河南省南陽市廟崗中學2021-2022學年高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＞1}，則（?UA）∩B=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤1}參考答案：A【考點】1H：交、并、補集的混合運算．【分析】由全集R，求出集合A的補集，求出集合A與集合B的補集的交集即可．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x＜2}，∴?UA=A={x|x≥2}，∵集合B={x|x＞1}，∴（?UA）∩B={x|x≥2}，故選：A．2.下列說法錯誤的是（）A．回歸直線過樣本點的中心（，）B．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值就越接近于1C．對分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越小D．在回歸直線方程=0.2x+0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時預報變量平均增加0.2個單位參考答案：C【考點】BK：線性回歸方程．【分析】利用線性回歸的有關知識即可判斷出．【解答】解：A．回歸直線過樣本點的中心（，），正確；B．兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近1，因此正確；C．對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，“X與Y有關系”可信程度越大，因此不正確；D．在線性回歸方程=0.2x+0.8中，當x每增加1個單位時，預報量平均增加0.2個單位，正確．綜上可知：只有C不正確．故選：C．【點評】本題考查了線性回歸的有關知識，考查了推理能力，屬于中檔題．3.已知F1，F2是雙曲線的左右焦點，若在右支上存在點A使得點F2到直線AF1的距離為2a，則離心率e的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B設，所以選B.

4.若，且，，則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.已知如圖所示的程序框圖，當輸入時，輸出的值（

）A

B

C

D參考答案：A略6.如圖所示的方格紙中有定點，則

A．

B．

C．

D．參考答案：C7.復數（i是虛數單位）的虛部是（） A． B． C．3 D．1參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念． 【專題】計算題． 【分析】直接利用復數的除法運算法則進行化簡成最簡形式，再根據復數的虛部的概念得出答案即可． 【解答】解：， 其虛部為：． 故選B． 【點評】本題主要考查了復數的基本概念、利用復數的除法的運算法則化簡復數．解題的關鍵是要牢記對于分式類型的復數的化簡要分子分母同時乘以分母的共軛復數！ 8.已知且函數恰有3個不同的零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：C略9.設函數f（x）＝（sinx＋cosx），若0＜x＜2015π，則函數f（x）的各極大值之和為

A．B．

C．

D．參考答案：D略10.設x，y滿足約束條件若目標函數的最大值1，則的最小值為

（

）A．

B．

C．

D．4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為_____________參考答案：4略12.為了了解名學生對學校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為的樣本，考慮用系統抽樣，則分段的間隔為__________________．參考答案：_20_略13.已知f（x）=，F（x）=2f（x）﹣x有2個零點，則實數a的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，]

【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】討論x＞0時，函數F（x）的導數和單調區間、極值和最值，確定零點的個數為1，可得x≤0時，F（x）=2x2+（2a﹣1）x只有一個零點，解方程可得x=0，則2a﹣1≤0，即可得到所求a的范圍．【解答】解：當x＞0時，F（x）=2f（x）﹣x=2ln（x+1）﹣x，導數為F′（x）=﹣1=，當0＜x＜1時，F′（x）＞0，F（x）遞增；當x＞1時，F′（x）＜0，F（x）遞減．可得x=1處F（x）取得極大值，且為最大值2ln2﹣1＞0，由F（x）=2ln（x+1）﹣x過原點，則x＞0時，F（x）只有一個零點，可得x≤0時，F（x）=2f（x）﹣x=2x2+（2a﹣1）x只有一個零點，x=0顯然成立；則2x+2a﹣1=0的根為0或正數．則2a﹣1≤0，解得a≤．故答案為：（﹣∞，]．14.有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體的表面積為：_______參考答案：15.二項式展開式中，只有第7項的二次項系數最大，則展開式中常數項是

．參考答案：7920因為二項式展開式中，只有第7項的二次項系數最大，所以展開式共有13項，即n=12，則的展開式的通項為令，得x=4，即展開式中常數項是．

16.已知拋物線，過焦點F作傾角為的直線l，若l與拋物線交于B、C兩點，則弦BC的長為

。參考答案：答案:

17.有下列命題：①函數的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為；②函數的圖象關于點對稱；③關于的方程有且僅有一個實數根，則實數；④已知命題：對任意的，都有，則：存在，使得。其中所有真命題的序號是

