關于電磁場與電磁波第七章第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-1常用的導波裝置第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.1導行電磁波的一般分析分析導行電磁波，就是要得出導行電磁波沿軸向（縱向）的傳播規律以及電磁場在橫截面內的分布情況。通常有縱向分量法和赫茲矢量法兩種分析方法，這里僅采用縱向分量法。縱向分量法的思想是，將導行系統中的電磁場矢量分解為縱向分量和橫向分量，由亥姆霍茲方程得出縱向分量滿足的標量微分方程，求解該標量微分方程，得到縱向分量；再根據麥克斯韋方程組，找出橫向分量與縱向分量之間的關系，用縱向分量來表示橫向分量。第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.1.1導行電磁波的表達式

無源區域內，時諧電磁場滿足齊次亥姆霍茲方程：

（7-1-1a）

（7-1-1b）

在導行系統中，電磁波沿其軸向（縱向）傳播。建立廣義柱坐標系(u1,u2,z)。對于規則導行系統，電磁場在橫截面內的分布與縱向坐標z

無關，行波狀態下沿z方向傳播的導行電磁波可寫為（7-1-2a）

（7-1-2b）

第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

拉普拉斯算子可寫為

（7-1-3）

將式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得E(u1,u2)、H(u1,u2)滿足的方程為

（7-1-4a）（7-1-4b)）其中（7-1-5）

當kc

0

時，kc稱為本征值，由導行系統的邊界條件和傳輸模式決定。導行系統問題歸結為求解方程（7-1-4）。第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.1.2導波場縱向分量與橫向分量的微分方程將電磁場矢量表示為橫向分量和縱向分量之和，即

（7-1-6a）（7-1-6b）

將式(7-1-6)代入式(7-1-4)，可得到關于電場E(u1,u2)以及磁場H(u1,u2)橫向分量的矢量亥姆霍茲方程和縱向分量的標量亥姆霍茲方程，即

（7-1-7a）（7-1-7b）第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日

矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比較困難，因此通常并不直接求解ET

和HT，而是結合導行系統的邊界條件求解標量波動方程（7-1-7b）和（7-1-7d），得到縱向場分量后，再利用場的橫向分量與縱向分量之間的關系求得所有橫向分量。場的橫向分量與縱向分量之間的關系式可由麥克斯韋方程組導出。

（7-1-7c）（7-1-7d）第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.1.3導波場的橫向分量與縱向分量之間的關系式哈密頓算子也可表示為橫向分量與縱向分量之和，即（7-1-8）

將式（7-1-6）和（7-1-8）代入無源區域時諧場麥克斯韋方程組的兩個旋度方程，并注意到對于行波狀態下的導行波有可得

（7-1-9a）

（7-1-9b）

第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日（7-1-9c）

（7-1-9d）

由橫向方程(7-1-9a)

和(7-1-9c)可以求得ET

和HT

。用j乘以式(7-1-9a)

，對式(7-1-9c)作-ez運算，然后兩式相加，并利用矢量恒等式加以整理，可得（7-1-10）

可見，只要求得了導波場的縱向分量，由式（7-1-10）便可確定導波場的所有橫向分量。式（7-1-10）即為行波狀態下場的橫向分量與縱向分量之間的關系式，簡稱行波橫-縱關系式。第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日

在廣義柱坐標中，式（7-1-10）可寫為分量形式：（7-1-11a）（7-1-11b）

（7-1-11c）（7-1-11d）第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日，（7-1-12a）其中

（7-1-12b）式（7-1-11）還可以寫成便于記憶的矩陣形式：第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日

若電場和磁場在傳播方向上的分量Ez=0、Hz=0

，即電磁場各分量均在橫截面內，則此種傳輸波型稱為橫電磁波，簡稱TEM波或TEM模。對于TEM波，kc=0。

TEM波是雙導體結構傳輸系統（例如平行雙導線、同軸線）的主模。單導體結構的規則金屬波導中不能傳輸TEM波。7.2導行波波型的分類以及導行波的傳輸特性7.2.1導行波波型的分類導行波的波型是指能夠單獨存在于導行系統中的電磁波的場結構形式，也稱為傳輸模式。導行波波型大致分為三類。

1.TEM波第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.TE波和TM波若電場在電磁波傳播方向上的分量Ez=0

