《邏輯學基礎教程》（第四版）南開大學出版社第四章判斷與演繹推理（二）第四章判斷與演繹推理（二）

在上一章中，我們介紹了簡單判斷及其推理。本章講解復合判斷和基于復合判斷的演繹推理。所謂復合判斷，是指由邏輯聯結詞聯結若干個判斷所組成的判斷。例①李先生是教師，并且是科學家。例②開會通知或者發電子郵件，或者打電話。例③如果氣溫降到零度以下，那么水會結冰。以上三例都屬于復合判斷。復合判斷通常由支判斷和邏輯聯結詞組成。

支判斷，是包含在復合判斷中的判斷，如例①中的“李先生是教師”和“李先生是科學家”就是該復合判斷的兩個支判斷。在復合判斷形式中，支判斷一般用小寫字母p，q，r，s；或由它們加下標p1，q1，r1，s1等變項符號分別表示。復合判斷中的支判斷，既可以是簡單判斷，也可以是復合判斷。邏輯聯結詞，簡稱“聯結詞”，是聯結支判斷并表明支判斷間邏輯關系的概念。如上述例子中的“并且”、“或者”、“如果，那么”等都是邏輯聯結詞。聯結詞代表著復合判斷的邏輯性質，它也是區分復合判斷不同類型的邏輯依據。在現代邏輯中，聯結詞用特定的符號表示，如“并且”可表示為“∧”，“或者”可表示為“∨”，“如果，那么”可表示為“→”等。

根據復合判斷所使用的聯結詞的不同，復合判斷可分為聯言判斷、選言判斷、假言判斷、負判斷等基本形式。由這些基本的復合判斷做為組成部分，再通過聯結詞的聯結，可組成形式更為復雜的多重復合判斷。

復合判斷的真值，即復合判斷的真假，取決于其中支判斷的真假及其真假組合。換句話說，支判斷的真假和真假組合情況決定著復合判斷的真假。因此，復合判斷的形式又稱為“真值形式”或“真值函項”。為了直觀表明支判斷真值對復合判斷真值的這種制約關系，我們將借用現代邏輯中的真值表方法。從各種復合判斷的邏輯性質出發，可做出各種有效的演繹推理，主要包括聯言推理、選言推理、假言推理、負判斷推理和多重復合判斷推理等形式。第一節聯言判斷及其推理一、聯言判斷及其結構㈠什么是聯言判斷聯言判斷是斷定幾種事物情況同時存在的復合判斷。例①魯迅是偉大的文學家，并且是偉大的思想家。例②倫理學是社會科學，而生物學屬于自然科學。以上例①既斷定了“魯迅是偉大的文學家”，同時又斷定了“魯迅是偉大的思想家”；例②既斷定了“倫理學是社會科學”，同時又斷定了“生物學屬于自然科學”。這兩個判斷都屬于聯言判斷。聯言判斷定義中的“幾種事物情況”，既可指同一斷定對象的幾種情況，如例①；也可指分屬不同斷定對象的幾種情況，如例②。㈡聯言判斷的結構

聯言判斷由聯言支和聯言聯結詞組成。

聯言支即聯言判斷中包含的支判斷。一個聯言判斷至少要由兩個或兩個以上的聯言支所組成。本節中，我們主要討論由兩個聯言支構成的聯言判斷及其推理。

聯言聯結詞是表示聯言支所斷定的事物情況之間具有同時并存關系的邏輯標志，它通常用“并且”來表示。日常語言中的“既…又…”、“不僅…而且…”、“雖然…但是…”、“…而且…”等關聯詞，也具有“并且”的邏輯含義，都可以用來表示聯言判斷。

聯言判斷的邏輯結構式為：

p并且q

在現代邏輯中，聯結詞“并且”用符號“∧”表示，“∧”表明支命題間的“合取”關系，稱作合取聯結詞。所以，聯言判斷的結構式又可寫為：p∧q二、聯言判斷的真值

聯言判斷是斷定幾種事物情況同時存在的判斷，因此，如果并且只有每一個聯言支斷定的事物情況都存在時，聯言判斷才是真的。也就是說，當且僅當聯言判斷的所有聯言支均取值為真時，則聯言判斷為真。反之，當有一個聯言支為假，或者所有聯言支為假時，聯言判斷就是假的。例如：“昨天下雨并且刮風”這個聯言判斷，在兩個聯言支所斷定的昨天“下雨”和“刮風”的情況確實存在，即兩個斷定均為真時，該聯言判斷才取值為真；而在其他情況下，如“下雨但沒刮風”、“沒下雨但刮風”和“沒下雨且沒刮風”等情況下，該聯言判斷都是假的。聯言判斷的上述真值情況可用下表表示：（在真值表中，真可用“T”或“1”，假可用“F”或“0”）

