2023年全國普通高等學校招生統一考試上海數學試卷〔理工農醫類〕一、填空題1．計算：.【測量目標】數列極限的運算.【考查方式】給出了數列進行化簡，根據極限運算法那么算出極限.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】根據極限運算法那么，．2．設，是純虛數，其中是虛數單位，那么.【測量目標】復數的根本概念.【考查方式】給出復數，由純虛數的根本概念算出m的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】．3．假設，那么.【測量目標】行列式的初步運算.【考查方式】給出行列式，由行列式的運算法那么計算出的大小.【難易程度】容易【參考答案】0【試題解析】．4．△ABC的內角A、B、C所對應邊分別為a、b、c，假設，那么角C的大小是_______________.〔結果用反三角函數值表示〕【測量目標】余弦定理，反三角函數.【考查方式】利用余弦定理解出角C，再用反三角函數值表示.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，故．5．設常數，假設的二項展開式中項的系數為，那么.【測量目標】二項式定理.【考查方式】根據某一項的系數，利用二項式展開式的通項公式求出未知量的值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】，故．6．方程的實數解為________.【測量目標】指數方程.【考查方式】給出了指數方程，化簡求值.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】原方程整理后變為．7．在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為__________.【測量目標】坐標系與參數方程，兩點間的距離公式.【考查方式】給出參數方程，聯立方程組得到兩點的距離.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】聯立方程組得〔步驟1〕，又，故所求為．〔步驟2〕8．盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，那么這兩個球的編號之積為偶數的概率是___________〔結果用最簡分數表示〕.【測量目標】古典概型，隨機事件的的概率【考查方式】所求事件為一個隨機事件，利用隨機事件概率的求法求出答案【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】9個數5個奇數，4個偶數，根據題意所求概率為．9．設AB是橢圓的長軸，點C在上，且，假設AB=4，，那么的兩個焦點之間的距離為________.【測量目標】橢圓的標準方程，橢圓的性質.【考查方式】寫出橢圓標準方程，根據其性質求出焦點間的距離.【難易程度】容易【參考答案】【試題解析】不妨設橢圓的標準方程為，于是可算得〔步驟1〕，得．〔步驟2〕10．設非零常d是等差數列的公差，隨機變量等可能地取值，那么方差.【測量目標】隨機變量的期望和方差.【考查方式】給出等差數列，求出隨機變量的方差.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】〔步驟1〕．〔步驟2〕11．假設，那么.【測量目標】兩角和與差的正余弦，二倍角公式.【考查方式】給出三角函數的值，利用兩角和與差的余弦公式和等量代換求出值.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，，故．12．設為實常數，是定義在R上的奇函數，當時，，假設對一切成立，那么的取值范圍為________.【測量目標】奇函數的性質.【考查方式】給出了在某段定義域內的函數解析式，利用奇函數的性質求出a的范圍.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】，故〔步驟1〕；當時〔步驟2〕即，又，故．〔步驟3〕13．在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影局部．記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為，過作、所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為__________.第13題圖【測量目標】合情推理.【考查方式】給出了封閉圖形，利用祖暅原理求出其體積.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為．14．對區間I上有定義的函數，記，定義域為的函數有反函數，且，假設方程有解，那么.【測量目標】反函數，函數零點的求解與判斷.【考查方式】給出了反函數的解析式，在特定定義域內求出它的反函數解析式并求出新函數的解.【難易程度】中等【參考答案】【試題解析】根據反函數定義，當時，〔步驟1〕；時，，而的定義域為〔步驟2〕，故當時，的取值應在，故假設，只有．〔步驟3〕二、選擇題15．設常數，集合，假設，那么的取值范圍為〔〕ABCD【測量目標】集合的根本運算，解一元二次不等式.【考查方式】給出兩個集合，根據它們的并集求出a的取值范圍.【難易程度】中等【參考答案】B【試題解析】當時，〔步驟1〕假設，那么1，，〔步驟2〕當時，易得,此時成立，〔步驟3〕當時，，，假設，那么a顯然成立〔步驟4〕∴；綜上a的取值范圍是，應選B〔步驟5〕16．