會計學1第講不定積分及其計算

回顧:微分學的基本問題是“已知一個函數,

如何求它的導數.”

積分學包括兩個基本部分:不定積分和定積分.

先研究不定積分的概念、性質和基本積分方法.

那么,如果已知一個函數的導數,要求原來的函數,這類問題,是微分法的逆問題.這就產生了積分學.第1頁/共51頁第六章函數的積分第三節不定積分第2頁/共51頁問題:

若已知某一函數

的導數為?(x),求這個函數.則稱F(x)是已知函數?(x)在該區間I上的一個原函數.一.原函數的定義定義設?(x)定義在區間I上,若存在函數F(x),使得對有例因為，所以因為所以F(x)第3頁/共51頁定理1

若函數?(x)在區間I上連續,則?(x)在區間I上的原函數一定存在.簡言之：連續函數一定有原函數.(證明略)原函數存在性定理:定理設F(x)是函數?(x)在區間I上的一個原函數,則對任何常數C,F(x)+C也是函數?(x)的原函數.證因為問題：(1)原函數是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯系？所以F(x)+C也是函數?(x)的原函數.第4頁/共51頁定理設F(x)和G(x)都是函數?(x)的原函數,則

F(x)–G(x)≡C(常數)證由拉格朗日定理知由此可見:

若F(x)是?(x)的一個原函數,則表達式F(x)+C可表示?(x)的所有原函數。第5頁/共51頁定義一.不定積分的概念第6頁/共51頁任意常數積分號被積函數被積表達式積分變量第7頁/共51頁每一個求導公式,反過來就是一個求原函數的公式,加上積分常數C就成為一個求不定積分的公式.第8頁/共51頁不定積分的幾何意義而是?(x)的原函數一般表達式,所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族,其特點是:(1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y=F(x))沿y軸平行移動|c|個單位而得到.(如圖)當c>0時,向上移動;當c<0時,向下移動.oxyxy=F(x){|c|第9頁/共51頁oxyxy=F(x)(2)即橫坐標相同點處,每條積分曲線上相應點的切線斜率相等,都為?(x).從而相應點的切線相互平行.注:當需要從積分曲線族中求出過點的一條積分曲線時,則只須把代入y=F(x)+C中解出C即可.

第10頁/共51頁例已知一條曲線在任意一點的切線斜率等于該點橫坐標的倒數,且過點求此曲線方程.解設所求曲線為y=?(x),則故所求曲線為y=ln|x|+2第11頁/共51頁二.不定積分的計算利用不定積分的性質換元法(第一、第二)分部積分法部分分式法第12頁/共51頁1.利用性質計算不定積分首先介紹不定積分的基本性質.第13頁/共51頁性質1第14頁/共51頁性質2第15頁/共51頁基本積分表第16頁/共51頁以上積分公式是求不定積分的基礎,必須記牢！第17頁/共51頁例1解第18頁/共51頁例2解絕對值第19頁/共51頁例3解利用加一項、減一項的方法.第20頁/共51頁例4解?利用加一項、減一項的方法.第21頁/共51頁例5解部分分式法第22頁/共51頁例6解第23頁/共51頁例6解第24頁/共51頁例7解想想它是誰的導數？怎么做？利用平方差公式第25頁/共51頁例8解第26頁/共51頁例9解第27頁/共51頁

能利用直接積分法求出的不定積分是很有限的.一.湊微分法(第一類換元法)例

計算分析：此不定積分在積分表中查不到.

換元積分法為了求出更多函數的不定積分,下面學習一些有效的積分法.這是因為被積函數cos2x的變量是“2x”,與積分變量“x”不同.但如果能把被積表達式改變一下,使得被積函數的變量與積分變量變得相同,那么就可用公式求出此不定積分.

(u是x的函數)第28頁/共51頁注:

這種方法的實質是當被積函數為復合函數時,可采用恒等變形將原來的微分dx湊成新的微分d()使原積分變成可直接用積分公式來計算.這種方法稱為湊微分法.其理論依據為第29頁/共51頁定理第30頁/共51頁證利用不定積分的定義及復合函數的求導法則即可.注1.定理中,若u為自變量時,當然有當u換為(x)時,就有成立.——不定積分的這一性質稱為積分形式的不變性.注2.

湊微分法的關鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數的中間變量變得與積分變量相同.即成立.第31頁/共51頁(1)根據被積函數是復合函數的特點和基本積分公式的形式,依據恒等變形的原則,把

dx湊成d(x).如

(2)把被積函數中的某一因子與dx湊成一個新的微分d(x).如“湊微分”的方法有:以下常見的湊微分公式！第32頁/共51頁第33頁/共51頁第34頁/共51頁第35頁/共51頁第36頁/共51頁例10解第37頁/共51頁例11解第38頁/共51頁例12解第39頁/共51頁例13解第40頁/共51頁例14解第41頁/共51頁例15解第42頁/共5