據真值表可知：當且僅當“p真、q真”時，聯言判斷“p并且q”為真；在其他三種p和q的真假組合下，聯言判斷“p并且q”均取值為假。pqp∧q111100010000三、聯言推理㈠聯言推理的定義和規則

聯言推理是以聯言判斷做前提或結論的推理。

根據前述聯言判斷的邏輯性質和真值，聯言推理有以下規則：⒈由肯定每一個聯言支，可推出肯定聯言判斷。⒉由肯定聯言判斷，可推出肯定其中的任一聯言支。⒊由否定一個聯言支，可推出否定包含該聯言支的整個聯言判斷。（二）聯言推理的有效式1．組合式聯言推理的組合式是根據聯言推理規則1，即由前提肯定每一個聯言支，推出結論肯定聯言判斷的聯言推理。例①中國是人口最多的國家；中國是發展中國家；所以，中國是人口最多的國家并且是發展中國家。組合式的一般邏輯形式為：

p；

q；所以，p并且q該形式可用符號公式表示為：

p；q；→（p∧q）（其中，“→”表示“推出”）2．分解式聯言推理的分解式是根據聯言推理規則2，即由前提肯定聯言判斷，推出結論肯定其中任一聯言支的聯言推理。例②計算機不僅要有硬件，而且要有軟件支持；所以，計算機要有軟件支持。組合式的一般邏輯形式為：

p并且q

所以，p（或：所以，q）該形式可用符號公式表示為：（p∧q）→p或者：（p∧q）→q（該公式表達的邏輯原理，可簡稱為“∧－”）3．否定否定式聯言推理的否定否定式是根據聯言推理規則3，即由前提否定一個聯言支，結論可推出否定包含該聯言支的整個聯言判斷。例③并非小王是運動員，所以，并非小王和小李都是運動員。否定否定式的一般邏輯形式為：并非p

所以，并非（p并且q）該形式可用符號公式表示為：┐p→┐（p∧q）或者：┐q→┐（p∧q）（其中，符號“┐”是邏輯否定符號，讀作“并非”，它對緊隨其后的命題變項或命題形式構成否定。）第二節選言判斷及其推理一、選言判斷及其種類㈠什么是選言判斷選言判斷是斷定事物若干種可能情況中至少有一種情況存在，或者只有一種情況存在的復合判斷。例①一部作品優秀，或者是思想內容深刻，或者是藝術形式精湛。例②所謂飛碟，要么是地球人施放的飛行器，要么是外星人的飛船，要么是大氣的自然現象。

選言判斷由選言支和選言聯結詞組成。選言支，是選言判斷中包含的支判斷，一個選言判斷至少要由兩個或兩個以上的選言支組成。選言聯結詞，是表示對選言支反映的若干種事物情況選擇性斷定的邏輯標志，通常用“或者”、“要么”來表示。㈡選言判斷的種類

根據選言判斷使用的聯結詞的不同，或者根據選言支斷定的事物情況是否可以同時存在，選言判斷可分為相容選言判斷和不相容選言判斷兩種類型。在選言判斷中，選言聯結詞是邏輯常項，不同的選言聯結詞可做為區分相容選言判斷和不相容選言判斷的邏輯標志。通常，聯結詞“或者”一般用于表示相容選言判斷；聯結詞“要么”一般用于表示不相容選言判斷。

二、相容選言判斷及其推理㈠相容選言判斷及其結構

相容選言判斷是斷定事物若干可能情況中至少有一種情況存在，并且可以同時存在的選言判斷。所謂“相容”主要指選言支斷定的事物情況可以同時并存，或者說選言支可以同時為真。如：

