《直線與直線垂直》同步作業一、選擇題1．已知直線a，b，c，下列三個命題：①若a與b異面，b與c異面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，則b∥c.其中，正確命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3A解析：[①不正確如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③不正確．可能平行，可能相交也可能異面．]2.如圖,在三棱錐D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分別是棱DC,AB的中點,則EF和AC所成的角等于()°°°°B解析：如圖所示,取BC的中點G,連接FG,EG.∵E,F分別為CD,AB的中點,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=AC,EG=BD.∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG為EF與AC所成的角或其補角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG為等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF與AC所成的角為45°.3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()\f(\r(2),2)\f(\r(3),2)\f(\r(5),2)\f(\r(7),2)C解析：本題主要考查異面直線所成的角．因為CD∥AB，所以∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角．設正方體的棱長為2，連接BE，則BE＝eq\r(5).因為AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，面對角線中與AD1成60°的有()A．4條 B．6條C．8條 D．10條C解析：[如圖所示在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△AD1B1是等邊三角形，故B1D1，AB1與AD1所成的角是60°，同理△ACD1也是等邊三角形，AC，CD1與AD1也成60°角，則在面對角線中，與AC，CD1，B1D1，AB1分別平行的對角線與AD1也成60°角．]5．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°C解析：[設BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角)．連接AC2，因為AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.]二、填空題6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是．90°解析：[如圖，過點M作ME∥DN交CC1于點E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角)．設正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°.]7．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN等于．5解析：[取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.]8．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結論中正確結論的序號為．①③解析：[把正方體平面展開圖還原到原來的正方體，如圖所示，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．]三、解答題9．如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．解析：連接BD，并取其中點E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為60°.10．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分別是BD1和AD中點．求證：CD1⊥EF.[解]取CD1的中點G，連接EG，DG，∵E是BD1的中點，∴EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC.∵F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝eq\f(1,2)BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四邊形EFDG是平行四邊形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其補角)是異面直線CD1與EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四邊形ABB1A1，四邊形CDD1C1都是正方形．且G為CD1的中點，∴DG⊥CD1.∴∠D1GD＝90°，∴異面直線CD1，EF所成的角為90°.∴CD1⊥EF.[等級過關練]1．已知a和b是成60°角的兩條異面直線，則過空間一點且與a、b都成60°角的直線共有()A．1條B．2條C．3條D．4條C解析：把a平移至a′與b相交，其夾角為60°.60°角的補角的平分線c與a、b成60°角．過空間這一點作直線c的平行線即滿足條件．又在60°角的“平分面”上還有兩條滿足條件，故選C.2．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為．60°[連接BC1，AD1，AB1，則EF為△BCC1的中位線，∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1.∴∠AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1為正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF與B1D1所成的角為60°.]4如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,且AB與CD所成的角為30°,E,F分別為BC,AD的中點,則EF與AB所成角的大小為.

15°或75°解析：取AC的中點G,連接EG,FG,則EG∥AB,且EG=AB,FG∥CD,且FG=CD,由AB=CD知EG=FG.易知∠GEF(或它的補角)為EF與AB所成的角,∠EGF(或它的補角)為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°,∴∠EGF=30°或150°.由EG=FG知△EFG為等腰三角形,當∠EGF=30°時,∠GEF=75°;當∠EGF=150°時,∠GEF=15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.5.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,試求AA1的長.解析：連接CD1,AC.由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四邊形A1BCD1是平行四邊形,∴A1B∥CD1,∴∠A