四川省成都市東郊中學2023年高三數學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a≤+lnx對任意恒成立，則a的最大值為（） A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：A【考點】函數恒成立問題． 【專題】導數的綜合應用． 【分析】構造函數令f（x）=+lnx，利用導函數判斷函數的單調性，利用單調性求出其最小值即可． 【解答】解：令f（x）=+lnx， ∴f'（x）=（1﹣）， 當x∈[，1）時，f'（x）＜0，f（x）遞減； 當x∈[1，2]時，f'（x）＞0，f（x）遞增； ∴f（x）≥f（1）=0； ∴a≤0． 故選A． 【點評】考查了恒成立問題，需轉換為最值，用到導函數求函數的極值，應熟練掌握． 2.（06年全國卷Ⅰ理）如果復數是實數，則實數A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B解析：復數=(m2－m)+(1+m3)i是實數，∴1+m3=0，m=－1，選B.3.函數f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex＋1的解集為

()．A．{x|x>0}

B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}

D．{x|x<－1或0<x<1}參考答案：略4.已知命題，使得；，使得．以下命題為真命題的為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.函數的最小值及取得最小值時x的值分別是（）A.1， B.3，0 C.3， D.2，參考答案：C【分析】利用絕對值不等式，求得函數的最小值，并求得對應的值.【詳解】依題意，當且僅當，即時等號成立，故選C.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式，以及絕對值不等式等號成立的條件，屬于基礎題.6.在復平面內，復數對應的點位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D7.若方程在內有解，則的圖象可能是(

)

參考答案：D8.函數的零點有（

）

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個參考答案：B函數的定義域為，由得，或，即（舍去）或，所以函數的零點只有一個，選B.9.在這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：答案：B10.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜0或x＞1}，則A∩B=（）A．（﹣∞，1]∪（2，+∞） B．（﹣∞，0）∪（1，2） C．（1，2] D．（1，2）參考答案：C【考點】集合的含義；交集及其運算．【專題】計算題；集合思想；定義法；集合．【分析】直接利用交集運算得答案．【解答】解：∵集合A={x|0≤x≤2}=[0，2]，B={x|x＜0或x＞1}=（﹣∞，0）∪（1，+∞）則集合A∩B=（1，2]．故選：C．【點評】本題考查了交集及其運算，是基礎的概念題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線y2=4x的準線是圓x2+y2﹣2Px﹣16+P2=0的一條切線，則圓的另一條垂直于x軸的切線方程是．參考答案：x=﹣9或x=7【考點】拋物線的簡單性質．【分析】求得拋物線的準線方程，將（﹣1，0）代入圓的方程，求得P的值，即可求得圓的另一條垂直于x軸的切線方程．【解答】解：拋物線y2=4x的準線方程為x=﹣1，而圓方程為（x﹣P）2+y2=16，又（﹣1，0）在圓上，∴（P+1）2=16，即P=﹣5或P=3，∴另一條切線方程為x=﹣9或x=7，故答案為：x=﹣9或x=7．12.在區間[﹣1，1]上任取一個數a，則曲線y=x3﹣x2在點x=a處的切線的傾斜角為銳角的概率為．參考答案：

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求得函數的導數，可得曲線在x=a處切線的斜率，由題意可得斜率大于0，解不等式可得a的范圍，再由幾何概率的公式，求出區間的長度相除即可得到所求．【解答】解：y=x3﹣x2在的導數為y′=2x2﹣x，則曲線y=x3﹣x2在點x=a處的切線的斜率為k=2a2﹣a，傾斜角為銳角，即為2a2﹣a＞0，解得a＞或a＜0，由﹣1≤a≤1，可得＜a≤1或﹣1≤a＜0，則切線的傾斜角為銳角的概率為=．故答案為：．【點評】本題考查導數的應用：求切線的斜率和傾斜角，考查不等式的解法，同時考查幾何概率的求法，注意運用區間的長度，考查運算能力，屬于中檔題．13.數列滿足的值是

。參考答案：495014.在任意兩個正整數間，定義某種運算（用表示運算符號），當、都是正偶數或都是正奇數時，，當、中其中一個為正偶數，另一個是正奇數時，，則在上述定義中集合的元素的個數為

參考答案：15略15.設數列{an}共有4項，滿足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若對任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是數列{an}中的某一項．現有下列命題：①數列{an}一定是等差數列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③數列{an}中一定存在一項為0．其中，真命題的序號有

