會計學1第機器人動力學24.1剛體動力學拉格朗日函數L被定義為系統的動能K和位能P之差，即:系統動力學方程式，即拉格朗日方程如下：式中，為表示動能和位能的坐標，為相應的速度，而為作用在第i個坐標上的力或是力矩。第四章機器人動力學第2頁/共32頁第1頁/共32頁4.1.1剛體的動能與位能34.1剛體動力學圖4.1一般物體的動能與位能第3頁/共32頁第2頁/共32頁44.1.1剛體的動能與位能為廣義坐標其中，左式第一項為動能隨速度（或角速度）和時間的變化；第二項為動能隨位置（或角度）的變化；第三項為能耗隨速度變化；第四項為位能隨位置的變化。右式為實際外加力或力矩。表示為一般形式：4.1剛體動力學第4頁/共32頁第3頁/共32頁54.1.1剛體的動能與位能均為廣義坐標，有下式：或用矩陣形式表示為：4.1剛體動力學第5頁/共32頁第4頁/共32頁64.1.1剛體的動能與位能二連桿機械手的動能和位能

4.1剛體動力學圖4.2二連桿機器手（1）第6頁/共32頁第5頁/共32頁4.1.1剛體的動能與位能二連桿機械手系統的總動能和總位能分別為：74.1剛體動力學第7頁/共32頁第6頁/共32頁84.1.2動力學方程的兩種求法拉格朗日功能平衡法

二連桿機械手系統的拉格朗日函數L為：

求得力矩的動力學方程式：4.1剛體動力學第8頁/共32頁第7頁/共32頁9拉格朗日功能平衡法比較可得本系統各系數如下：有效慣量耦合慣量向心加速度系數4.1.2動力學方程的兩種求法第9頁/共32頁第8頁/共32頁10拉格朗日功能平衡法哥氏加速度系數重力項4.1.2動力學方程的兩種求法第10頁/共32頁第9頁/共32頁11拉格朗日功能平衡法表4.1給出這些系數值及其與位置的關系。

表4.1負載地面空載09018027010-1064242101111164242323地面滿載09018027010-1018102108404444418102102626外空間負載09018027010-10402202220220010001001001001001004022022202210221024.1.2動力學方程的兩種求法第11頁/共32頁第10頁/共32頁124.1.2動力學方程的兩種求法牛頓-歐拉動態平衡法二連桿系統的動力學方程的一般形式為：式中的W、K、D、P和qi等的含義與拉格朗日法一樣；i為連桿代號，n為連桿數目。 4.1剛體動力學第12頁/共32頁第11頁/共32頁13牛頓-歐拉動態平衡法質量的位置矢量（見圖4.3）為：4.1.2動力學方程的兩種求法圖4.3二連桿機械第13頁/共32頁第12頁/共32頁142．牛頓-歐拉動態平衡法可得:4.1.2動力學方程的兩種求法第14頁/共32頁第13頁/共32頁4.2機械手動力學方程分析由一組A變換描述的任何機械手，求出其動力學方程。推導過程分五步進行：計算任一連桿上任一點的速度；計算各連桿的動能和機械手的總動能；計算各連桿的位能和機械手的總位能；建立機械手系統的拉格朗日函數；對拉格朗日函數求導，以得到動力學方程式。15第四章機器人動力學圖4.4四連桿機械手第15頁/共32頁第14頁/共32頁164.2.1 速度的計算連桿3上點P的速度為：對于連桿i上任一點的速度為：4.2機械手動力學方程第16頁/共32頁第15頁/共32頁174.2.1 速度的計算P點的加速度為：4.2機械手動力學方程第17頁/共32頁第16頁/共32頁184.2.1 速度的計算速度的平方式中，Trace表示矩陣的跡。對于n階方程來說，其跡即為它的主對角線上各元素之和。4.2機械手動力學方程第18頁/共32頁第17頁/共32頁194.2.1 速度的計算任一機械手上一點的速度平方為：4.2機械手動力學方程第19頁/共32頁第18頁/共32頁204.2.2動能和位能的計算動能的計算令連桿3上任一質點P的質量為dm，則其動能為：4.2機械手動力學方程第20頁/共32頁第19頁/共32頁21動能的計算任一機械手連桿i上位置矢量的質點，其動能為：連桿3的動能為：4.2.2動能和位能的計算第21頁/共32頁第20頁/共32頁22動能的計算任何機械手上任一連桿i動能為：式中，為偽慣量矩陣。具有n個連桿的機械手總的功能為：4.2.2動能和位能的計算第22頁/共32頁第21頁/共32頁23動能的計算連桿的傳動裝置動能為：所有關節的傳動裝置總動能為：機械手系統（包括傳動裝置）的總動能為：4.2.2動能和位能的計算第23頁/共32頁第22頁/共32頁244.2.2動能和位能的計算位能的計算 一個在高度h處質量m為的物體，其位能為： 連桿i上位置處的質點dm，其位能為： 式中，。4.2機械手動力學方程第24頁/共32頁第23頁/共32頁25位能的計算連桿上位置處的質點dm，其位能為：機械手系統的總位能為：

4.2.2動能和位能的計算第25頁/共32頁第24頁/共32頁264.2.3動力學方程的推導據式(4.1)求拉格朗日函數

4.2機械手動力學方程第26頁/共32頁第25頁/共32頁274.2.3動力學方程的推導再據式(4.2)求動力學方程，先求導數4.2機械手動力學方程第27頁/共32頁第26頁/共32頁284.2.3動力學方程的推導據式(4.18)知，為對稱矩陣，即，所以下式成立：4.2機械手動力學方程第28頁/共32頁第27頁/共32頁294.2.3動力學方程的推導

4.2機械手動力學方程第29頁/共32頁第28頁/共32頁304.2.3動力學方程的推導4.2機械手動力學方程第30頁/共32頁第29頁/共32頁314.2.3動力學方程的推導具有n個連桿的機械手系統動力學方程如下：4.2機械手動力學方程第31頁/共32頁第30頁/共32頁324.3