例①

液體沸騰的原因，或者是因為溫度升高，或者是因為壓力減小。

例②

降低生產成本的方法或者是節省開支，或者是提高效率。

相容選言判斷由相容選言聯結詞“或者”聯結兩個以上的選言支組成。日常語言中的“……或……”、“可能……可能……”、“也許……也許……”等關聯詞，也具有“或者”的邏輯含義，都可以用作表示相容選言判斷。

相容選言判斷的邏輯結構式為：

p或者q其中，聯結詞“或者”可用符號“∨”（讀作“相容析取”）表示。所以，相容選言判斷的結構式又可寫作：

p∨q㈡相容選言判斷的真值

相容選言判斷斷定事物若干可能情況中，至少有一種情況存在，并且可以同時存在。因此，當選言支中至少有一個取值為真（含選言支同時為真）時，相容選言判斷就是真的；反之，當所有選言支都取值為假時，相容選言判斷就是假的。例如：“小趙是大學生，或者是運動員”這個相容選言判斷，在兩個選言支斷定的李某“是大學生”和“是運動員”中至少有一種情況存在，或者說至少有一個選言支為真時，包括“是大學生，而不是運動員”、“不是大學生，而是運動員”和“既是大學生，又是運動員”等情況，該相容選言判斷都是真的；只有在兩個選言支均取值為假，即在小趙“既不是大學生，也不是運動員”的情況下，該相容選言判斷為假。相容選言判斷的真假情況，可用真值表表示如下：

由表中可知：選言支p和q有一個為真、或者同時為真，相容選言判斷“p或者q”為真；選言支p和q均為假，相容選言判斷“p或者q”取值為假。㈢相容選言推理1．相容選言推理的定義和規則相容選言推理是以相容選言判斷為前提，并依據相容選言判斷的邏輯性質進行的推理。根據前述相容選言判斷的邏輯性質，相容選言推理有以下規則：⑴由否定一個選言支，可推出肯定另一個選言支。⑵由肯定一個選言支，可推出肯定包含該選言支的整個選言判斷。⑶由肯定一個選言支，不能推出否定另一個選言支。2．相容選言推理的有效式⑴否定肯定式相容選言推理的否定肯定式是根據相容選言推理的規則⑴，即由前提否定一個選言支，推出結論肯定另一個選言支的選言推理。例①日光燈不亮，或因線路故障，或因日光燈損壞。經查，不是線路故障；所以，是因為日光燈損壞。否定肯定式的一般邏輯形式為：

p或者q；p或者q；非p；或：非q；所以，q所以，p該形式可用符號公式表示為：（p∨q）∧┐p→q或：（p∨q）∧┐q→p其中，推理的兩個前提“（p∨q）”和“┐p”，在邏輯上為合取關系，因此用符號“∧”來聯結（以下復合判斷推理公式與此同）。⑵肯定肯定式

相容選言推理的肯定肯定式，是根據相容選言推理的規則⑵，即由前提肯定一個選言支，推出結論肯定包含該選言支的整個選言判斷。例②小趙是大學生，所以，小趙是大學生，或者是運動員。肯定肯定式的一般邏輯形式為：

p；所以，p或者q

用符號公式可表示為：

p→p∨q（該公式表示的邏輯原理，通常簡稱為“∨＋”。）

根據相容選言推理規則⑶：由肯定一個選言支，不能推出否定另一個選言支，相容選言推理的肯定否定式為無效式。

例③

日光燈不亮，或因線路故障，或因日光燈損壞。經查，是線路故障；所以，不是因為日光燈損壞。例③所做的推理在前提為真的情況下，結論不必然為真，即有可能為假。所以，其推理形式無效。據此可知：凡是具有“（p∨q）∧p→┐q”

形式的相容選言推理都屬于形式無效的相容選言推理，即形式錯誤的推理。二、不相容選言判斷及其推理㈠不相容選言判斷及其結構

不相容選言判斷是斷定事物若干種可能情況中，有并且只有一種情況存在的選言判斷。所謂“不相容”主要指選言支斷定的情況不能同時并存，或者說選言支不可以同時為真。

例①在困難面前，要么戰勝困難，要么被困難所嚇倒。

例②這首古詩，要么是唐代的，要么是宋代的，二者必居其一。

以上兩個判斷都屬于不相容選言判斷。其選言支“戰勝困難”和“被困難所嚇倒”；“是唐代的”和“是宋代的”中，有一個并且只能有一個是真的。也就是說，選言支斷定的事物若干可能情況中，必須有一種存在，但不能同時存在。

