會計學1第3講數列極限第二章極限本章學習要求：了解數列極限、函數極限概念，知道運用“ε－δ”和“ε－X”

語言描述函數的極限。理解極限與左右極限的關系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數極限與無窮小量間的關系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應的函數極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極限求相應的函數極限。第1頁/共59頁第二章極限第一節數列的極限一、數列及其簡單性質二、數列的極限三、數列極限的性質四、數列的收斂準則第2頁/共59頁稱為一個數列,

記為{xn}.1.定義

數列中的每一個數稱為數列的一項xn=f(n)

稱為數列的通項或一般項一、數列及其簡單性質

數列也稱為序列第3頁/共59頁2.數列的表示法公式法圖示法表格法

運用數軸表示運用直角坐標系表示第4頁/共59頁介紹幾個數列xn0242nx1x2……x???????????????……例1第5頁/共59頁…xnx2x1x0x3…??????????第6頁/共59頁01–1x所有的奇數項所有的偶數項第7頁/共59頁x1M3x1xx4x2??????????0所有奇數項第8頁/共59頁1xnx3x2x1x0………??????????…第9頁/共59頁3.數列的性質單調性有界性第10頁/共59頁(1)

數列的單調性數列單調減少的情形怎么定義？有誰來說一說.第11頁/共59頁第12頁/共59頁嚴格單調增加(單調增加)嚴格單調減少(單調減少)單調增加(不減少的)單調減少(不增加的)統稱為單調數列數列第13頁/共59頁(2)數列的有界性回想一下前面講過的函數的有界性的情形我學過嗎？第14頁/共59頁第15頁/共59頁數列的有界性的定義如何定義數列無界？

有界的數列在數軸上和在直角坐標系中的圖形會是什么樣子？想想：第16頁/共59頁|xn

|<

M*,n

N

xnU(0,M*

),n

N從數軸上看,有界數數列{xn}

的全部點都落在某區間

(－M*,M*)中.()x0M*－M*??????????第17頁/共59頁例2…xnx2x1x0x3…??????????觀察例1中的幾個數列：第18頁/共59頁01–1x第19頁/共59頁x1M3x1xx4x2??????????0第20頁/共59頁1xnx3x2x1x0………??????????…第21頁/共59頁xn0242nx1x2……x???????????????……

有些數列雖然無界,但它或者是下方有界的,或者是上方有界的.第22頁/共59頁若xnM,MR,

則稱

{

xn}有上界.若xnm,mR，

則稱

{

xn}有下界.{

xn}:有界

既有上界又有下界.第23頁/共59頁

一個數列有界(有上界,有下界),則必有無窮多個界(上界,下界).第24頁/共59頁

現在來討論如何定義數列的無界：

首先看有界性定義的關鍵所在對所有的第25頁/共59頁例3證分析第26頁/共59頁二、數列的極限001第27頁/共59頁

極限描述的是變量的變化趨勢.討論數列當無限增大時的變化趨勢.容易看出:當無限增大時,x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????第28頁/共59頁“n無限增大”

記為

n.此時稱數列當n時以零為極限,記為：這就是該數列的變化趨勢第29頁/共59頁的圖上看,

從數列x1x3x2n-1x2nx4x2x0((()))*??????????????????????????

量化表示：n時,xna.第30頁/共59頁預先任意給定一個正數>0,不論它的值多么小,當n無限增大時,

數列

{xn}總會從某一項開始,

以后的所有項都落在

U(0,)中.（在U(0,)外面只有有限項）第31頁/共59頁

010)1(e<--nn其中,是描述點xn與點

0

無限接近的度量標準,它是預先任意給定的,與{xn}的極限存在與否無關.不存在.第32頁/共59頁由

N存在與否判斷數列的極限是否存在.

n>N描述

n.通過目標不等式來尋找N

>0,N=N().不等式稱為目標不等式.第33頁/共59頁一般地,

如果數列{xn}當

n時,

列{xn}當

n時以

a為極限,記為xn可以無限地趨近某個常數

a,

則稱數此時,也稱數列是收斂的.第34頁/共59頁例4001第35頁/共59頁若{xn}當

n時沒有極限,

則稱{xn}發散.若時,使當記為或此時,

也稱數列{xn}是收斂的.

極限描述的是變量的變化趨勢

數列的項不一定取到它的極限值.數列極限的定義：第36頁/共59頁例5證故取則n>N時,由極限的定義,得第37頁/共59頁例6證成立.由極限的定義可知:

放大不等式法第38頁/共59頁例7證

通常說成：常數的極限等于其自身.第39頁/共59頁例8證由絕對值不等式,得注意：該例題結論的逆命題不真.例如,{(1)n}.第40頁/共59頁例9證逆命題成立嗎？第41頁/共59頁例10證第42頁/共59頁第43頁/共59頁1.唯一性定理若數列{xn}收斂,則其極限值必唯一.想想,如何證明它？三、數列極限的性質第44頁/共59頁設數列{xn}收斂,但其極限不唯一,不妨設有：證運用反證法任意性由的任意性,上式矛盾,故a=b.第45頁/共59頁

唯一性定理的推論的任何一個子數列都收斂,且均以a為極限.

充分必要條件何謂子數列？第46頁/共59頁子數列的概念

在數列{xn}:x1,x2,,xn,中,保持各項原來的先后次序不變,自左往右任意選取無窮多項所構成的新的數列,稱為原數列的一個子數列,記為

唯一性定理的推論往往用來證明或判斷數列極限不存在．第47頁/共59頁例11解取子數列：第48頁/共59頁例12解利用函數的周期性,在{xn}中取兩個子數列:第49頁/共59頁第50頁/共59頁2.有界性定理

若數列{xn}收斂,

則{xn}必有界.證設則由極限定義,取時,即有則由數列有界的定義得：數列{xn}收斂,則必有界.

該定理的逆命題不真,即有界數列不一定收斂.

例如,{(－1)n}.第51頁/共59頁有界性定理的推論：即無界數列的極限不存在.

無界數列必發散.第52頁/共59頁例13發散的數列不一定都無界.例如,{(－1)n}.第53頁/共59頁

收斂的數列必有界.

有界的數列不一定收斂.

無界的數列必發散.

發散的數列不一定無界.第54頁/共59頁第55頁/共59頁3.保號性定理證由絕