，即電場僅在橫截面內，則此種波型稱為橫電波，簡稱TE波或H波。若磁場在電磁波傳播方向上的分量Hz=0

，即磁場僅在橫截面內，則此種波型稱為橫磁波，簡稱TM波或E波。

TE波和TM波的kc0。常用的TE波和TM波傳輸系統是單導體結構的規則金屬波導，如矩形波導、圓柱形波導。

3.表面波所謂表面波是指電磁波沿傳輸線表面傳播的波型。表面波是TE波和TM波的混合模式。常用的表面波傳輸系統有介質波導和光纖等。第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.2.2導行波的傳輸特性1.截止波長與傳輸條件由導行電磁波的表達式（7-1-2）可知，導行波的傳輸狀態取決于傳播常數，而滿足關系：

（7-2-1）

對于無損耗的理想導行系統,是實數，

為工作波長，kc是由導行系統邊界條件和傳輸模式所決定的本征值，也是實數。令，c稱為截止波長。因此，隨著工作波長的不同，2的取值有三種可能，即2>0，2<0,2=0。（1）2>0

，即

>c，則=為實數，導波場表示為第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

這表明，導行系統中的電磁場沿傳輸方向（+z

軸）指數衰減，不是傳輸的波，故稱2>0時為截止狀態。(2)2<0，即

<c，則=j為虛數，導波場表示為

上式表明，導行系統中的電磁場是沿+z軸傳輸的等幅波，故稱2<0時為傳輸狀態。(3)2=0，即

=c，此時可見，導行系統中的電磁場不是傳輸波，稱為臨界截止狀態。第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日由上述可知，當

時為傳輸狀態，而故導行系統的傳輸條件為時為截止狀態，

（7-2-5）2．相速、波導波長與群速無耗的傳輸狀態下，=j

，由式（7-2-1），有

（7-2-6）按相速的定義，可得導行波的相速表達式：

（7-2-7）第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日

導行系統中，沿軸向相位差為2的兩點之間的距離稱為波導波長，記為g。根據波導波長的定義，有

（7-2-8）根據群速的定義，并由

（7-2-9）可得導行波群速vg的表達式：（7-2-10）相速和群速滿足關系第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

由式(7-2-7)和(7-2-10)可見，對于

TE

波和TM

波，kc0，因而，其相速和群速都是頻率的函數，即TE波和TM波為色散波。對于TEM波，kc=0，則有，其相速和群速均與頻率無關，因此TEM波為非色散波。3．波阻抗

導行系統中，傳輸模式的橫向電場分量振幅與橫向磁場分量振幅之比稱為導行波的波阻抗，記為Zw，即

（7-2-12）第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日

對于TE波，Ez=0，注意到=j，由行波橫—縱關系式(7-1-11)，可得

（7-2-13）對于TM波，Hz=0，同理可得（7-2-14）

由波阻抗的定義和橫—縱關系式，可以得到，無論是TE

波還是TM

波，其電場橫向分量與磁場橫向分量之間存在如下關系：（7-2-15）第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日4．傳輸功率導行波的復坡印廷矢量為

（7-2-17）這里為導行系統的橫截面面積。對于

TEM波，有

（7-2-16）利用式(7-2-15)可得，沿導行系統+z方向傳輸的平均功率為第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.3矩形波導規則矩形波導（簡稱矩形波導）的橫截面為矩形，它是微波導行系統的主要形式。對于矩形波導，橫截面坐標采用直角坐標(x,y)，設矩形波導橫截面的寬邊尺寸為a，窄邊尺為b，如圖所示。

在單導體結構的波導中，只能存在TE波和TM波。下面具體分析矩形波導中的這兩種波型。第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.3.1矩形波導中的TE波行波狀態下，TE波滿足

（7-3-1）其中，Hz(x,y)滿足標量波動方程：（7-3-2）在直角坐標系中，上述方程可寫為

（7-3-3）應用分離變量法，令

將上式代入式（7-3-3），整理可得第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日當傳輸模式一定時，kc為常數。令（7-3-5）則有（7-3-6a）（7-3-6b）其中

（7-3-7）第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

式(7-3-6)是二階常系數齊次微分方程，其解為所以，方程（7-3-2）的解為：（7-3-8）式中A1,A2,

B1,

B2和kx,

ky為待定常數，由邊界條件、傳輸模式以及激勵源的強度來確定。

由理想導體表面電場切向分量為零的邊界條件，可得TE波電場在波導內壁上所滿足的邊界條件為第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