不相容選言判斷由不相容選言聯結詞“要么”聯結兩個以上的選言支組成。日常語言中的“不是…就是…”、“或者…或者…二者必居其一”、“…或…二者不可兼得”等關聯詞，都具有“要么”的邏輯含義，也常用來表達不相容選言判斷。

不相容選言判斷的邏輯結構式為：

p要么q其中，聯結詞“要么”可用符號“”（讀作“不相容析取”）表示。所以，不相容選言判斷的結構式又可寫為：

pq

㈡不相容選言判斷的真值

不相容選言判斷斷定事物若干可能情況中，有并且只有一種情況存在。因此，當選言支中有并且只有一個選言支取值為真時，不相容選言判斷就是真的；否則，當選言支同時取值為真、或同時取值為假時，不相容選言判斷就是假的。例如：“某外國專家說的要么是德語，要么是法語”這個不相容選言判斷，當兩個選言支斷定的“是德語”和“是法語”中，有且只有一個選言支為真時，即在“是德語，但不是法語”或“是法語，但不是德語”的情況下，該選言判斷為真；而在兩個選言支同時取值為真或同時取值為假時，即在“是德語，又是法語”或“不是德語，也不是法語”的情況下，該選言判斷為假。不相容選言判斷的真假情況，可用真值表表示如下：據表可知：在選言支p和q有且只有一個為真時，不相容選言判斷“p要么q”為真；當選言支p和q均為真或均為假時，不相容選言判斷“p要么q”為假。

㈢不相容選言推理1．不相容選言推理的定義和規則不相容選言推理是以不相容選言判斷為前提，并根據不相容選言判斷的邏輯性質進行的推理。根據不相容選言判斷的邏輯性質，不相容選言推理有以下規則：⑴由肯定一個選言支，可推出否定其余的選言支。⑵由否定除一個以外的選言支，可推出肯定未否定的那個選言支。2．不相容選言推理的有效式⑴肯定否定式不相容選言推理的肯定否定式是根據規則⑴，即由前提肯定一個選言支，推出結論否定另一個選言支的選言推理。例①桌子上的球，要么是足球，要么是排球；它是足球；所以，它不是排球。肯定否定式的一般邏輯形式為：

p要么q；p要么q；

p；或：q；所以，非q所以，非p

該形式可用符號公式表示為：（pq）∧p→┐q或：（pq）∧q→┐p⑵否定肯定式

不相容選言推理的肯定否定式是根據規則⑵，即由前提否定一個選言支，推出結論肯定另一個選言支的選言推理。例②桌子上的球，要么是足球，要么是排球；它不是足球；所以，它是排球。肯定否定式的一般邏輯形式為：

p要么q；p要么q；非p；或：非q；所以，q所以，p該形式可用符號公式表示為：（pq）∧┐p→q或：（pq）∧┐q→p第三節

假言判斷及其推理一、假言判斷及其種類㈠什么是假言判斷

假言判斷是斷定一種事物情況存在與否，是另一種事物情況存在與否的條件的復合判斷。例如：

例①如果氣溫降到攝氏零度以下，那么水就會結冰。

例②只有年滿18歲的公民，才具有選舉權。例③當且僅當三角形是等邊三角形，則它是等角三角形。以上三個例子分別斷定了事物情況“氣溫降到攝氏零度以下”、“年滿18歲的公民”和“一個三角形是等邊三角形”的存在（或不存在），是事物情況“水就會結冰”、“具有選舉權”和“等角三角形”存在（或不存在）的條件，它們都屬于假言判斷。

假言判斷由假言支和假言聯結詞組成。

假言支，即假言判斷中包含的支判斷，一個假言判斷通常由兩個假言支組成，其中做為條件的判斷，稱為前件，用符號“p”表示；做為結果的判斷，稱為后件，用符號“q”表示。假言聯結詞，是聯結前件和后件并表明假言判斷所斷定的兩種事物情況之間條件關系的邏輯標志，邏輯學把“如果…那么…”、“只有…才…”和“當且僅當…則…”做為三種典型的假言聯結詞。㈡假言判斷的種類按照假言判斷使用的聯結詞的不同，假言判斷可分為充分條件假言判斷、必要條件假言判斷以及充分必要條件假言判斷。

