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．鞍山市2023初三年級數學上冊期中試卷(含答案解析)參考答案與試題解析一、選擇題〔共8小題，每題3分，總分值24分〕1．關于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有兩個不相等的實數根，那么實數m的取值范圍為〔〕A．B．C．D．考點：根的判別式．專題：判別式法．分析：先根據判別式的意義得到△=〔﹣3〕2﹣4m＞0，然后解不等式即可．解答：解：根據題意得△=〔﹣3〕2﹣4m＞0，解得m＜．應選：B．點評：此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．2．某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是〔〕A．100〔1+x〕2=81B．100〔1﹣x〕2=81C．100〔1﹣x%〕2=81D．100x2=81考點：由實際問題抽象出一元二次方程．專題：增長率問題．分析：假設兩次降價的百分率均是x，那么第一次降價后價格為100〔1﹣x〕元，第二次降價后價格為100〔1﹣x〕〔1﹣x〕=100〔1﹣x〕2元，根據題意找出等量關系：第二次降價后的價格=81元，由此等量關系列出方程即可．解答：解：設兩次降價的百分率均是x，由題意得：x滿足方程為100〔1﹣x〕2=81．應選：B．點評：此題主要考查列一元二次方程，關鍵在于讀清楚題意，找出適宜的等量關系列出方程．3．小剛用一張半徑為24cm的扇形紙板做一個如下圖的圓錐形小丑帽子側面〔接縫忽略不計〕，如果做成的圓錐形小丑帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是〔〕A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm2考點：扇形面積的計算．專題：壓軸題．分析：從圖中可以看出小帽的底面圓周長就扇形的弧長，根據此求出扇形的面積．解答：解：根據圓的周長公式得：圓的底面周長=20π．圓的底面周長即是扇形的弧長，∴扇形面積===240πcm2．應選：B．點評：此題主要考查了扇形的面積公式．即S=．4．將二次函數y=2x2﹣8x﹣1化成y=a〔x﹣h〕2+k的形式，結果為〔〕A．y=2〔x﹣2〕2﹣1B．y=2〔x﹣4〕2+32C．y=2〔x﹣2〕2﹣9D．y=2〔x﹣4〕2﹣33考點：二次函數的三種形式．分析：利用配方法整理即可得解．解答：解：y=2x2﹣8x﹣1，=2〔x2﹣4x+4〕﹣8﹣1，=2〔x﹣2〕2﹣9，即y=2〔x﹣2〕2﹣9．應選C．點評：此題考查了二次函數的三種形式，熟練掌握配方法的操作是解題的關鍵．5．如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，聯結BC，假設∠A=36°，那么∠C等于〔〕A．36°B．54°C．60°D．27°考點：切線的性質．分析：根據題目條件易求∠BOA，根據圓周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．解答：∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90°，∵∠A=36°，∴∠BOA=54°，∴由圓周角定理得：∠C=∠BOA=27°，應選D．點評：此題考查了三角形內角和定理，切線的性質，圓周角定理的應用，關鍵是求出∠BOA度數．6．如圖，EF是⊙O的直徑，CD交⊙O于M、N，H為MN的中點，EC⊥CD于點C，FD⊥CD于點D，那么以下結論錯誤的選項是〔〕A．CM=DNB．CH=HDC．OH⊥CDD．=考點：垂徑定理；梯形中位線定理．分析：根據垂徑定理的推論以及梯形的中位線定理，可判斷A、B、C正確，再由排除法可知D錯誤．解答：解：∵H為MN的中點，∴OH⊥CD，故C正確；∵EC⊥CD于點C，FD⊥CD于點D，∴EC∥OH∥FD，又∵EF是⊙O的直徑，OE=OF，∴CH=HD，故B正確；∵CH=HD，H為MN的中點，∴CM=DN，故A正確；由排除法可知D錯誤，應選：D．點評：此題主要考查了垂徑定理的推論以及梯形的中位線定理，熟練掌握定理及推論是解題的關鍵．7．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖．那么以下5個代數式：ac，a+b+c，4a﹣2b+c，2a+b，2a﹣b中，其值大于0的個數為〔〕A．2B．3C．4D．5考點：二次函數圖象與系數的關系．專題：壓軸題．