…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………1.3正方形的性質與判定新思維同步提高訓練（Word版含解答）-2021-2022學年九年級數(shù)學北師大版上冊一、選擇題1.如圖，將正方形OEFG放在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點E(2,3)，則點F的坐標為（

）A.

(-1,5)

B.

(-2,3)2.如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，∠EFD＝60°．若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則BE的長度為（

）A.

1

B.

2

C.

3

D.

23.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，連接對角線AC，將△ADC沿射線CA的方向平移得到△A′D′C′，分別連接BC′，AD′，BD′，則BC′+BD′的最小值為（

）A.

22

B.

4

C.

424.如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點Q是AB邊上的一個動點（點Q不與點B重合），點M，N分別是DQ，BQ的中點，則線段MN=（

）A.

32

B.

322

C.

3

D.

65.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作三個正方形，點G落在HI上，若AC＋BC＝6，空白部分面積為10.5，則AB的長為（

）A.

32

B.

19

C.

25

D.

266.如圖，在正方形ABCD中，E為DC邊上的一點，沿線段BE對折后，若∠ABF比∠EBF大15°，則∠A.

15°

B.

20°

C.

257.如圖，△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四個全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，則EG的長是（）A.

72

B.

62

C.

7

D.

738.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊分別作正方形BAHI，正方形BCFG與正方形CADE.延長BG，F(xiàn)G分別交AD，DE于點K，J，連結DH，IJ.圖中兩塊陰影部分面積分別記為S1，S2，若S1:S2=1:4，四邊形A.

5

B.

6

C.

8

D.

99.由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD如圖所示.過點D作DF的垂線交小正方形對角線EF的延長線于點G，連結CG，延長BE交CG于點H.若AE=2BE，則CGBH的值為（

）A.

32

B.

2

C.

31010.如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G，下列結論：①HF=2HG；②∠GDH=∠GHD；③圖中有8個等腰三角形；④S△CDGA.

1個

B.

2個

C.

3個

D.

4個二、填空題11.如圖，若該正方形ABCD邊長為10，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應邊B'C'恰好經過點A，過點A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG=6，則A12.已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC為邊向外作正方形ACEF，則這個正方形的中心O到點B的距離為________．13.如圖，矩形紙片ABCD，AD=2AB=4，點F在線段AD上，將△ABF沿BF向下翻折，點A的對應點E落在線段BC上，點M，N分別是線段AD與線段BC上的點，將四邊形CDMN沿MN向上翻折，點C恰好落在線段BF的中點C'處，則線段MN的長為________．14.如圖，在平面直角坐標系中有一邊長為1的正方形OABC，邊OA、OC分別在x軸、y軸上，如果以對角線OB為邊作第二個正方形OBB1C1，再以對角線OB1為邊作第三個正方形OB1B2C2，照此規(guī)律作下去，則點B2020的縱坐標為________15.如圖1是公園某處的幾何造型，如圖2是它的示意圖，正方形的一部分在水平面EF下方，測得DE=2米，∠CDF=45°，露出水平面部分的材料長共合計140米（注：共8個大小一樣的正方形造型，不計損耗），點B到水平面EF的距離為________米.16.如圖，正方形ABCD中，AB=4，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF.則線段OF長的最小值為三、解答題17.在正方形ABCD中，E是CD邊上一點（CE>DE），AE，BD交于點F．（1）如圖1，過點F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點G，H．求證：∠EAB=∠GHC；（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點P，M，N，連接CN．①依題意補全圖形；圖1