在假言判斷形式中，假言聯結詞是邏輯常項，也是區分不同類型假言判斷的邏輯依據。其中，“如果…那么…”一般用來表示充分條件假言判斷；“只有…才…”一般用來表示必要條件假言判斷；“當且僅當…則…”一般用來表示充分必要條件假言判斷。二、充分條件假言判斷及其推理㈠充分條件假言判斷及其結構

充分條件假言判斷是斷定前件存在則后件一定存在的假言判斷。

例①如果患了闌尾炎，那么就會肚子疼。

例②如果物體摩擦，那么物體就會生熱。以上例①和例②就是兩個充分條件假言判斷。其中，例①斷定了“患了闌尾炎”是“肚子疼”的充分條件；例②斷定了“物體摩擦”是“物體生熱”的充分條件。如果我們在例①、②中，把“如果”引導的前件代之以變項符號“p”，把“那么”引導的后件代之以變項符號“q”，則充分條件假言判斷的前后件間的邏輯關系可分析為：有p，必有q；無p，q不定；有q，p不定；無q，必無p。前件“p”與后件“q”的這種邏輯關系，也就是邏輯學中所謂“充分條件”的含義。其中“有p必有q”，也就是說前件存在，后件一定存在，是邏輯“充分條件”的基本含義。在日常語言中，“只要…就…”、“若…則…”、“假如…就…”、“…則…”等關聯詞構成的句型，通常也表示充分條件假言判斷。我們選用“如果…那么…”做為充分條件假言判斷的典型聯結詞。充分條件假言判斷的邏輯結構式為：如果p，那么q其中，聯結詞“如果…那么…”可用符號“→”（讀作“蘊涵”）表示。所以，充分條件假言判斷的結構式又可寫作：p→q㈡充分條件假言判斷的真值

根據充分條件假言判斷的邏輯性質及其前后件之間的邏輯關系，可知，一個充分條件假言判斷當且僅當其前件為真并且后件為假時，則它是假的。因為其前后件之間的關系不符合“充分條件”，即“前件存在的情況下后件一定存在”的邏輯性質。反之，在前件與后件的其他真假組合下，充分條件假言判斷都是真的。例如：“如果患了闌尾炎，那么就會肚子疼”這一充分條件假言判斷，當其前件為真而后件為假時，即在“患了闌尾炎并且肚子不疼”的情況下，該判斷取值為假。而在其前后件為其他真假組合時，包括“患了闌尾炎并且肚子疼”、“沒患闌尾炎并且肚子疼”和“沒患闌尾炎并且肚子不疼”等情況下，該判斷都是真的。（參見下頁真值表）

據表中顯示，當前后件取值為p真、q假時，充分條件假言判斷“如果p那么q”為假；在前后件為其他真假組合下，充分條件假言判斷“如果p那么q”均取值為真。另外，在“如果p，那么q”取值為真時，正好對應前件p為假或者后件q為真的三種情況。也就是說，斷定一個充分條件假言判斷為真，就等于斷定其前件為假或者后件為真。這種關系可用等值式表示為：“如果p，那么q”等值于“非p或者q”

用符號公式可表示為：（p→q）←→（┐p∨q）（這是邏輯上“蘊涵”與“析取”的轉換律）

㈢充分條件假言推理1．充分條件假言推理定義和規則充分條件假言推理是以充分條件假言判斷為前提，并依據充分條件假言判斷的邏輯性質進行的推理。根據前述充分條件假言判斷的前后件之間的關系，充分條件假言推理有以下規則：⑴由肯定前件，可以推出肯定后件。⑵由否定后件，可以推出否定前件。⑶由否定前件，不能推出否定后件。⑷由肯定后件，不能推出肯定前件。

2．充分條件假言推理的有效式⑴肯定前件式充分條件假言推理的肯定前件式是根據上述規則⑴，即由前提肯定假言判斷的前件，推出結論肯定假言判斷的后件的假言推理。例①如果一個數可以被8整除，那么它就可以被2整除。

