第二章多項(xiàng)式插值與函數(shù)逼近/*Polynomial

Interpolationand

ApproximationofFunctions*/本章主要內(nèi)容：一、插值部分：

1、Lagrange插值方法

2、Newton插值方法

3、Hermite插值方法

4、三次樣條插值方法二、函數(shù)逼近—最佳平方逼近和最佳一致逼近§1拉格朗日多項(xiàng)式

（LagrangeInterpolationPolynomial）niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項(xiàng)式使得條件：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(guò)(x0

,y0)和(x1,y1

)兩點(diǎn)的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)n=2已知x0

,x1

,

x2;

y0

,

y1

,y2求使得即

P2(x)是過(guò)(x0

,y0)、(x1,y1

)和(x2,y2)三點(diǎn)的拋物線。==20)(iiiyxl稱為拉格朗日基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ijn

=k?思考？！與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)li(x)LagrangePolynomial節(jié)點(diǎn)f若記例如也是一個(gè)插值多項(xiàng)式，其中可以是任意多項(xiàng)式。（2）Lagrange插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，形式簡(jiǎn)單.（3）誤差估計(jì)注：（1）若不將多項(xiàng)式次數(shù)限制為n

，則插值多項(xiàng)式不唯一。（4）當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加時(shí)，拉氏基函數(shù)需要重新計(jì)算，

n較大時(shí)，計(jì)算量非常大,故常用于理論分析。截?cái)嗾`差插值余項(xiàng)設(shè)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在區(qū)間[a,b]上存在,

是滿足插值條件（*）的不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式，則對(duì)存在，滿足其中。且當(dāng)在區(qū)間[a,b]有上界時(shí)，有代數(shù)插值的插值余項(xiàng)/*Remainder*/注：（1）插值誤差與節(jié)點(diǎn)和之間的距離有關(guān)；

（2）如果本身為多項(xiàng)式，其插值函數(shù)為本身。

（3）通常不能確定,而是估計(jì),x(a,b)

將作為誤差估計(jì)上限。Quiz:

給定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪個(gè)是l2(x)的圖像？

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

y

0

-

-

-

1

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

x

ABC例1：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange

插值計(jì)算sin50

并估計(jì)誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計(jì)算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614利用sin50

0.76008,選擇要計(jì)算的x

在區(qū)間的內(nèi)部，插值效果較好。高次插值通常優(yōu)于低次插值n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…但絕對(duì)不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……反插值問(wèn)題已知定義于區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，若函數(shù)值已知，如何求？即求因此可以看作如下插值問(wèn)題：已知定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值，求函數(shù)值

xi

1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2例2：已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)在如下采樣點(diǎn)的函數(shù)值：求方程在[1，2]內(nèi)根的近似值。解：Lagrange

插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)

都需重新算過(guò)。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，只附加一項(xiàng)上去即可。????差商(亦稱均差)

/*divideddifference*/1階差商

/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xi

andxj

*/2階差商§2Newton插值多項(xiàng)式（

Newton’sInterpolationPolynomial）11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(K+1)階差商：事實(shí)上其中差商的值與xi

的順序無(wú)關(guān)！牛頓插值

/*Newton’sInterpolation*/已知定義于區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在個(gè)互異節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值n次Lagrange

插值多項(xiàng)式可表示為：其中12…………n+11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]3思考f(x)=？提示注：

由唯一性可知Nn(x)Ln(x)，只是算法不同，故其余項(xiàng)也相同，即

實(shí)際計(jì)算過(guò)程為（建立差商表）f[x0,x1]f[x1,x2]…………f[xn1,xn]f[x0,x1,x2]……f[xn2,xn1,xn]f[x0,…,xn]

xn+1

f(xn+1)f[xn,xn+1]f[xn1,xn,xn+1]f[x1,…,xn+1]f[x0,…,xn+1]f(x0)f(x1)f(x2)…