分析：由開口向下知道a＜0，由與y軸交于負半軸得到c＜0，然后即可判斷ac的符號；由當x=1時，y＞0，即可判斷a+b+c的符號；由當x=﹣2時，y＜0，即可判斷4a﹣2b+c的符號；由開口向下知道a＜0，由﹣＜1可以推出2a+b＜0；由開口向下知道a＜0，﹣＞0可以推出2a與b的符號，即可確定2a﹣b的符號．解答：解：①∵開口向下，∴a＜0，∵與y軸交于負半軸，∴c＜0，∴ac＞0；②當x=1時，y=a+b+c＞0，∴a+b+c＞0；③當x=﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0；④∵a＜0，﹣＜1，∴b＜﹣2a∴2a+b＜0；⑤∵a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0．應選A．點評：解答此題關鍵是掌握二次函數y=ax2+bx+c系數符號確實定．8．如圖，在等邊△ABC中，BC=6，點D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，將△ADE沿DE翻折后，點A落在點A′處．連結AA′并延長，交DE于點M，交BC于點N．如果點A′為MN的中點，那么△ADE的面積為〔〕A．B．3C．6D．9考點：翻折變換〔折疊問題〕．分析：利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面積=DE?AM求解．解答：解：△ADE沿DE翻折后，點A落在點A′處∴AM=A′M，又∵A′為MN的中點，∴AM=A′M=A′N，∵DE∥AC，∵△ABC是等邊三角形，BC=6，∴BC=AC，∴AE=2，∵AN是△ABC的BC邊上的高，中線及角平分線，∴∠MAE=30°，∴AM=，ME=1，∴DE=2，∴△ADE的面積=DE?AM=××2=，應選：A．點評：此題主要考查了三角形的折疊問題上，解題的關鍵是運用比例求出AE，再求面積．二、填空題〔共8小題，每題3分，總分值24分〕9．如果反比例函數的圖象經過點〔1，﹣2〕，那么這個函數的解析式是y=﹣．考點：待定系數法求反比例函數解析式．分析：設反比例函數解析式為〔k≠0〕，把點〔1，﹣2〕代入函數解析式〔k≠0〕，即可求得k的值．解答：解：設反比例函數的解析式為〔k≠0〕．由圖象可知，函數經過點〔1，﹣2〕，∴﹣2=，得k=﹣2．∴反比例函數解析式為y=﹣．故答案為：y=﹣．點評：此題比擬簡單，考查的是用待定系數法求反比例函數的解析式，是中學階段的重點．10．假設關于x的方程ax2﹣4x+3=0有兩個相等的實數根，那么常數a的值是．考點：根的判別式．分析：根據判別式的意義得到△=〔﹣4〕2﹣4a×3=0，然后求解即可．解答：解：根據題意得△=〔﹣4〕2﹣4a×3=0，解得a=．故答案為．點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．11．△ABC∽△DEF，且相似比為3：4，S△ABC=2cm2，那么S△DEF=cm2．考點：相似三角形的性質．分析：根據相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比為3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．點評：此題主要考查了相似三角形的性質，相似三角形面積的比等于相似比的平方．12．如果將拋物線y=x2﹣3向左平移2個單位，再向上平移3個單位，那么平移后的拋物線表達式是y=〔x+2〕2．考點：二次函數圖象與幾何變換．專題：探究型．分析：分別根據“上加下減，左加右減〞的原那么進行解答即可．解答：解：由“左加右減〞的原那么可知，將拋物線y=x2﹣3向左平移2個單位所得直線的解析式為：y=〔x+2〕2﹣3；由“上加下減〞的原那么可知，將拋物線y=〔x+2〕2﹣3向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：y=〔x+2〕2．故答案為：y=〔x+2〕2．點評：此題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法那么是解答此題的關鍵．13．如圖，在?ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，那么EF：FC等于1：2．考點：平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．分析：利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，進而得出△DEF∽△DCF，再利用相似三角形的判定與性質得出答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△DEF∽△DCF，∵點E是邊AD的中點，∴DE=AE=BC，故答案為：1：2．