16可以被8整除，所以，16可以被2整除。肯定前件式的邏輯形式為：如果p，那么q；

p；所以，q

該形式可用符號公式表示為：（p→q）∧p→q（該公式表達的邏輯原理，可簡稱為“→－”或叫分離規則。）⑵否定后件式：

充分條件假言推理的否定后件式是根據上述規則⑵，即由前提否定假言判斷的后件，推出結論否定假言判斷的前件的假言推理。

例②

如果電視畫面清晰，那么閉路電視信號傳輸正常；閉路電視信號傳輸出現故障；所以，電視畫面不清晰。否定后件式的邏輯形式為：如果p，那么q；非q；所以，非p該形式可用符號公式表示為：（p→q）∧┐q→┐p三、必要條件假言判斷及其推理㈠必要條件假言判斷及其結構

必要條件假言判斷是斷定前件不存在則后件一定不存在的假言判斷。

例①只有參加了英語考試，才有英語成績。

例②只有車速達60公里以上，才能在高速公路上行駛。

以上兩例都是必要條件假言判斷。其中，例①斷定了“參加了英語考試”是“有英語成績”的必要條件；例②斷定了“車速60公里以上”是“在高速公路上行駛”的必要條件。如果我們將以上兩例中的前后件代之以變項符號“p”、“q”，則必要條件假言判斷的前后件之間的邏輯關系表現為：有p，q不定；無p，必無q；有q，必有p；無q，p不定。

前件“p”與后件“q”的這種邏輯關系，也就是邏輯學中所謂“必要條件”的含義。其中“無p，必無q”，也就是說前件不存在，后件一定不存在，是邏輯“必要條件”的基本含義。在日常語言中，“…才…”、“除非…不…”、“必須…才…”、“沒有…就沒有…”等關聯詞構成的句型，通常也表達必要條件假言判斷。我們選用“只有…才…”做為必要條件假言判斷的典型聯結詞。必要條件假言判斷的邏輯結構式為：只有p，才q其中，聯結詞“只有……才……”可用符號“←”（意為“反蘊涵”）表示。所以，必要條件假言判斷的結構式又可寫作：p←q㈡必要條件假言判斷的真值

根據必要條件假言判斷的邏輯性質及其前后件之間的邏輯關系，可知，一個必要條件假言判斷當且僅當其前件為假并且后件為真時，則它是假的。因為其前后件之間的關系不符合“必要條件”邏輯性質，即“前件不存在的情況下后件一定不存在”。反之，在前件與后件的其他真假組合下，必要條件假言判斷都是真的。例如：“只有努力學習，才能取得好成績”這一必要條件假言判斷，當其前件為假而后件為真時，即在有人“不努力學習也取得好成績”的情況下，該判斷取值為假。而在其前后件為其他真假組合時，包括“努力學習并且取得好成績”、“努力學習但沒取得好成績”和“沒努力學習也沒取得好成績”等情況下，該判斷都是真的。（參見下頁真值表）

據表中顯示，當前后件取值為p假、q真時，必要條件假言判斷“只有p才q”為假；在前后件為其他真假組合下，必要條件假言判斷“只有p才q”均取值為真。必要條件假言判斷和充分條件假言判斷之間存在一定轉換關系，即如果前件是后件的充分條件，則后件就是前件的必要條件；反之亦然。

（

p→q）←→（q←p）（p←q）←→（q→p）㈢必要條件假言推理1．必要條件假言推理的定義和規則必要條件假言推理是以必要條件假言判斷為前提，并依據必要條件假言判斷的邏輯性質進行的推理。根據前述必要條件假言判斷的前后件之間的關系，必要條件假言推理有以下規則：⑴由否定前件，可以推出否定后件。⑵由肯定后件，可以推出肯定前件。。⑶由肯定前件，不能推出肯定后件。⑷由否定后件，不能推出否定前件。2．必要條件假言推理的有效式⑴否定前件式必要條件假言推理的否定前件式是根據規則⑴，即由前提否定假言判斷的前件，推出結論否定假言判斷后件的假言推理。例①只有水分充足，莊稼才能長得好；今年莊稼缺水；所以，今年莊稼沒長好。肯定前件式的邏輯形式為：只有p，才q；非p；所以，非q