錢大姐常說“廉價沒好貨〞，她這句話的意思是：“不廉價〞是“好貨〞的〔〕A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分也非必要條件【測量目標】充分必要條件.【考查方式】給出日常生活問題，判斷命題的充分必要性.【難易程度】容易【參考答案】B【試題解析】根據等價命題，廉價沒好貨，等價于，好貨不廉價，應選B．17．在數列中，，假設一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，〔〕那么該矩陣元素能取到的不同數值的個數為〔〕A18 B28 C48 D63【測量目標】指數函數模型.【考查方式】給出了數列矩陣以及行列元素的關系，求出矩陣元素不同數值的個數.【難易程度】容易【參考答案】A【試題解析】，而，故不同數值個數為18個，選A．18．在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.假設分別為的最小值、最大值，其中,,那么滿足〔〕.AB C D【測量目標】平面向量在平面幾何中的應用.【考查方式】根據平面幾何中的向量性質，容易求出答案.【難易程度】中等【參考答案】D【試題解析】由題意記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為，利用向量的數量積公式，只有，其余均有，應選D．三、解答題19.〔此題總分值12分〕如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面，并求直線BC1到平面D1AC第19題圖【測量目標】直線與平面平行的判定，錐的體積.【考查方式】給出長方體及假設干條件，根據直線與平面平行的判定定理以及三棱錐的體積公式求出答案.【難易程度】容易【試題解析】因為ABCDA1B1C1D1為長方體，，故ABC1D1為平行四邊形，故〔步驟1〕，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面〔步驟2〕；直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得〔步驟3〕而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．〔步驟4〕20．〔6分+8分〕甲廠以x千克/小時的速度運輸生產某種產品〔生產條件要求〕，每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產該產品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產900千克該產品獲得的利潤最大，問：甲廠應該選取何種生產速度？并求最大利潤.【測量目標】二次函數模型的建立，求函數的最值.【考查方式】給出實際問題建立函數模型，求出其最值.【難易程度】容易【試題解析】(1)根據題意，又，可解得〔步驟1〕(2)設利潤為元，那么故時，元．〔步驟2〕21．〔6分+8分〕函數，其中常數；〔1〕假設在上單調遞增，求的取值范圍；〔2〕令，將函數的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖像，區間〔且〕滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值．【測量目標】三角函數的單調性，周期，圖像及其變化.【考查方式】將三角函數進行變化求出的取值范圍；將三角函數進行平移和變換求出零點進而求出答案.【難易程度】中等【試題解析】(1)因為，根據題意有〔步驟1〕(2)，或，即的零點相離間隔依次為和，〔步驟2〕故假設在上至少含有30個零點，那么的最小值．〔步驟3〕22．〔3分+5分+8分〕如圖，曲線，曲，P是平面上一點，假設存在過點P的直線與都有公共點，那么稱P為“C1—C2型點〞．(1)在正確證明的左焦點是“C1—C2型點〞時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程〔不要求驗證〕；(2)設直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C1—C2型點〞；(3)求證：圓內的點都不是“C1—C2型點〞．第22題圖【測量目標】圓錐曲線的探索性問題.【考查方式】給出了“C1—C2型點〞的概念，證明3個命題的正確性.【難易程度】較難【試題解析】：〔1〕C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1C2型點〞，且直線可以為；〔步驟1〕〔2〕直線與C2有交點，那么，假設方程組有解，那么必須；〔步驟2〕直線與C2有交點，那么，假設方程組有解，那么必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1C2型點〞.〔步驟3〕〔3〕顯然過圓內一點的直線假設與曲線C1有交點，那么斜率必存在；根據對稱性，不妨設直線斜率存在且與曲線C2交于點，那么直線與圓內部有交點，故化簡得，①〔步驟4〕假設直線與曲線C1有交點，那么〔步驟5〕化簡得，②由①②得，〔步驟6〕但此時，因為，即①式不成立；當時，①式也不成立綜上，直線假設與圓內有交點，那么不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內的點都不是“C1C2型點〞．〔步驟7〕23．〔3

分+6分+9分〕給定常數，定義函數，數列滿足.〔1〕假設，求及；〔2〕求證：對任意，；〔3〕是否存在，使得成等差數列？假設存在，求出所有這樣的，假設不存在，說明理由.【測量目標】間接證明，等差數列的綜合應用.【考查方式】給出函數解析式及數列，間接證明出命題的正確，利用等差數列