點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及相似三角形的判定與性質，得出△DEF∽△DCF是解題關鍵．14．如圖，在矩形AOBC中，點A的坐標是〔﹣2，1〕，點C的縱坐標是4，那么B點的坐標為〔，3〕．考點：矩形的性質；坐標與圖形性質．分析：首先過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，易得△ACF≌△OBE，△AOD∽△OBE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．解答：解：過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BE⊥x軸于點E，過點C作CF∥y軸，過點A作AF∥x軸，交點為F，延長CA交x軸于點H，∵四邊形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，在△ACF和△OBE中，∴△CAF≌△BOE〔AAS〕，∴BE=CF=4﹣1=3，∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，即，∴OE=，即點B〔，3〕，故答案為：〔，3〕．點評：此題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以點C為圓心，r為半徑，且⊙C與斜邊AB僅有一個公共點，那么半徑r的取值范圍是r=或5＜r≤12．考點：直線與圓的位置關系．分析：因為要使圓與斜邊只有一個公共點，所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交，但只有一個交點在斜邊上．假設d＜r，那么直線與圓相交；假設d=r，那么直線于圓相切；假設d＞r，那么直線與圓相離．解答：解：根據勾股定理求得直角三角形的斜邊是=13．當圓和斜邊相切時，那么半徑即是斜邊上的高，等于；當圓和斜邊相交，且只有一個交點在斜邊上時，可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊，那么5＜r≤12．故半徑r的取值范圍是r=或5＜r≤12．故答案為：r=或5＜r≤12．點評：考查了直線與圓的位置關系，此題注意考慮兩種情況，只需保證圓和斜邊只有一個公共點即可．16．如圖，點A，B的坐標分別為〔1，4〕和〔4，4〕，拋物線y=a〔x﹣m〕2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點〔C在D的左側〕，點C的橫坐標最小值為﹣3，那么點D的橫坐標最大值為8．考點：二次函數綜合題；解一元二次方程-直接開平方法；二次函數的性質；待定系數法求二次函數解析式．專題：計算題；壓軸題．分析：當C點橫坐標最小時，拋物線頂點必為A〔1，4〕，根據此時拋物線的對稱軸，可判斷出CD間的距離；當D點橫坐標最大時，拋物線頂點為B〔4，4〕，再根據此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標最大值．解答：解：當點C橫坐標為﹣3時，拋物線頂點為A〔1，4〕，對稱軸為x=1，此時D點橫坐標為5，那么CD=8；當拋物線頂點為B〔4，4〕時，拋物線對稱軸為x=4，且CD=8，故C〔0，0〕，D〔8，0〕；由于此時D點橫坐標最大，故點D的橫坐標最大值為8；故答案為：8．點評：此題主要考查了二次函數的性質，用待定系數法求二次函數的解析式，用直接開平方法解一元二次方程等知識點，理解題意并根據求二次函數的解析式是解此題的關鍵，此題是一個比擬典型的題目．三、解答題〔共2小題，總分值16分〕17．解方程：x2﹣5x﹣6=0．考點：解一元二次方程-因式分解法．分析：把方程左邊進行因式分解得到〔x﹣6〕〔x+1〕=0，那么方程就可化為兩個一元一次方程x﹣6=0，或x+1=0，解兩個一元一次方程即可．解答：解：x2﹣5x﹣6=0，∴〔x﹣6〕〔x+1〕=0，∴x﹣6=0或x+1=0，∴x1=6，x2=﹣1．點評：此題考查了運用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的方法：先把方程化為一般式，再把方程左邊進行因式分解，然后一元二次方程就可化為兩個一元一次方程，解兩個一元一次方程即可．18．假設α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根，求α2+β2的值．考點：根與系數的關系．分析：利用根與系數的關系可得出α+β和αβ，且α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ，代入計算即可．