該形式可用符號公式表示為：（p←q）∧┐p→┐q⑵肯定后件式：

必要條件假言推理的肯定后件式是根據規則⑵，即由前提肯定假言判斷的后件，推出結論肯定假言判斷的前件的假言推理。

例②

只有保護好環境，經濟才能持續發展；經濟能夠持續發展；所以，環境保護得好。肯定后件式的邏輯形式為：只有p，才q；

q；所以，p該形式可用符號公式表示為：（p←q）∧q→p四、充分必要條件假言判斷及其推理㈠充分必要條件假言判斷及其結構

充分必要條件假言判斷是斷定前件存在則后件一定存在；前件不存在則后件一定不存在的假言判斷。

例①當且僅當一個三角形等邊，則它等角。

例②當且僅當一顆星是恒星，則它是發光的星。

以上例①、例②就是兩個充分必要條件假言判斷。如果我們在例①、②中，把聯結詞引導的前、后件分別代之以變項符號“p”、“q”，則充分必要條件假言判斷的前后件之間的邏輯關系表現為：有p，必有q；無p，必無q；有q，必有p；無q，必無p。

在日常語言中，充分必要條件假言判斷可以用“只要并且只有…就…”、“如果并且只有…則…”、“假如…就…，并且只有…才…”等關聯詞來表示。我們選用“當且僅當…則…”做為充分必要條件假言判斷的典型聯結詞。

充分必要條件假言判斷的邏輯結構式為：

當且僅當p，則q

其中，聯結詞“當且僅當…則…”可用符號“←→”表示。所以，充分條件假言判斷的結構式又可寫作：

p←→q

㈡充分必要條件假言判斷的真值根據充分必要條件假言判斷的邏輯性質及其前后件之間的邏輯關系，可知，一個充分必要條件假言判斷當且僅當其前件真并且后件假，或者其前件假而后件真時，它就是假的；反之，在前件與后件的邏輯值相等，即前件與后件同真，或者同假時，充分必要條件假言判斷都是真的。

㈢充分必要條件假言推理1．充分必要條件假言推理的定義和規則充分必要條件假言推理是以充分必要條件假言判斷做為前提，并依據充分必要條件假言判斷的邏輯性質進行的推理。根據前述充分必要條件假言判斷的前后件之間的關系，充分必要條件假言推理有以下規則：⑴由肯定前件，可以推出肯定后件。⑵由否定前件，可以推出否定后件。⑶由肯定后件，可以推出肯定前件。⑷由否定后件，可以推出否定前件。⒉充分必要條件假言推理的有效式（略）復合判斷推理主要有效式：⒈聯言推理組合式：p；q；→（p∧q）⒉聯言推理分解式：（p∧q）→p；q⒊聯言推理否定否定式：┐p→┐（p∧q）⒋相容選言推理否定肯定式：（p∨q）∧┐p→q⒌相容選言推理肯定肯定式：p→（p∨q）⒍不相容選言推理肯定否定式：（pq）∧p→┐q⒎不相容選言推理否定肯定式：（pq）∧┐p→q⒏充分條件假言推理肯定前件式：（p→q）∧p→q⒐充分條件假言推理否定后件式：（p→q）∧┐q→┐p⒑必要條件假言推理否定前件式：（p←q）∧┐p→┐q⒒必要條件假言推理肯定后件式：（p←q）∧q→p（充分必要條件假言推理有效式12-15，略。）第四節負判斷及其推理一、什么是負判斷㈠負判斷及其結構

負判斷是由否定某個判斷所構成的判斷。

例①并非一切違法行為都是犯罪行為。

例②并非只有上大學，才能成才。負判斷是一種復合判斷，它不同于直言判斷中的否定判斷，負判斷由支判斷和否定聯結詞組成。負判斷中的支判斷即被否定的那個判斷，又可稱“原判斷”，通常用“p”

代表（實際的負判斷表達式中，p應是被否定判斷的結構式）。負判斷的聯結詞為“并非”，通常用符號“┐”表示。負判斷的結構式為：并非p或寫作：┐p㈡負判斷的真值

由于負判斷是對其支判斷的否定判斷，因此，在真值上，負判斷的真假與其支判斷（即被否定判斷）的真假總是矛盾關系。即支判斷為真，負判斷為假；支判斷為假，負判斷為真。用真值表可表示為：二、負判斷及其等值判斷