根據行波橫—縱關系式（7-1-11），可得即綜合上兩式，對于任何金屬波導，TE

波的邊界條件可概括為（7-3-10)將式（7-3-8）代入式（7-3-9），可得

（7-3-11）（7-3-9）第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日

將式（7-3-11）代入式（7-3-8），并令A1B1=Hnm，可得矩形波導中TE波的磁場縱向分量的基本解為

（7-3-12）其中，

Hnm的值由激勵源的強度決定；m,n稱為波型指數，分別表示場在橫截面內沿寬邊和沿窄邊的半駐波個數。m,n不同，其場的結構就不同，故不同的m,n代表不同的模式，稱為TEnm模或Hnm模。矩形波導中可以僅存在一種單獨模式，也可以同時存在多種模式。因此，所有m,n的組合也是方程（7-3-2）的解，于是，模縱向磁場分量的一般解為（7-3-13a）第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日

將Hnm

表達式以及Ez

=0代入行波橫—縱關系式(7-1-11)，可得到TEnm模的所有橫向電磁場分量：

（7-3-13）其中

（7-3-14）

式（7-3-13）是矩形波導中TEnm模的一般表達式。由此可見不能同時取零，即矩形波導中不存在TE00模，但可以存在TEm0模、TE0n模和TEnm(m,n0)模。

第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.3.2矩形波導中的TM波

行波狀態下，TM

波滿足（7-3-15）其中，Ez滿足標量波動方程：（7-3-16）解得（7-3-17）

由理想導體表面電場切向分量為零的邊界條件，TM波的邊界條件可概括為（7-3-18）第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日將式（7-3-17）代入式（7-3-19），可得（7-3-20）所以，TMmn模縱向電場分量的一般解為

將上式以及Hz=0代入行波橫-縱關系式（7-1-11），可得TMmn模的所有橫向電磁場分量：（7-3-21a）對于矩形波導，具體表示為

（7-3-19）第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日（7-3-21）式中，

為使場量不為零，式（7-3-21）中的波型指數m,n均不能取零，因此，不存在諸如TM00、TMm0和TM0n模。

第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日

由上述分析可知，矩形波導中能夠存在TEmn、TMmn無窮多種模式。但在實際系統中究竟哪些模式確實存在，以及這些模式的強度分布如何，則要由激勵源的頻率、激勵方式、波導橫截面尺寸和波導中填充的介質等具體因素來決定。7.3.3矩形波導的截止波長

矩形波導中，TEmn模和TMmn模的截止波數均為

（7-3-21）

（7-3-22）故截止波長為第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日

將上式代入式（7-2-6）～（7-2-10），可得各TEmn模和TEmn模的傳播常數、相速、群速、波導波長和波阻抗。

由導行系統的傳輸條件可知，當工作波長小于某TEmn模和TEmn模的截止波長c時，電磁波就能夠以此模式在導行系統中傳播，此模式稱為傳輸模。而當工作波長大于某模式的截止波長c時,該模式就不能在波導中傳輸，稱為截止模。截止波長最長的傳輸模式稱為波導的主模或最低次模，其它模式均為高次模。

在a>2b的矩形波導中，不同模式截止波長的分布情況如圖7-3-2所示。第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-3-2不同模式截止波長的分布

矩形波導的主模是TE10模。并且，對于相同的m和n，模的截止波長相同。這種不同模式具有相同截止波長的現象稱為簡并現象，這些模式稱為簡并模。對于矩形波導，當m,n分別相等時，TEmn和TEmn模是簡并的，也稱為E-H簡并。

第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日【例】規則金屬矩形波導BJ-100(a=22.86mm,b=10.16mm)，其中填充r=2.1的聚四氟乙烯。求截止波長較長的前五個模式的截止頻率。若工作頻率分別為9GHz和11GHz，問波導中可能存在哪些模式？解：由可得對于TE10

模對于TE20模對于TE01模對于TE11模和TM11模第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日故僅存在TE10

模。當工作頻率為9GHz時，工作波長=2.300cm，滿足或

當工作頻率為11GHz時，工作波長=1.882cm，此時滿足傳輸條件<c的有TE10、TE20和TE01模。所以，該情形下，波導中可以同時存在這三種模式。第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日TE10

