2022-2023學年河北省石家莊市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.A.-1

B.1

C.

D.2

2.

3.函數f(x)=5x在區間[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

4.設f(x)，g(x)在[a，b]上連續，則()。

A.若,則在[a，b]上f(x)=0

B.若，則在[a，b]上f(x)=g(x)

C.若a<c<d<b，則

D.若f(x)≤g(z)，則

5.A.dx+dyB.1/3·(dx+dy)C.2/3·(dx+dy)D.2(dx+dy)6.A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與口有關7.A.A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/38.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與k有關

9.

10.

11.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

12.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（）。A.球面B.柱面C.旋轉拋物面D.圓錐面

13.

14.若f(x)為[a，b]上的連續函數，（）。A.小于0B.大于0C.等于0D.不確定15.方程y"+3y'=x2的待定特解y*應取()．A.A.AxB.Ax2+Bx+CC.Ax2D.x(Ax2+Bx+C)

16.

17.

18.下列命題中正確的有（）A.A.

B.

C.

D.

19.

20.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.設y=cos3x，則y'=__________。

26.設z=tan(xy-x2)，則=______．

27.

28.29.

30.

31.

32.

33.

34.35.

36.

37.通解為C1e-x＋C2e-2x的二階常系數線性齊次微分方程是____.

38.

39.

40.設y=1nx，則y'=__________．三、計算題(20題)41.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

42.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

43.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．44.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

45.

46.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．48.求微分方程的通解．49.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

50.51.

52.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

53.

54.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．55.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．56.57.58.證明：59.

60.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則四、解答題(10題)61.將f(x)=sin3x展開為x的冪級數，并指出其收斂區間。62.(本題滿分10分)將f(x)＝ln(1＋x2)展開為x的冪級數．

63.

64.

65.

66.求由曲線y2=(x-1)3和直線x=2所圍成的圖形繞x軸旋轉所得的旋轉體的體積.

67.

68.已知曲線C的方程為y=3x2，直線ι的方程為y=6x。求由曲線C與直線ι圍成的平面圖形的面積S。

69.

70.

五、高等數學(0題)71.用拉格朗日乘數法計算z=x2+y2+1在條件x+y=3下的極值。

六、解答題(0題)72.設函數y=sin(2x-1),求y'。

參考答案

1.A

2.D解析：

3.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上單調增加，最大值為f(1)=5，所以選D。

4.D由定積分性質：若f(x)≤g(x)，則

5.C本題考查了二元函數的全微分的知識點，

6.A

7.A

8.A本題考查的知識點為無窮級數的收斂性。

9.A

10.B

11.C

12.B

13.C

14.C

15.D本題考查的知識點為二階常系數線性微分方程特解y*的取法．

由于相應齊次方程為y"+3y'0，

其特征方程為r2+3r=0，

特征根為r1=0，r2=-3，

自由項f(x)=x2，相應于Pn(x)eαx中α=0為單特征根，因此應設

故應選D．

16.A

17.D

18.B

19.B

20.D

21.

22.

23.55解析：

24.

25.-3sin3x

26.本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

z=tan(xy-x2)，

27.

28.

29.

30.

解析：

31.31/16;2本題考查了函數的最大、最小值的知識點.

f'(x)=3ax2-12ax,f'(x)=0,則x=0或x=4,而x=4不在[-1,2]中,故舍去.f''(x)=6ax-12a,f''(0)=-12a,因為a＞0,所以f"(0)＜0,所以x=0是極值點.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a,f(0)=b,f(2)=8a-24a+b=b-16a,因為a＞0,故當x=0時,f(x)最大,即b=2;當x=2時，f(x)最小.所以b-16a=-29,即16a=2+29=31,故a=31/16.

32.

33.00解析：

34.本題考查了一元函數的導數的知識點

35.答案：1

36.3yx3y-13yx3y-1

解析：

37.

38.

39.

40.

41.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

42.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

43.

44.由二重積分物理意義知

45.46.函數的定義域為

注意

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.

49.

50.

51.由一階線性微分方程通解公式有

52.

53.

54.

55.

列表：

說明

56.

57.

58.

59.

則

60.由等價無窮小量的定義可知

61.62.本題考查的知識點為將函數展開為冪級數．

【解題指導】

本題中考生出現的常見錯誤是對1n(1＋x2)關于x的冪級數不注明該級數的收斂區間，這是要扣分的。

63.

64.

65.

66.注:本題關鍵是確定積分區間,曲線為y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x≥1,又與直線x=2所圍成的圖形，所以積分區間為[1,2].

67.

68.

69.

70.

71.z=x2+y2+1在條件x+y=3下的極值設F=x2+y2+1+λ(x+y一3)；Fx"=2x+λ=0；Fy"=2y+λ=0；Fλ"=x+y一3=0；x=1．5；y=1．5由實際問題有最小值∴極小值z｜(2.51.5)=5．5z=x2