上海民辦當代中學2021-2022學年高一數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在等羞數列{an}中，a5=33，a45==153，則201是該數列的A、第60項

B、第61項

C、第62項

D、第63項參考答案：B2.無論值如何變化，函數（）恒過定點A

B

C

D

參考答案：C3.若函數f(x)=在[0，1]上是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.從點向圓引切線，則切線長的最小值(

)A. B.5 C. D.參考答案：A【分析】設切線長為,則再利用二次函數的圖像和性質求函數的最小值得解.【詳解】設切線長為,則,.故選:A.【點睛】本題主要考查圓的切線問題,考查直線和圓的位置關系,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.5.

函數的定義域為（）A．{x|x>1}

B．{x|x<1}

C．{x|－1<x<1}

D．?參考答案：B6.（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據誘導公式和兩角差的正弦公式進行化簡，由此求得正確選項.【詳解】依題意，原式，故選A.【點睛】本小題主要考查三角函數誘導公式，考查兩角差的正弦公式，屬于基礎題.7.函數的值域為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】HW：三角函數的最值．【分析】把函數y看成P（cosθ，sinθ）與A（﹣2，3）兩點連線的斜率，P點的軌跡是圓心為原點的單位圓的一部分，求出直線PA與圓相切時的斜率，結合圖形可得函數y的值域．【解答】解：記P（cosθ，sinθ），A（﹣2，3），則y=kPA=，θ∈；其中P點的軌跡是圓心為原點的單位圓的一部分，如圖所示：當直線PA與圓相切時，設切線方程為y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由d==1，解得k=﹣2+，或k=﹣2﹣（不合題意，舍去），當直線PA過點M（0，﹣1）時，k==﹣2，綜上，y=kPA∈，即函數的值域為．故選：D．8.函數的定義域為（）A.[0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞) C.[0,+∞) D.(0,+∞)參考答案：B【分析】根據函數f（x）的解析式，求出使解析式有意義的自變量取值范圍即可．【詳解】函數，∴，解得x＞0且x≠1，∴f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．故選：B．【點睛】本題考查了根據解析式求函數定義域的應用問題，是基礎題．9..函數的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別為3，5，9，則的單調遞增區間是（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：A【分析】先分析得到函數的最小正周期是6，求出函數在一個周期上的單調遞增區間是，再求出函數的單調遞增區間.【詳解】因為函數與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別為3，5，9，所以函數在時取得最大值，在時取得最小值，所以函數的最小正周期是6.易知函數在一個周期上的單調遞增區間是，所以函數的單調遞增區間是，.故選：A【點睛】本題主要考查三角函數的圖像和性質，考查三角函數的單調區間的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.給出以下命題：

①若、均為第一象限角，且，且；②若函數的最小正周期是，則；③函數是奇函數；④函數的周期是⑤函數的值域是其中正確命題的個數為：A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數圖像關于直線對稱，當時，是增函數，則不等式的解集為

．參考答案：由題意可知是偶函數，且在遞增，所以得即解得，所以不等式的解集為.故答案為

12.已知則的值為________.參考答案：13.（5分）下列五個命題中：①函數y=loga（2x﹣1）+2015（a＞0且a≠1）的圖象過定點（1，2015）；②若定義域為R函數f（x）滿足：對任意互不相等的x1、x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，則f（x）是減函數；③f（x+1）=x2﹣1，則f（x）=x2﹣2x；④若函數f（x）=是奇函數，則實數a=﹣1；⑤若a=（c＞0，c≠1），則實數a=3．其中正確的命題是

．（填上相應的序號）．參考答案：①③⑤考點： 命題的真假判斷與應用．專題： 函數的性質及應用．分析： ①，令函數y=f（x）=loga（2x﹣1）+2015（a＞0且a≠1），易求f（1）=2015，可判斷①；②，依題意，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?＞0，利用函數單調性的定義可判斷②；③，易求f（x+1）═（x+1）2﹣2（x+1），于是知f（x）=x2﹣2x，可判斷③；④，依題意知f（0）=0，可求得a=1，可判斷④；⑤，利用對數的換底公式，可得a==log28=3（c＞0，c≠1），可判斷⑤．解答： 對于①，函數y=f（x）=loga（2x﹣1）+2015（a＞0且a≠1），有f（1）=2015，即其圖象過定點（1，2015），故①正確；對于②，若定義域為R函數f（x）滿足：對任意互不相等的x1、x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即k=＞0，則f（x）是增函數，故②錯誤；對于③，f（x+1）=x2﹣1=[（x+1）﹣1]2﹣1=（x+1）2﹣2（x+1），則f（x）=x2﹣2x，故③正確；對于④，若函數f（x）=是奇函數，又其定義域為R，故f（0）==0，解得實數a=1，故④錯誤；對于⑤，若a==log28（c＞0，c≠1），則實數a=3，故⑤正確．綜上所述，正確選項為：①③⑤．故答案為：①③⑤．點評： 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查對數函數的圖象與性質，考查函數的單調性與奇偶性的判斷，屬于中檔題．14.如右圖，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數為__________．參考答案：