模是矩形波導的主模，它是矩形波導中最常用的模式，其優點是場結構簡單、頻帶寬、損耗小、傳輸穩定，而且易于激勵和實現單模傳輸。

矩形波導的TE10模1.TE10模的場結構（7-3-23）場量的復數表達式第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日

瞬時表達式：

（7-3-24）

TE10模的電場只有Ey分量，磁場有Hz和Hx分量，它們均與y無關，即場的各分量沿y軸(波導窄邊)均勻分布。沿x軸(波導寬邊)，Ey和Hx呈正弦分布，Hz呈余弦分布，在x=0和x=a處，Ey和Hx均為零，Hz的幅值則最大；在x=a/2處，Ey和Hx

均為最大值，Hz為零。式中，10為Hz的初相位。第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

圖7-3-3軸的瞬時分布

和

沿

、

和

因此，Ey、Hx和Hz沿波導寬邊都是半個駐波分布。且Hx和Hz在xz平面內構成閉合回路。第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日模的瞬時場結構圖7-3-4第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.TE10模在波導內壁上引起的電流分布

理想導體表面面電流密度為Js=enH，將式（7-3-24）代入，可得TE10模在波導內壁上引起的面電流分布：（7-3-25）第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日TE10模瞬時壁電流分布如圖所示。壁電流分布的特點：兩窄壁上面電流分布具有對稱性，兩寬壁上面電流分布具有反對稱性。并且在x=a/2處，寬壁橫向電流為零，只存在縱向面電流。因此，在矩形波導寬壁中央開一縱向狹縫，不會切斷高頻電流，故不影響波導內電磁波的傳播。這樣的一條狹縫可用于波導內電磁場的測量。第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日3.TE10模的傳輸特性截止波長為因此，單模傳輸條件為當a>2b時，a<<2a

。相位常數與波導波長分別為第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日相速與群速分別為波阻抗為傳輸功率為第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.4圓柱形波導

規則圓柱形波導（簡稱圓波導）常用于毫米波的遠距離通信、精密衰減器、天線的雙極化饋線、微波諧振器等。

對于圓波導，橫截面坐標采用極坐標(,)。設圓波導的橫截面半徑為

a

，如圖所示。第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.4.1圓波導中的TE波在極坐標系中H(,)的標量波動方程為TE波滿足（7-4-1）（7-4-2）

應用分離變量法，令

（7-4-3）

將式（7-4-3）代入（7-4-2），整理可得

（7-4-4）第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日令

（7-4-5）

則有

（7-4-6）

方程（7-4-5）的解為或記為（7-4-7）

式（7-4-6）是貝塞爾方程，其解為

（7-4-8）

第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日Jm(x)和Nm(x)分別為第一類和第二類m階貝塞爾函數。圖7-4-2給出了幾條低階貝塞爾函數、紐曼函數和貝塞爾函數導數的曲線。

第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-4-2貝塞爾函數及其導數曲線第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日

（7-4-9）應用TE波的邊界條件表達式（7-3-10），有所以可得

（7-4-10）

由圖7-4-2(b)可知，當0時，Nm(kc)-。場量在=0處應為有限值，因此，式（7-4-8）中B2=0。可得Hz的基本表達式為第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日

（7-4-11a）表7-4-1第一類貝塞爾函數導數的根值表（）

為m(m=0,1,2,…)階貝塞爾函數導數的第n(n=1,2,…)個根.貝塞爾函數導數的根值如表7-4-1所示。

一組m,n對應于一種場結構，而各種場結構可同時存在于導行系統中。令C=Hmn，于是，圓波導中TEmn

模縱向磁場分量的一般表達式為第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日

再由行波橫-縱關系式（7-1-11），可得圓波導中TE波的所有橫向電磁場分量：（7-4-11b）

（7-4-11c）（7-4-11d）

（7-4-11e）第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日應用波的邊界條件7.4.2

圓波導中的波波滿足，，

（7-4-12）的方程為（7-4-13）與模同理，可得方程的基本解：（7-4-14）

（7-4-15）可得

（7-4-16）第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日TM

波的各個場分量為表7-4-2

第一類貝塞爾函數的根值表（）)

