機械波第七章駐波的形成駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時疊加而成的。§7-6駐波1.弦線上的駐波實驗駐波現象：振幅、頻率、傳播速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而形成的一種特殊的干涉現象。實驗——弦線上的駐波：OACEFGHBD波節OBDFH波腹ACEG用電動音叉在繩上產生駐波這一駐波是由音叉在繩中引起的向右傳播的波和反射后向左傳播的波合成的結果。改變拉緊繩子的張力，就能改變波在繩上的傳播速度。弦線長度等于半波長的整數倍時形成駐波。——

駐波條件兩端固定一端固定兩端固定

的弦振動的簡正模式一端固定一端自由的弦振動的簡正模式沿x軸的正、負方向傳播的波合成波合成波的振幅與位置x

有關。2.駐波波函數

合成波的振幅與位置x

有關。波腹位置波節位置

相鄰兩波腹(節)距離為/2。相位分布圖相位分布波節波節波節振幅項2Acos(2x/)可正可負，時間項cos(t)對波線上所有質點有相同的值，表明駐波上相鄰波節間質點振動相位相同，波節兩邊的質點的振動有相位差p。在駐波形成后，各個質點分別在各自的平衡位置附近作簡諧運動。能量(動能和勢能)在波節和波腹之間來回傳遞，無能量的傳播。

能量分布t

0時刻：各點Ek

0，波節Ep最大t

T/4時刻：各點Ep

0，波腹Ek最大能量由波節向波腹流動瞬時位移為0，能量由波腹向波節流動勢能→動能動能最大。勢能為0，動能→勢能EpEpEkEpEpEk駐波能量流動特性能量(動能和勢能)在波節和波腹之間來回傳遞，但無能量的定向傳播。駐波的形成

半波損失的引入在反射點B處形成波節原因：入射波和反射波在B點相位差為p(半波 損失)，合振動減弱為0。推廣：①彈性波傳播情況（按照z

u來劃分波疏波密介質）②電磁波的情況（按照折射率n來劃分光疏光密介質）波疏介質波密介質p垂直入射波密介質波疏介質0垂直入射波密介質較大波疏介質較小半波損失當波從波疏介質垂直入射到波密介質，被反射到波疏介質時形成波節。入射波與反射波在此處的相位時時相反，即反射波在分界處產生的相位躍變，相當于出現了半個波長的波程差，稱半波損失。當波從波密介質垂直入射到波疏介質，被反射到波密介質時形成波腹。入射波與反射波在此處的相位時時相同，即反射波在分界處不產生相位躍變。例題兩人各執長為l的繩的一端，以相同的角頻率和振幅在繩上激起振動，右端的人的振動比左端的人的振動相位超前，試以繩的中點為坐標原點描寫合成駐波。由于繩很長，不考慮反射。繩上的波速設為u。解左端的振動右端的振動右行波表達式：左行波表達式：x

l/2時，y1

Acos

t，即

x

l/2時，y2

Acos(

t

f

)，即

右行波、左行波表達式：合成波當

0，x0處為波腹；當時，x0處為波節。為了在此弦線上形成駐波，并且在x

0處為一波節，此弦線上應有另一簡諧波，試求其表達式。解：設在弦線上的另一簡諧波的表達式為：例題在弦線上有一簡諧波，其表達式是：兩波在x

0處的振動相位，必須時刻相反，才可使相干波在此處為波節：將f20的結果代入y2的表達式，即得。Pox疏密在x

3/4處有反射面如圖。例一平面簡諧波沿x軸正向傳播，波動方程為：求：在考慮半波損失時，反射波的波動表式。由已知條件，可知：解：先求入射波在P點的振動方程。x03/4再求反射波在P點的振動方程。反射波以P點為波源，沿x軸負方向傳播。討論：波節和波腹的x坐標？課后。由題意，在P點入射波與反射波相差相位，1．如圖，已知P點的振動方程為寫出O點質元的振動方程寫出以O點為坐標原點的波動表示解：左行波，P點相位落后，故有O點質元的振動方程檢查方法：將P點坐標代入波動表示，看是否和已知條件一致。2．設有一波沿著繩子傳播，其波函數為

y

Acos2(t/T

x/)(1)若此波在x0處發生反射，反射點為自由端，求反射波波函數(2)若此波在x0處發生反射，反射點為固定點，求反射波波函數(1)若此波在x0處發生反射，反射點為自由端，求反射波波函數為(2)若此波在x0處發生反射，反射點為固定點，求反射波波函數設有一波沿著繩子傳播，其波函數為

y

Acos2(t/T

x/)例一沿x方向傳播的入射波在x

0處發生反射，反射點為一波節。已知波函數為求(1)反射波的波函數；

(2)求合成波（駐波）的波函數；

(3)各波腹和波節的位置坐標。解：(1)反射點為波節，說明波反射時有的相位躍變，所以反射波的波函數為(2)