8

15.已知函數，若存在正整數滿足：，那么我們把叫做關于的“對整數”，則當時，“對整數”共有_______________個參考答案：2由得：，當時，“對整數”共有2個，即時。

16.（6分）設集合S={x|x＜1}，T={x|x≤2}，則S∩T=

；S∪T=

；T∩?RS=

．（R表示實數集）參考答案：（﹣∞，1），（﹣∞，2]，{x|1≤x≤2}.考點： 交、并、補集的混合運算；交集及其運算．專題： 集合．分析： 根據交集并集補集的概念，即可求出解答： ∵S={x|x＜1}，T={x|x≤2}，∴?RS═{x|x≥1}，∴S∩T={x|x＜1}=（﹣∞，1），S∪T={x|x≤2}=（﹣∞，2]，T∩?RS={x|1≤x≤2}=，故答案為：（﹣∞，1），（﹣∞，2]，點評： 此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．17.如圖，⊙O的半徑為1，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，從A、B、C、D、E、F六點中任意取兩點，并連接成線段，則線段的長為的概率是_____．參考答案：【分析】先計算出所有線段條數的總數，并從中找出長度為的線段條數，利用古典概型概率公式計算所求事件的概率。【詳解】在、、、、、中任取兩點的所有線段有：、、、、、、、、、、、、、、，共條，其中長度為的線段有：、、、、、，共條，由古典概型的概率公式可知，線段的長為的概率是，故答案為：。【點睛】本題考查古典概型概率的計算，考查概率公式的應用，其中列舉基本事件時，可以利用枚舉法與樹狀圖法來列舉，在列舉應遵循不重不漏的原則進行，考查計算能力，屬于中等題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數，．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)在閉區間上的最大值和最小值．參考答案：解：(Ⅰ)，∴的最小正周期．(Ⅱ)由解得；由解得；∴的單調遞減區間是，；單調遞增區間是，，∴在區間上是減函數，在區間上是增函數，又，，，∴函數在區間上的最大值為，最小值為．

19.在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的長；（2）求cos（A﹣）的值．參考答案：【考點】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的長；（2）求出cosA、sinA，利用兩角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A為三角形的內角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．20.在ABC中內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，已知a、b、c成等比數列，且

（1）求cotA+cotC的值；（2）設，求a+c的值。參考答案：解析:(1)由a,b,c成等比數列,∴b2=ac∴由正弦定理得：sin2B=sinAsinC①

又②

∴①代入②得

(2)由∴③

由余弦定理b2=a2+c2-2accosB④∴③代入④得2=a2+c2-3∴a2+c2=5

∴(a+c)2=5+2ac=9又∵a+c>0∴a+c=3

21.已知函數是奇函數，（1）求的值；（2）在（1）的條件下判斷在上的單調性，并運用單調性的定義予以證明．參考答案：解：（1）是奇函數，則．由或．

當時，，這與題設矛盾，

當時，為奇函數，滿足題設條件．

（2）在（1）的條件下，在上是減函數，證明如下：設，且，則，

，即，

又，即，在上是減函數．

略22.某房地產開發商為吸引更多的消費者購房，決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個花園，如圖，已知扇形AOB的圓心角∠AOB=，半徑為R，現欲修建的花園為平行四邊形OMNH，其中M，H分別在OA，OB上，N在AB上，設∠MON=θ，平行四邊形OMNH的面積為S．（1）將S表示為關于θ的函數；（2）求S的最大值及相應的θ值．參考答案：【考點】G8：扇形面積公式．【分析】（1）分別過N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，則HEDN為矩形，求出邊長，即可求S關于θ的函數關系式；（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，通過θ的范圍求出S的最大值及相應的θ角【解答】解：（1）分別過N、H