一、問題的提出第三節泰勒（Taylor）公式不足:1、精確度不高；2、誤差不能估計.

問題:能否找到一個n次多項式來逼近并使誤差為的高階無窮小?即亦即即設函數在x0處n階可導證明:證:用歸納法證:設設用k次洛必達法則定理1(Peano型余項的Taylor公式)二、泰勒(Taylor)中值定理設函數在x0處n階可導,則其中設在區間I

上具有n+1階導數，I，則對任何I時,在與之間至少存在一點，使

------（1）定理2(Lagrange型余項的Taylor中值定理)多項式稱為在x0處n次Taylor多項式,公式(1)稱為按的冪展開的n階泰勒公式，稱為拉格朗日型余項

.注

1)n=0時,得到Lagrange中值定理.因此

Taylor公式是Lagrange定理的推廣.2)n=1時,泰勒多項式是微分近似計算公式.證令，則只需證由題意知，在區間Ｉ內具有n+1階的導數,且令g（x）=(x－x0)n+1,則或證根據柯西中值定理有(介于與之間)再次由柯西中值定理有（介于和之間）所以（介于和之間）如此下去,經過n＋1次后，得（介于和之間，因而也介于和之間）絕對誤差：若f(n+1)

在區間Ｉ上有界Ｍ,則有*誤差分析0(n→∞)二、麥克勞林(Maclaurin)公式在泰勒公式中取,則由此得近似公式或----

（Peano型余項）----（Lagrange型余項）此時誤差三、幾個初等函數的麥克勞林公式例1

寫出的階麥克勞林公式.解因而有特別地注①若要求e的近似值,使其誤差不超過10－3

則因而由6!=720,7!=5040,得n=6②可以證明e是無理數.證明：反證，設e不是無理數，則e是有理數.設，展開ex

至q階:xqqxeqxqxxxeq)!1(!!2112++++++=+L令x=1:eqq111eq)!1(!!21++++++=L（0<θ<1）→1<eθ<e<3,上式同乘以q！，移項：eqq1+得是整數，這是不對的。例2求f(x)=sinx的M－公式.(k=0,1,2,…,n)0,k=2m(－1)m,k=2m+1可得例3求f(x)=ln(1+x)的M－公式.因此例4求的M－公式.

得到的階麥克勞林公式.例5

寫出的麥克勞林公式.解例6

寫出的帶Lagrange

型余項的n階麥克勞林公式.解四、其它類型的例題例1

寫出的帶L-型余項的二階麥克勞林公式.解要求在處的泰勒公式,可以采用（2）間接法由已知函數的泰勒展開式經過運算獲得.余項一般不是拉格郎日型的余項。（1）直接法求出代入泰勒公式中.解例2

求在處的階Ｔaylor公式.在處?例3求f(x)=ln(1+x)在x=1處的n階的Taylor公式.解五利用泰勒展開式可以求極限例1

求極限oo解例3求解原式==(lna)2例4

利用泰勒公式求極限解例5設函數f(x)在[0,2]上二階可導,且當x∈[0,2]時,|f(x)|≤1,,證明自己做:(1)設f(x)在(a,b)內二階可導,且

,則存在一點c∈(a,b),使得例5解：(2)設f(x)在[0,1]上二階可導,且及,試證(3)設f(x)在[a,b]上二階可導,且

(2)解：設x0∈(0，1)，使f(x0)=

，則x0是極值點，從而f’(x0)=0。特別:(3)解：設x0=

解一：解二：特別:例6當x→0時,要使是關于x的四階無窮小,應等于多少?解1/2sin2x所以

泰勒中值定理的應用:涉及函數的高階導數(1)泰勒多項式用于近似計算;(3)Peano余項的泰勒公式用于求極限;(4