具有約束方程的最優化第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日目錄一、求穩定值（拉格朗日乘數法和全微分法）二、拉格朗日乘數的解釋和二階條件三、海塞加邊行列式四、擬凹性和擬凸性五、效用最大化和消費需求六、齊次函數七、投入的最小成本組合第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日約束的影響

30150

第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日求穩定值

第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日拉格朗日乘數法

第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日一般而言：

第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日全微分法

第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日拉格朗日乘數的解釋

第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日將Z*視為c的函數，Z*對c求全微分：

=0第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日N個變量和多重約束的情況

第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日二階全微分

第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日海塞爾加邊行列式

第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日應用到與原來的例子中：

第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日擬凹性和擬凸性擬凹：定義域的線段uv在函數f圖形上給出的弧段MN，使得點N高于M。如果弧段MN上除了點M和N以外所有的點的高度均高于或等于點M的高度，則稱函數f為擬凹函數。若嚴格高于，則為嚴格擬凹函數。擬凸：如果弧段MN上除了點M和N以外所有的點的高度均低于或等于點N的高度。嚴格擬凹嚴格擬凸擬凹第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日對于函數f定義域中有兩個不同的點u和v，F[?u+(1-?)v]>=f(u)<=f(v)且f(v)>=f(u)f為擬凹擬凸定理1（函數的相反數）:若f(x)為擬凹（嚴格擬凹），則-f(x)為擬凸（嚴格擬凸）。定理2（凹性和擬凹性）：任意凹函數是擬凹函數，但反之不成立。類似地，任意嚴格凹（嚴格凸）函數是嚴格擬凹（嚴格擬凸）函數，反之不成立。定理3（線性函數）若f(x)是線性函數，則它既是擬凹函數，也是擬凸函數。第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日可微函數兩種判斷凹凸的方法;二階連續可微函數：一元可微函數：F為擬凹函數第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日該函數為擬凹的。第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日效用最大化與消費需求

第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日

無差異曲線是指能夠產生相同效用水平U的x與y組合的點的軌跡。

第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日結論：要使效用最大化，消費者必須對其預算線進行分配，以使預算線的斜率等于無差異曲線的斜率，即預算線與無差異曲線的切點。第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日二階條件

第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日

第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日齊次函數定義：若以常數j乘以函數的每一自變量，使函數變為