解答：解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的兩根，∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣2〕2﹣2×〔﹣6〕=4+12=16．點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．四、〔每題10分，共20分〕19．〔10分〕〔2023?衢州〕如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ABC的三個頂點A，B，C都在格點上，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°得到△AB′C′．〔1〕在正方形網格中，畫出△AB′C′；〔2〕計算線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積．考點：作圖-旋轉變換；扇形面積的計算．專題：作圖題．分析：〔1〕根據旋轉的性質得出對應點旋轉后位置進而得出答案；〔2〕利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面積公式求出即可．解答：解：〔1〕如下圖：△AB′C′即為所求；〔2〕∵AB==5，∴線段AB在變換到AB′的過程中掃過區域的面積為：=π．點評：此題主要考查了扇形面積公式以及圖形的旋轉變換等知識，熟練掌握扇形面積公式是解題關鍵．20．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，〔1〕求證：三角形ADC為等腰三角形；〔2〕求AC的長．考點：勾股定理；等腰三角形的判定與性質．分析：〔〔1〕根據角平分線的定義可得，以及直線平行的性質證明∠DAC=∠DCA，再根據等角對等邊可得證得；〔2〕過點D作DE⊥AC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得AE=AC，根據兩組角對應相等的兩個三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根據相似三角形對應邊成比例求出BC，然后利用勾股定理列式計算即可得解．解答：〔1〕證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，又∵∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，即△ADC是等腰三角形；〔2〕解：過點D作DE⊥AC于E，那么AE=CE=AC，∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，∴△ABC∽△EDC，即=，∴BC=12，在直角△ABC中，AC===8．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形三線合一的性質，勾股定理，作輔助線構造出相似三角形并求出BC的長度是解題的關鍵．21．〔10分〕〔2023?南充〕如圖，一次函數y1=kx+b的圖象與反比例函數y2=的圖象相交于點A〔2，5〕和點B，與y軸相交于點C〔0，7〕．〔1〕求這兩個函數的解析式；〔2〕當x取何值時，y1＜y2．考點：反比例函數與一次函數的交點問題．專題：數形結合；待定系數法．分析：〔1〕將點C、點A的坐標代入一次函數解析式可得k、b的值，將點A的坐標代入反比例函數解析式可得m的值，繼而可得兩函數解析式；〔2〕尋找滿足使一次函數圖象在反比例函數圖象下面的x的取值范圍．解答：解：〔1〕將點〔2，5〕、〔0，7〕代入一次函數解析式可得：，解得：．∴一次函數解析式為：y=﹣x+7；將點〔2，5〕代入反比例函數解析式：5=，∴m=10，∴反比例函數解析式為：y=．〔2〕由題意，得：，解得：或，∴點B的坐標為〔5，2〕，由圖象得：當0＜x＜2或x＞5時，y1＜y2．點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解答此題的關鍵是聯立解析式，求出交點坐標．22．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕今年，9月8日為中秋節，在中秋節前期，三位同學到某超市調研一種進價每個為2元的月餅的銷售情況，請根據小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題．考點：一元二次方程的應用；二次函數的應用．