備用圖②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關系，并證明．18.問題情境：（1）如圖1，已知正方形ABCD，點E在CD的延長線上，以CE為邊構造正方形CEFG，連接BE和DG，則BE和DG的關系為________。（2）繼續(xù)探究：如圖2，若正方形ABCD的邊長為3，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG，連接DG、BE。①求證：DG⊥BE。②連接BG，若AE=1，求BG長。19.如圖，點P為正方形ABCD對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F（1）求證：PA=EF．（2）若正方形ABCD的邊長為12，求，四邊形PFCE的周長．20.如圖（1）如圖1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分線交AC于點D，連接BD．若AC＝2，BC＝1，則△BCD的周長為________．（2）O為正方形ABCD的中心，E為CD邊上一點，F(xiàn)為AD邊上一點，且△EDF的周長等于AD的長．①圖2中求作△EDF（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；②圖3中補全圖形，直接寫出∠EOF的度數(shù)．21.如圖①，四邊形ABCD是正方形，E是對角線BD上一點，連接AE、CE（1）求證：AE=CE；（2）如圖②，點P是邊CD上的一點，且PE⊥BD于E，連接BP，點O為BP的中點，連接OE。若∠PBC=30°，求∠POE的度數(shù)；（3）在(2)的條件下，若OE=2，求CE的長。22.如圖，已知四邊形ABCD是正方形.（1）如圖1，若E、F、G分別是AB、BC、CD邊上的點，AF和EG交于點O.現(xiàn)在提供三個關系：①AF⊥EG；②AO＝FO；③AF＝EG.從三個關系中選擇一個作為條件，一個作為結論，形成一個真命題，完成下列填空并證明：你選擇的條件是________，結論是________.（只要填寫序號）.（2）如圖2，點E、F分別在AD、AB上，BE⊥CF，垂足為點O，連接EF、EC，M、N分別是BF、CE的中點，MN分別交BE、CF于點G、H，求證：OG＝OH；（3）如圖3，AB＝3cm，E為CD邊上一點，∠DAE=30°，O為AE的中點，過點O的直線分別交AD、BC于點M、N，若MN＝AE，請直接寫出AM的長.23.綜合與實踐﹣﹣圖形變換中的數(shù)學問題．問題情境：如圖1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．將△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，兩個三角形拼成四邊形ABCD．（1）求證：四邊形ABCD是正方形．（2）初步探究：

將△ABC從圖1位置開始繞點B按逆時針方向旋轉角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中點A，C的對應點分別是點E，F(xiàn)，連接AE，F(xiàn)C并分別延長，交于點M．試猜想線段AM與FM的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．（3）如圖3，連接DE，當DE∥CM時，請直接寫出CM的長．

答案一、選擇題1.解：如圖所示，過點E作EA⊥x軸，垂足為A，過點F作FB⊥EA，交AE的延長線于點B，交y軸與點C，∵四邊形OEFG是正方形，∴FE=EO，∠FEO=90°，∴∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠AOE=90°，∴∠FEB=∠EOA，∴△FEB≌△EOA，∴FB=EA，EB=OA，∵E（2，3），∴FB=EA=3，EB=OA=2，∵EA⊥x軸，F(xiàn)B⊥EA，OC⊥x軸，∴四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=2，∴FC=FB-BC=1，BA=EB+EA=5，∵點F在第二象限，∴點F（-1，5）故答案為：A．2.解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠EFD＝∠BEF＝60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，∴B'E＝2AE，設BE＝x，則B'E＝x，AE＝3﹣x，∴2（3﹣x）＝x，解得x＝2．故答案為：D．3.解：連接DD′，當?shù)妊黂t△ADC在射線CA上運動時，點D運動軌跡為直線DD'，∵AB∥C′D′，且AB=C′D′，∴四邊形ABC′D′為平行四邊形，∴BD′+BC′=D′B+D′A，將點B關于直線l對稱到點B′，BD′+BC′=D′B+D′A=D′B′+D′A≥AB′，當D′、B′、A三點共線時，BC′+BD′的最小，最小值為AB′長，作A′′B′⊥AD交AD延長線于點A′′，由對稱可知，BD′=BD，∠ADB=∠ADB′，∠BAD=∠B′A′′D，∴△BAD≌△B′A′′D，∴A′′D=AD=2，A′′B′=AB=2，AB′=AA''2