參考答案：③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2（a∈R）．（Ⅰ）當a≤1時，求f（x）的單調區間；（Ⅱ）當x∈（0，+∞）時，y=f′（x）的圖象恒在y=ax3+x﹣（a﹣1）x的圖象上方，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用．【分析】（1）首先求出f（x）的導函數，分類討論a的大小來判斷函數的單調性；（2）利用轉化思想：當x∈（0，+∞）時，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立；【解答】解：（I）f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣a）當a≤0時，ex﹣a＞0，∴x∈（﹣∞，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當0＜a≤1時，令f'（x）=0得x=0或x=lna．（i）當0＜a＜1時，lna＜0，故：x∈（﹣∞，lna）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（lna，0）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

（ii）當a=1時，lna=0，f'（x）=xex﹣ax=x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，無減區間；

綜上，當a≤0時，f（x）的單調增區間是（0，+∞），單調減區間是（﹣∞，0）；當0＜a＜1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，lna）和（0，+∞），單調減區間是（lna，0）；當a=1時，f（x）的單調增區間是（﹣∞，+∞），無減區間．（II）由（I）知f'（x）=xex﹣ax當x∈（0，+∞）時，y=f'（x）的圖象恒在y=ax3+x2﹣（a﹣1）x的圖象上方；即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x對x∈（0，+∞）恒成立；即ex﹣ax2﹣x﹣1＞0對x∈（0，+∞）恒成立；

記g（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），∴g'（x）=ex﹣2ax﹣1=h（x）；∴h'（x）=ex﹣2a；（i）當時，h'（x）=ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴g'（x）＞g'（0）=0；∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增；∴g（x）＞g（0）=0，符合題意；

（ii）當時，令h'（x）=0得x=ln（2a）；∴x∈（0，ln（2a））時，h'（x）＜0，∴g'（x）在（0，ln（2a））上單調遞減；∴x∈（0，ln（2a））時，g'（x）＜g'（0）=0；∴g（x）在（0，ln（2a））上單調遞減，∴x∈（0，ln（2a））時，g（x）＜g（0）=0，不符合題意；

綜上可得a的取值范圍是．19.（本小題滿分13分）已知函數，其中．（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）設．若，使，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）解：①當時，．

故的單調減區間為，；無單調增區間．

………………1分②當時，．

………………3分令，得，．和的情況如下：↘

↗

↘故的單調減區間為，；單調增區間為．………………5分③當時，的定義域為．

因為在上恒成立，故的單調減區間為，，；無單調增區間．………………7分（Ⅱ）解：因為，，所以

等價于，其中．

………………9分設，在區間上的最大值為．………………11分則“，使得”等價于．所以，的取值范圍是．

………………13分20.已知函數.（1）求函數在區間[0,1]上零點個數；（其中為f(x)的導數）（2）若關于x的不等式在[1,+∞)上恒成立，試求實數a的取值范圍.參考答案：(1)只有一個零點；(2)【分析】（1）根據可得，為遞增函數，再根據零點存在性定理得出答案.（2）將不等式整理轉化為求函數在的最小值，利用導數判斷單調性和取值范圍，遂可得解.【詳解】解：（1）函數的導數，則在區間遞增，又，，則函數在區間上只有一個零點；（2）若關于的不等式在上恒成立，整理得，即求函數在的最小值由的導數，由的導數為，可得時，，函數遞增，時，函數遞減，則，即，當時，，則在遞增，可得，則.【點睛】本題考查了導數的應用，零點存在性定理和恒成立問題，考查了計算能力和邏輯能力，屬于中檔題.21.已知等差數列滿足，，在數列中，，. （1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.參考答案：解：（1）設等差數列的公差為d，由已知條件可得解得故數列的通項公式為又由已知可得：在數列中，，且∴數列是以1為首項，2為公比的等比數列∴數列的通項公式為

（2）設數列，即，所以，當時，所以綜上所述，數列略22.（2017?唐山一模）已知函數f（x）=sinx+tanx﹣2x．（1）證明：函數f（x）在（﹣，）上單調遞增；（2）若x∈（0，），f（x）≥mx2，求m的取值范圍．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用．【分析】（1）利用導函數的性質證明即可．（2）利用導函數求解x∈（0，），對m進行討論，構造函數思想，結合導函數的單調性，求解m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數f（x）=sinx+tanx﹣2x則，∵，∴cosx∈（0，1]，于是（等號當且僅當x=0時成立）．故函數f（x）在上單調遞增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在上單調遞增，又f（0）=0，∴f（x）＞0，（ⅰ）當m≤0時，f（x）＞0≥mx2成立．（ⅱ）當m＞0時，令p（x）=sinx﹣x，則p'（x）=cosx﹣1，當時，p'（x）＜0，p（x）單調遞減，又p（0）=0，所以p（x）＜0，故時，sinx＜x．（*）由（*）式可得f（x）﹣mx2=sinx+tanx﹣2x﹣mx2＜tanx﹣x﹣mx2，令g（