分析：〔1〕設定價為x元，利潤為y元，根據利潤=〔定價﹣進價〕×銷售量，列出函數關系式，結合x的取值范圍，求出當y取1575時，定價x的值即可；〔2〕根據〔1〕中求出的函數解析式，運用配方法求最大值，并求此時x的值即可．解答：解：〔1〕設實現每天1575元利潤的定價為x元/個，根據題意，得〔x﹣2〕〔500﹣×10〕=1575．解得：x1=6.5，x2=5.5．答：應定價6.5或5.5元/個，才可獲得1575元的利潤．…〔2〕解：設每天利潤為W元，定價為x元/個，得W=〔x﹣2〕〔500﹣×10〕=﹣100x2+1200x﹣2023=﹣100〔x﹣6〕2+1600．當定價為6元/個時，每天利潤最大為1600元．…點評：此題考查了二次函數的應用，難度一般，解答此題的關鍵是根據題意找出等量關系列出函數關系式，要求同學們掌握運用配方法求二次函數的最大值．23．〔10分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，AB是⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，切線GD與AB延長線交于點E．〔1〕求證：∠C+∠EDF=90°〔2〕：AG=6，⊙O的半徑為3，求OF的值．考點：切線的性質．分析：〔1〕連接OD，根據切線的性質得OD⊥DE，那么∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，那么∠EDF+∠C=90°．〔2〕先求得EF=ED，設DE=x，那么EF=x，根據切線的性質由AG為⊙O的切線得∠ODE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE=2x，OE=3+x，然后根據AE﹣OE=OA=3，求得x的值，進而求得OF=1．解答：〔1〕證明：連接OD，∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠C+∠EDF=90°．〔2〕解：∵∠C+∠EDF=90°，∠C+∠CFO=90°，∠CFO=∠EFD，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，設DE=x，那么EF=x，∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴==，即==，∴AE=2x，OE=3+x，∵AE﹣OE=OA=3，∴2x﹣〔3+x〕=3，解得x=4，∴AE=2x=8，∴OF=AE﹣EF﹣OA=8﹣3﹣4=1．點評：此題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質．24．〔10分〕〔2023?北京一模〕定義：如果一個y與x的函數圖象經過平移后能與某反比例函數的圖象重合，那么稱這個函數是y與x的“反比例平移函數〞．例如：y=+1的圖象向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到y=的圖象，那么y=+1是y與x的“反比例平移函數〞．〔1〕假設矩形的兩邊分別是2cm、3cm，當這兩邊分別增加x〔cm〕、y〔cm〕后，得到的新矩形的面積為8cm2，求y與x的函數表達式，并判斷這個函數是否為“反比例平移函數〞．〔2〕如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，矩形OABC的頂點A、C的坐標分別為〔9，0〕、〔0，3〕．點D是OA的中點，連接OB、CD交于點E，“反比例平移函數〞y=的圖象經過B、E兩點．那么這個“反比例平移函數〞的表達式為y=；這個“反比例平移函數〞的圖象經過適當的變換與某一個反比例函數的圖象重合，請寫出這個反比例函數的表達式y=．〔3〕在〔2〕的條件下，過線段BE中點的一條直線l交這個“反比例平移函數〞圖象于P、Q兩點〔P在Q的右側〕，假設B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請求出點P的坐標．考點：反比例函數綜合題．分析：〔1〕根據新矩形的面積為8cm2，那么長乘以寬等于面積，即可得到一個關于x，y的方程，即可變形成函數的形式，進行判斷；〔2〕把B和D的坐標代入y=即可列方程求得a、k的值，那么函數解析式即可求解；〔3〕由反比例函數的中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形，設P1〔x0，y0〕，根據S△OP1E=S四邊形ONMC﹣S△OCP1﹣S△MP1E﹣S△ONE．即可列方程求解．解答：解：〔1〕〔x+2〕〔y+3〕=8，∴y=﹣3，向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到y=．∴y=﹣3是“反比例平移函數〞．