故答案為：D.4.解：連接BD，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=6，∴BD=AB當點Q在AB邊上運動時（點Q不與點B重合），MN一直是△BQD的中位線，則線段MN=1故答案為：A.5.解：∵四邊形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC＋∠BAC＝∠FAC＋∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM與△ABN中，{∠F=∴△FAM≌△ABN（AAS），∴S△FAM＝S△ABN，∴S△ABC＝S四邊形FNCM，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，∵AC＋BC＝6，∴（AC＋BC）2＝AC2＋BC2＋2AC?BC＝36，∴AB2＋2AC?BC＝36，∵AB2﹣2S△ABC＝10.5，∴AB2﹣AC?BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝19或﹣19（負值舍去）.故答案為：B.6.解：∵∠FBE是∠CBE折疊形成，∴∠FBE=∠CBE，∵∠ABF-∠EBF=15°，∠ABF+∠EBF+∠CBE=90°，∴∠EBF=25°，故答案為：C.7.解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE＝AB2-AE2＝∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四個全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四邊形EFGH為正方形，∴EG＝72+72＝故答案為：A．8.解：∵S1∴GJ∵四邊形BCFG與四邊形CADE是正方形∴BC=FC=FG=GB=2GJ∴AC=AD=DE=CE=BC+GJ=3GJ∵∠∴AB=∵AH=AB，∠∴HD=∵四邊形SBAHE=S△∴1∴GJ=∴AF=AC∵∠CAB+∠ABC=90°∴∠CAB=∠EBM∵四邊形BCFG與四邊形CADE是正方形∴∠AFN=180°-∠CFN=90°∴{∴△∴S∴S△ABC=∵∠∴四邊形CFJE是矩形∴矩形SCFJE=四邊形SMBNJ+四邊形S∴四邊形SMBNJ=矩形SCFJE-故答案為：B.9.如圖，設BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵AE=2BE，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH為△CFQ的中位線，∴PH=12QF，CH=HQ∵四邊形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，{∠GDQ=∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=13DF=13BE，∴BH=BE+PE+PH=73BE在Rt△PCH中，CH=PC2+PH∴CG=10BE，∴CGBH故答案為：C.10.解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF∵四邊形ABCD是正方形，∵AD//BC，AD=BC=CD，∠ADB=∠DBC=45°，∴DE//BC，∠DFB=∠GBC，∵DE=AD，∴DE=BC，∴四邊形DBCE是平行四邊形，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=∠ADB=∠DFB+∠DBF=2∠EFB=45°，∴∠GBC=∠EFB=22.5°，∠CGB=∠EGF=22.5°=∠GBC，∴CG=BC=DE，∵BC=CD，∴DE=CD=CG，∴∠DEG=∠DCE=45°，EC=2CD，∠CDG=∠CGD=12（180°-45°）=67.5∴∠DGE=180°-67.5°=112.5°，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD（AAS），∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB，∴∠GDH=∠GHD，∴∠GDH=∠GHD，故②符合題意；∵∠EFB=22.5°，∴∠DHG=∠GDH=67.5°，∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB，∴DG=GF，∴HG=DG=GF，∴HF=2HG，即EC≠HF=2HG，故①符合題意；∵△CHG≌△EGD，∴S△CHG=S△EGD，∴SΔCHG+SΔDHG結合前面條件易知等腰三角形有：△ABD、△CDB、△BDF、△CDE、△BCG、△DGH、△EGF、△CDG、△DGF共9個，故③不符合題意；則正確的個數(shù)有2個．故答案為：B．二、填空題11.延長AG交BC于點E，則EG=AG=6，∴AE=12∵正方形ABCD邊長為10，AB=BC=10．在Rt△ABE中，BE=∴CE=BC-由折疊的性質得，AC'故答案為：10-212.如圖，延長BA到D，使AD=BC，連接OD，OA，OC，∵四邊形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，在△BCO與△DAO中，{∴△BCO≌△DAO（SAS），∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD=2OB∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB=42故答案為4213.解：作C'G⊥BC，連接C'C交MN于點K，連接CM

根據(jù)題意可得，四邊形ABEF為正方形，△BGE為等腰三角形

∴C'G=12×2=1，CG=4-BG=4-1=3

設CN=C'N=x，則GN=3-x

在直角三角形C'GN中，1+（3-x）2=x2，解得x=53

∴CN=53

在直角三角形CC'G中，CC'=32+12=10

由折疊可得，CK=CC'2=102，CK⊥MN

∵12MN×ck=12CN×CD

∴MN=CN×CDCK=2103

14.解：∵正方形OABC邊長為1，

∴OB=2，

∵正方形OBB1C1是正方形OABC的對角線OB為邊，

∴OB1=2，

∴B1點坐標為（0，2），

同理可知OB2=22，

∴B2點坐標為（-2，2），

同理可知OB3=4，B3點坐標為（-4，0），

B4點坐標為（-4，-4），B5點坐標為（0，-8），

B6（8，-8），B7（16，0）

B8（16，16），B9（0，32），

由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經過8次作圖后，點的坐標符號與第一次坐標符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼?倍，

∵2020÷8=252…4，

15.解：如圖，延長AE、CD交于一點G，連接BG交EF于H，

∴∠EGD=90°，

∵DE=2，∠CDF=45°，

∴GD=EG=2，

設正方形的邊長為a，則AE=CD=a-2，

∴2AE+2AB=4a-22=1408，

解得a=35+428，

∴BG=2a=352+88，

∴BH=BG-HG=352+88-1=3528，

故答案為：3528.

