第2章一元線性回歸分析?一元線性回歸模型；?線性回歸方程的顯著性檢驗；?預測值與預測區間；?可化為一元線性回歸的曲線回歸；?環境應用。1第1節一元線性回歸模型?回歸分析概述?一元線性回歸模型假設條件?一元線性回歸方程?回歸系數最小二乘法估計2“回歸”一詞是由英國生物學家高爾頓F.Galton(1822-1911年)在研究人體身高的遺傳問題時首先提出的。發現兒子身高（Y，英寸）與父親身高（X，英寸）存在線性關系。也即高個子父代的子代在成年之后的身高平均來說不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮個子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton將這種趨向于種族穩定的現象稱之“回歸”。“高爾頓等人關于回歸分析的先驅性的工作，以及時間序列分析方面的一些工作，…是數理統計學發展史中的重要事件.”──摘自《中國大百科全書》（數學卷）。3?33.730.516YX??(1)回歸分析概述回歸分析是處理變量之間相關關系的一種數學方法。八大功能1.WaterQuantityTreatment2.WaterQualityTreatment3.GroundwaterRecharge4.Micro-ClimateAlteration5.VegetativeBuffering6.WildlifeHabitat7.NaturalAreaProtection8.AestheticImprovement三大結構-Plant、Mulch、Soilmedia植物滯留系統降雨初期1h的下凹式綠地進出水濃度關系y=0.6135x-0.1114R2=0.771900.511.522.501234NH4-N出水濃度NH4-N進水濃度下面圖形中X-Y具有相關關系6(1)相關分析和回歸分析之間的聯系：?理論和方法具有一致性；?無相關就無回歸，相關程度越高，回歸越好；?相關系數和回歸系數方向一致，可以互相推算。(2)相關分析和回歸分析之間的區別：?相關分析中x與y對等，回歸分析中x與y要確定自變量和因變量；?相關分析中x、y均為隨機變量，回歸分析中只有y為隨機變量；?相關分析測定相關程度和方向，回歸分析用回歸模型進行預測和控制。相關分析和回歸分析之間既有聯系又有區別：?自變量x只有一個；?因變量Y與自變量x之間具有線性關系；?x是非隨機的，Y是隨機的；?誤差項，，即的分布與x無關；?不同的x對應的誤差項是相互獨立的。7?～),0(2?N??(2)一元線性回歸模型假設條件89假定()E?=0，有樣本一元線性回歸方程：

?yabx??

(2.1)回歸截距a表示在沒有自變量x的影響時，其它各種因素對因變量y的平均影響；回歸系數b表明自變量x每變動一個單位，因變量y平均變動b個單位。

b的符號反映了x影響y的性質，b的絕對值大小反映了x影響y的程度。叫做回歸估計值，是當x在在其研究范圍內取某一個值時，y值平均數的估計值。y?(3)一元線性回歸方程10?yabx??是理論模型，表明x與y變量之間的平均變動關系，而變量y的實際值應為：

i?()iiiiyabxy???????

其中，a、b的確定如下：

為獲得a、b的估計，需對自變量及與其對應的因變量進行n次獨立觀測。假設實測數據為：??iiyx,

ni?2,1?，

nnyyyyxxxx...,,,...,,,321321

(2.2)(4)回歸系數最小二乘法估計11要選擇ba,，使得ix直線上對應的值iibxay???與ix對應的實測值iy的誤差i?在某種意義下最小。

niyyiii,...,2,1,?????

顯然i?越小方程對數據擬合得越理想，但i?有正負之分，為避免正負抵消，可求????????niiniiiyy1212??的最小值。下面采用最小二乘法原則來估計ba,。

????????niiiniibxayQ1212)]([?

使達最小。

???????

.)(),(12取最小值?????niiibxaybaQ?aQ???????niiibxay1

)(2?0bQ???????niiiixbxay1)(2??0即只需函數根據

???????

)(1bxnanii???bxaxniinii)()(121??????

1??niiy???niiiyx1??????niiniiniixxxn1211不全相同，由于ix?2112-??????????niiniixxn????niixxn12)(?0方程組的系數行列式得方程組?,)())((121???????niiniiixxyyxxa?其中b????????????????????niniiininiiniiiixxnyxyxn1212111))((???????niiniixnbyn11?1?xby??,11??niixny.11??niiyn??后，的估計在得到baba?,?,，對于給定的xx?xyL

yyLxxLb?a?22111(),nniiiixxn????????niixx12)(??????niiyy12)(22111(),nniiiiyyn???????????niiiyyxx1))((,xxxyLL?.?)1(111bxnynniinii??????

這樣所得經驗回歸方程，由于參數的估計結果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量(OrdinaryLeastSquaresEstimators,OLSE)。

y?xba?????xby??回歸方程的基本性質：16回歸方程的另一種形式(中心化形式)：????2)?(yyQ性質1最小；0)?(???yy性質2；),(yx性質3回歸直線通過點。)(?xxbybxxbyy??????),(yx?例1某河流溶解氧濃度(以百萬分之一計)隨著流動時間而下降，現測得8組數據如表2.1。17

流動時間x(天)0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度y

0.280.290.290.180.170.180.10.12

表2.1河流中溶解氧濃度?由表2.1所示，首先根據表中提供的數據，畫出以流動時間為橫坐標，溶解氧濃度為縱坐標的散點圖(圖2-1)，從散點圖上可以很明顯的觀察出各個點都近似均勻的分布在一條直線的周圍，但是又不完全在一條直線上。18圖2-1溶解氧濃度隨時間變化曲線198119.2000iix???，811.6100iiy???

14.5000xxL