〔2〕把B和D的坐標代入y=得：，解得：，那么“反比例平移函數〞的表達式為y=．故變換后的反比例函數表達式為y=．〔3〕如圖，當點P在點B左側時，設線段BE的中點為F，由反比例函數中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．∵四邊形PEQB的面積為16，∴S△PFE=4，∵B〔9，3〕，F〔6，2〕．y=是y=的“反比例平移函數〞，∴S△PFE=S△POE=4，點E的坐標是：〔3，1〕過E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點．S△OP1E=S四邊形ONMC﹣S△OCP1﹣S△MP1E﹣S△ONE．設P1〔x0，y0〕，即∴P1〔1，3〕，∴點P的坐標為〔7，5〕．當點P在點B右側時，同理可得點P的坐標為〔15，〕．點評：此題考查了反比例函數的性質，以及待定系數法求函數的解析式，注意到此題中的反比例平移函數與反比例函數的關系是關鍵．25．〔12分〕〔2023秋?鞍山期末〕在直角三角形ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=4，以B為圓心，BA為半徑作⊙B交BC于點D，旋轉∠ABD交⊙B于點E、F．連接EF交AC、BC邊于點G、H．〔1〕假設BE⊥AC，求證：CG?BH=AB?CH；〔2〕假設AG=4，求△BEF與△ABC重疊局部的面積；〔3〕△BHE是等腰三角形時的旋轉角的度數．考點：圓的綜合題；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．專題：幾何綜合題．分析：〔1〕如圖1，易證AC∥BF，從而得到△CHG∽△BHF，根據相似三角形的性質可得=，由BF=BA即可得到結論；〔2〕易知當AG=4時，點G為AC中點，與點E重合，如圖2，過點H作HN⊥BE于N，△BEF與△ABC重疊局部的面積就是△EBH的面積，只需運用三角函數求出HN，即可解決問題；〔3〕只需將△BHE的三個內角分別作為等腰三角形的頂角進行分類討論，就可解決問題．解答：解：〔1〕如圖1，∵BE⊥AC，BE⊥BF，∴AC∥BF，∴△CHG∽△BHF，∵BF=BA，即CG?BH=AB?CH；〔2〕∵∠B=90°，∠C=30°，AB=4，∴AC=8．∵AG=4，∴點G是AC的中點，此時E與G重合，△ABE是等邊三角形，如圖2．過點H作HN⊥BE于N，∵∠EBF=90°，BE=BF，∴∠BEF=45°，∴∠EHN=90°﹣45°=45°=∠BEF，∴EN=HN．設HN=x，那么EN=x，NB=4﹣x，在Rt△HNB中，由tan∠NBH=得，=，解得x=2﹣2．∴S△EBH=BE?HN=×4×〔2﹣2〕=4﹣4，即△BEF與△ABC重疊局部的面積為4﹣4；〔3〕①假設∠HEB是等腰△BHE的頂角，如圖3，那么有∠EBH=∠EHB==67.5°，∴∠ABE=90°﹣67.5°=22.5°．②假設∠EHB是等腰△BHE的頂角，如圖4，那么有∠EBH=∠HEB=45°，∴∠ABE=90°﹣45°=45°．③假設∠EBH是等腰△BHE的頂角，那么∠EBH=180°﹣45°﹣45°=90°，此時點E與點A重合，沒有旋轉，故舍去．綜上所述：△BHE是等腰三角形時的旋轉角的度數為22.5°或45°．點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角函數的定義、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，利用三角函數求出HN是解決第〔2〕小題的關鍵，運用分類討論的思想是第〔3〕小題的關鍵，當等腰三角形的頂角不確定時，常常需要分類討論．八、〔此題14分〕26．〔14分〕〔2023秋?鞍山期末〕如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣x﹣10與y軸的交點為點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC．現有兩動點P，Q分別從O，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位的速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x軸于點F．設動點P，Q移動的時間為t〔單位：秒〕．〔1〕求OACB的面積．〔2〕當t為何值時，四邊形ACQP為平行四邊形？請寫出計算過程；〔3〕當0＜t＜時，△PQF的面積是否總為定值？假設是，求出此定值，假設不是，請說明理由；〔4〕當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答