16.如圖，連接DO，將線段DO繞點D∵∠EDF=∠ODM=90°，∴∠EDO=∠FDM，在△EDO與△FDM中，{∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM=OE=2，∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC邊的中點，∴OC=2，∴OD=∴OM=∵OF+MF≥OM，∴OF∴線段OF長的最小值為2故答案為：2三、解答題17.（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴∠AGH=∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB=∠AGH．∴∠EAB=∠GHC．（2）①補全圖形，如圖所示．②AE=2CN證明：連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q．∵四邊形ABCD是正方形，∴點A，點C關于BD對稱．∴NA=NC，∠1=∠2．∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．∴NC=NE．∴∠3=∠4．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠4．∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴AE=2CN18.（1）BE=DG，BE⊥DG

（2）①如圖2，延長BE，GD交于點H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠ECG=90°，CE=CG，∴∠BCE=∠DCG，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴∠BEC=∠DGC，∵∠BEC+∠HEC=180°，∴∠DGC+∠HEC=180°，∵∠DGC+∠HEC+CECG+∠DHE=360°，∴∠DHE=90°，∴DG⊥BE；②如圖3，過點G作GN⊥BC，交BC延長線于點N，∵AE=1，AD=3，∴DE=2，∵∠ECG=∠DCN=90°，∴∠ECD=∠GCN又∵EC=CG，∠EDC=∠N=90°，∴△ECD≌△GCN(AAS)，∴DE=GN=2，CN=CD=3，∴BN=BC+CN=6，∴BG=BN2+CN2解：（1）如圖1，延長GD交BE于點H，∵四邊形ABCD是正方形，四邊形CEFG是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠ECG=90°，CE=CG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∠BEC=∠DGC，∵∠BEC+∠EBC=90°，∴∠DGC+∠EBC=90°，∴∠BHG=90°，∴BE⊥DG；19.（1）證明：連接PC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，在△ABP與△CBP中，{AB=CB∠∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PE⊥CD，PF⊥BC，∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．又∵∠BCD=90°，∴四邊形PFCE是矩形，∴EF=PC，∴PA=EF；（2）解：由（1）知四邊形PFCE是矩形，∴PE=CF，PF=CE，又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，∴BE=PE，又∵BC=12，∴矩形PFCE的周長為2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．20.（1）3

（2）解：①如圖2，在AD上截取AH＝DE，連接EH，作EH的垂直平分線，交DH于F，連接EF，則△EDF就是所求作的三角形．②如圖3，連接OD、OA、OH，∵O為正方形的中心，∴OA＝OD，∠DOA＝90°，在△AHO和△DEO中，{AO=OD∠∴△AHO≌△DEO（SAS），∴OE＝OH，∠4＝∠3，∴∠EOH＝∠DOA＝90°，∵OF是EH的垂直平分線，∴EF＝FH，在△EOF和△HOF中，{OE=OHOF=OF∴△EFO≌△HOF（SSS），∴∠EOF＝∠HOF，∵∠EOH＝∠DOA＝90°．∴∠EOF＝45°解：（1）∵AB的垂直平分線交AC于點D，∴BD＝AD，∴△BCD的周長＝BC＋CD＋BD＝BC＋AC＝1＋2＝3，故答案為：3；21.（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE∴△ABE≌△CBE（SAS）

∴AE=CE（2）解：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EBC=∠EDP=45°

∵∠PBC=30°，

∴∠EBP=15°

∵PE⊥BD，點O為BP的中點，

∴OE=OB=OP

∴∠OEB=∠EBP=15°

∴∠POE=∠OEB+∠EBP=30°

（3）連接OC,

∵點O為BP的中點，∠BCP=90°

∴OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°

∴∠POC=∠OBC+∠OCB=60°

∴∠EOC=∠POE+∠POC=90°，

∵OE=OB=OC=2

∴CE=OC222.（1）①；③

（2）證明：取EF中點Q，連接QN，QM，∴QN//FC,QN=1由（1）知當BE⊥CF時BE=CF，∴NQ=MQ，∠QNM=∠QMN，∵∠QMN=∠OGH，∠QNM=∠OHG，∴∠OGH=∠OHG，∴OG＝OH；（3）解：AM=2，過M作MK⊥BC，由（1）同理可證△MNK?△AED，