（7-4-17a）mn為m階貝塞爾函數的第n個根。貝塞爾函數的根值如表7-4-2所示。第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

（7-4-17b）（7-4-17c）（7-4-17d）

（7-4-17e）

在TE波和TM波中，m、n

不同，場的結構不同。m表示場沿圓周方向整駐波分布的個數，n表示是沿半徑方向最大值或零點的個數。第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.4.3圓波導的傳輸特性1．截止波長和單模傳輸條件TEmn模的截止波長為

（7-4-18）TMmn模的截止波長為

（7-4-19）

圓波導中的幾個不同模式的截止波長列于表7-4-3，其分布如圖7-4-3所示。第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日表7-4-3圓波導中不同模式的截止波長圖7-4-3圓波導中不同模式截止波長分布圖TE11是圓波導的主模，其單模傳輸條件為第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日2.簡并現象

圓波導中存在兩種簡并現象，一種是TEmn

模和TMmn模之間的簡并（E-H簡并），另一種是極化簡并。1）E-H簡并對于圓波導，由于,因此，故TE0n

模和TM1n

模為E-H簡并模。2）極化簡并對同一組m,n

值，只要m0，場量沿坐標就可能存在cos(m)和sin(m)兩種分布，兩者的場結構形式完全相同，只是極化面不同，它們相互垂直，這種簡并稱為極化簡并。利用圓波導的極化簡并可以設計極化分離器和極化衰減器等器件。第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

7.4.4圓波導中的常用模式圓波導中的常用模式有TE11

模、TM01

模和TE01三種模式。1.TE11模TE11模是圓波導中的主模，其截止波長c

=3.413a。TE11模的場結構如圖7-4-4所示。可見，其場結構與矩形波導中的TE10模相似，利用該特點可用方-圓波導變換器實現矩形波導TE10模到圓波導TE11模的激勵。

TE11

模存在極化簡并現象。由于圓波導加工中可能出現細微的不均勻性，傳輸過程中TE11

模場的極化面會發生旋轉。因此，盡管TE11

模是圓波導中的主模，但它不宜作為傳輸模式。第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-4-4圓波導中TE11

模的場結構第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日2．TM01模TM01模是圓波導中E波的最低次模，也是圓波導中的第一個高次模。截止波長c=2.613a。因為m=0，所以TM01模無極化簡并現象，且為軸對稱或圓對稱模。M01模只有H

、E和Ez三個場分量，場結構如圖7-4-5所示。由于模的場結構特點及軸對稱性，該模常用于雷達天線饋電系統的旋轉鉸鏈中。圓波導中TM01模引起的壁電流分布為

（7-4-21）TM01模的壁電流分布只有z分量。對于傳輸該模式的圓波導，可以沿波導縱向開窄槽，插入金屬探針作為測量線使用。第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-4-5圓波導中模的場結構第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日模是圓波導的高次模，其截止波長為，3．

模該模式也是一種無極化簡并現象的軸對稱模式。

模只有和三個場分量，且圖7-4-6所示。構成閉合回路，場結構如圓波導中，模引起的壁電流分布為（7-4-22）可見，模的壁電流分布只有分量。該特點使得模在高頻下的損耗最小，故常被作為毫米波遠距離傳輸模式。第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日圖7-4-6圓波導中模的場結構第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日7.5波導的損耗

實際上波導壁是非理想導體，其電導率值有限，導行系統中所填充的介質是非理想介質，所以電磁波在導行系統中傳輸時有一定的導體損耗和介質損耗。有損耗的波導中，電磁波的傳播常數是復數=+j，其中為衰減常數。7.5.1波導壁損耗

由于存在損耗，電磁波在傳播過程中，其電磁場量的幅度按e-z衰減，傳輸功率按e-2z衰減。因此，z處的傳輸功率為

（7-5-1）其中,P0

為

z=0

處的傳輸功率。若僅考慮波導壁的損耗，=c。

第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日單位長度上的損耗功率為

（7-5-2）所以

（7-5-3）由電磁場理論（7-5-4）（7-5-5）

其中，是波導的橫截面面積，微分面元矢量d的方向為+z

方向。是單位長度的波導壁表面面積微分面元矢量d的方向為波導壁內表面的法線方向en。Es和Hs是波導壁內表面上的電磁場量。

第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日

假定波導壁的電導率不影響波導中電磁場的分布，也