合成波（駐波）的波函數為(3)

形成波腹的各點，振幅最大，即形成波節的各點，振幅為零，即環形駐波二維駐波高聲強的聲波具有非線性效應，這一效應可對聲場中的物體產生壓差，將輕小物體懸浮在聲波駐波的波節附近。上圖中的這次實驗在上下左右都設置了超聲波相控陣列，從而實現了對物體的三維移動。三維駐波當波源S或觀察者R相對于介質運動時，觀察者所接收的頻率R不等于波源振動頻率S的現象。§7-7多普勒效應當波源S或觀察者R相對于介質運動時，觀察者所接收的頻率R不等于波源振動頻率S的現象。機械波的多普勒效應參考系：介質R·VRS：波源振動頻率；

R：觀察者接收頻率；

w：波的頻率（單位時間內通過介質中某點的波的數目）當波源和觀察者都靜止(VS

0，VR

0)

R

w

S§7-7多普勒效應VsS·(1)波源不動，觀察者以速度VR相相對于介質運動波源速度VS

0，觀察者向波源運動的速度為VR(0)波源S

靜止，觀察者O以速度VR相對介質運動S·O單位時間內，位于觀察者左邊的波源發出的波向右傳播了距離u，w

S，R

wu波源S

靜止，觀察者O以速度VR相對介質運動S·OuVR單位時間內，位于觀察者左邊的波源發出的波向右傳播了距離u，同時觀察者向左移動了距離VR，這相當于波通過觀察者的距離為uVR。單位時間內，通過觀察者的完整波的個數(頻率)為：

若O背離S運動，則以VR代替VR。w

S，R

w(2)觀察者不動，波源以速度vS相對于介質運動l

·OS

·單位時間內通過觀察者O的完整的波的個數(頻率)：波源背離觀察者運動時，以代即可。觀察者O相對介質靜止，波源S

以速度VS相對介質運動，觀察者測得的波長：。SuTS運動的前方波長縮短··R

ww

S討論波源與觀察者相向運動的情形。當波源與觀察者背離而去時，上式的和分別用和代替。(3)觀察者與波源同時相對介質而運動RSVSVRS

w

R由于波源的運動，介質中波的頻率：由于觀察者的運動，觀察者接收的頻率：1）測量天體相對地球的視線速度遠處星體發光有紅移現象---宇宙大爆炸由紅移可得恒星的退行速度多普勒效應的應用2）技術上，測量運動物體的視線速度如飛機接近雷達的速度、汽車的行駛速度、人造衛星的跟蹤、流體的流速。警察用多普勒測速儀測速超聲多普勒效應測血流速3）醫學上“超”利用超聲波的多普勒效應體檢

胎兒的超聲波影象（假彩色）例：一固定的超聲源發出頻率為100MHz的超聲波。一汽車向超聲源迎面駛來，在超聲源處接收到從汽車反射回來的超聲波，其頻率為110MHz，設空氣中的聲速為330m/s，試計算汽車的行駛速度。解：設汽車相對于空氣速度為VB

，汽車接收到從超聲源發來的超聲波頻率是：超聲波從汽車反射時，汽車又作為新的超聲波源（惠更斯原理），這超聲源相對于空氣的運動速度是VB

。（觀察者運動的情況）又因為接收器相對于空氣靜止，所以其接收到的超聲波頻率是：把已知條件2110MHz

代入上式，解得：（波源運動的情況）例車上一警笛發射頻率為1500Hz的聲波，該車以20m/s的速度向某方向運動，某人以5m/s的速度跟蹤起后，已知空氣聲速為330m/s。求該人聽到的警笛發聲頻率以及在警笛后方空氣中聲波的波長。解：由已知條件得人聽到的頻率為：警笛后方的空氣不隨波前進，即有。空氣中波長：*電磁波的多普勒效應電磁波的傳播不依賴彈性介質，波源和觀測者之間的相對運動速度決定了接聽到的頻率。電磁波以光速傳播，應考慮相對論時空變換關系。當波源和觀測者在同一直線上運動時，得到V—波源和接收器之間相對運動的速度。波源與觀測者相互接近時，V取正值；反之，V取負值。前者接收到的頻率比發射頻率高，稱為紫移；后者接收到的頻率比發射頻率低，稱為紅移。*沖擊波當波源運動的速度vS超過波速時，波源將位于波前的前方，前述的計算公式不再有意義。波源發出的波的各波前的切面形成一個圓錐面。錐形的頂角滿足：—馬赫數超音速的子彈在空氣中形成的激波（馬赫數為2）沖擊波的