．（請將你認為正確命題的序號都寫上）參考答案：①②③【考點】數列遞推式．【分析】根據題意：對任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是該數列的某一項，因此0∈{an}，即a4=0，進而推出數列的其它項，可得答案．【解答】解：根據題意：對任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是該數列的某一項，令i=j，則0為數列的某一項，即a4=0，則a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，則a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{an}，此時a1=3a3，可得數列{an}為：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；據此分析選項：易得①②③正確；故答案為：①②③16.設是定義在R上的奇函數，且滿足，且，則_______________．參考答案：–2略17.的二項展開式中的常數項是

(用數值作答)．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.關于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）當m=1時，解此不等式；（Ⅱ）設函數f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），當m為何值時，f（x）＜m恒成立？參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；函數恒成立問題．【分析】（Ⅰ）當m=1時，原不等式可變為0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通過兩邊平方和絕對值不等式的性質，即可得到解集；（Ⅱ）設t=|x+3|﹣|x﹣7|，則0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）當m=1時，原不等式可變為0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，兩邊平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7時，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．則有2＜x＜7．故可得其解集為{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）設t=|x+3|﹣|x﹣7|，則由對數定義及絕對值的幾何意義知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上為增函數，則lgt≤1，當t=10，即x=7時，lgt=1為最大值，故只需m＞1即可，即m＞1時，f（x）＜m恒成立．19.選修4一1：幾何證明選講如圖，C是以AB為直徑的半圓O上的一點，過C的直線交直線AB于E，交過A點的切線于D，BC∥OD．（Ⅰ）求證：DE是圓O的切線；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．參考答案：考點：與圓有關的比例線段．專題：證明題．分析：（Ⅰ）要證DE是圓O的切線，連接AC，只需證出∠DAO=90°，由BC∥OD?OD⊥AC，則OD是AC的中垂線．通過△AOC，△BOC均為等腰三角形，即可證得∠DAO=90°．（Ⅱ）由BC∥OD?∠CBA=∠DOA，結合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例線段求出EB．解答：（Ⅰ）證：連接AC，AB是直徑，則BC⊥AC由BC∥OD?OD⊥AC則OD是AC的中垂線?∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，?∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．?OC⊥DE，所以DE是圓O的切線．（Ⅱ）BC∥OD?∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO?△ABC∽△AOD??BC===????BE=點評：本題考查圓的切線的證明，與圓有關的比例線段．準確掌握與圓有關的線、角的性質是解決此類問題的基礎和關鍵．20.設單調遞增的等比數列{an}的前項和為Sn，已知（1）求數列{an}的通項公式（2）若，求數列的前n項和Tn參考答案：21.（13分）某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量P萬件滿足（其中0≤x≤a，a為正常數）．現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品P萬件還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為萬元/萬件．（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．參考答案：【考點】函數模型的選擇與應用；基本不等式在最值問題中的應用．【專題】應用題；導數的綜合應用．【分析】（1）根據題意售價為萬元/萬件，銷售量為P，成本為（10+2P）+x萬元，利用利潤=銷售額﹣成本，即可列出函數關系式；（2）對a進行分類討論，當a≥1時，利用基本不等式即可求得最值，當a＜1時，利用導數確定函數的單調性，從而求得最值，即可得到答案．【解答】解：（1）由題意知，該產品售價為萬元，銷售量為P，成本為（10+2P）+x萬元，∴，∵（其中0≤x≤a，a為正常數），∴y=2×﹣10﹣2×（3﹣）﹣x=16﹣x﹣，∴（0≤x≤a），∴該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數為（0≤x≤a）；（2）由（1）可知，（0≤x≤a），∴，當且僅當時取等號，∵0≤x≤a，①當a≥1時，x=1時，y取得最大值為13，∴促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；②當a＜1時，，∴，解得﹣3＜x＜1，∴在（﹣3，1）上單調遞增，∴在[0，a]上單調遞增，∴在x=a時，函數有最大值，∴促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．綜合①②可得，當a≥1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，當a＜1時，促銷費用投入a萬元時，廠家的利潤最大．【點評】本題主要考查函數模型的選擇與應用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．在運用數學方法求解最值時，選用了基本不等式和導數的方法求解．屬于中檔題．22.（本小題滿分12分）在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知cosA＝，sinB＝co