根據直言判斷對當關系中的矛盾關系，每一種直言判斷均有與之相矛盾的判斷。如：A的矛盾判斷是O，I的矛盾判斷是E等。推而廣之，對于任何復合判斷而言，也都存在與之具有矛盾關系的判斷。例如：“小王是天津人，或者是北京人”的矛盾判斷為“小王既不是天津人，也不是北京人”。既然一個判斷與其負判斷在真值關系上為矛盾關系，而每一判斷又都存在著與之相矛盾的判斷，通過代換可知，一個判斷的負判斷和該判斷的矛盾判斷之間為邏輯等值關系。如：A判斷的負判斷為┐A，而A的矛盾判斷為O，所以，┐A和O具有等值關系，即有：┐A←→O。（此處“←→”表示等值。）以下我們分別介紹直言判斷的負判斷及其等值判斷和復合判斷的負判斷及其等值判斷。㈠直言判斷的負判斷及其等值判斷⒈全稱肯定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SAP←→SOP可簡寫作：┐A←→O⒉全稱否定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SEP←→SIP可簡寫作：┐E←→I⒊特稱肯定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SIP←→SEP可簡寫作：┐I←→E⒋特稱否定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SOP←→SAP可簡寫作：┐O←→A⒌單稱肯定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SaP←→SeP可簡寫作：┐a←→e⒍單稱否定判斷的負判斷及其等值判斷：┐SeP←→SaP可簡寫作：┐e←→a下面幾例就是上述部分公式的應用：例①“并非有些物體是絕對靜止的”（┐SIP），它等值于“所有物體都不是絕對靜止的”（SEP）。例②“并非所有非金屬都是不導電的”（┐SAP），它等值于“有些非金屬不是不導電的”（SOP）。例③“并非李白是醫生”（┐SaP），它等值于“李白不是醫生”（SeP）。

（以上例子中的“等值于”，通俗講相當于“就等于說”。）㈡復合判斷的負判斷及其等值判斷1．聯言判斷的負判斷及其等值判斷：┐（p∧q）←→（┐p∨┐q）2．相容選言判斷的負判斷及其等值判斷：┐（p∨q）←→（┐p∧┐q）（1、2式合稱“德摩根律”）3．不相容選言判斷的負判斷及其等值判斷：┐（pq）←→（p∧q）∨（┐p∧┐q）4．充分條件假言判斷的負判斷及其等值判斷：┐（p→q）←→（p∧┐q）5．必要條件假言判斷的負判斷及其等值判斷：┐（p←q）←→（┐p∧q）6．充分必要條件假言判斷及其負判斷：┐（p←→q）←→（┐p∧q）∨（p∧┐q）7．負判斷的負判斷及其等值判斷：┐（┐p）←→p（7式又叫“雙重否定律”）以下為復合判斷負判斷及其等值判斷部分公式的應用：

例①“并非小陳是軍人并且是醫生”（┐（p∧q）），它等值于“小陳不是軍人或者不是醫生”（┐p∨┐q）。例②“并非這首詩是唐代或宋代的”

（┐（p∨q）），它等值于“它既不是唐代的，也不是宋代的”（┐p∧┐q）。例③“并非如果某人進入過犯罪現場，那么某人就是罪犯”，（┐（p→q）），它等值于“某人進入過犯罪現場，但他并不是罪犯”（p∧┐q）。例④“并非只有出國，才能成才”（┐（p←q）），它等值于“不出國，也能成才”（┐p∧q）。三、負判斷等值推理

負判斷等值推理是根據負判斷（包括性質判斷負判斷和復合判斷負判斷）與其等值判斷的等值關系進行的推理。負判斷等值推理是通過把等值判斷的等值關系轉換為推理的前提和結論的關系進行的推理。一般地說，等值式兩邊的判斷可以互推。如：據：①SAP←→┐SOP有：②SAP→┐SOP；③┐SOP→SAP。第五節其他常用的復合判斷推理一、假言連鎖推理（一）什么是假言連鎖推理假言連鎖推理是以兩個以上的假言判斷為前提，根據假言判斷的邏輯性質和假言推理的規則進行的推理。假言判斷中的邏輯聯結詞“如果，那么”（→）、“只有，才”（←）等，從表示前件和后件的邏輯關系角度看，都屬于傳遞關系。例如，根據充分條件關系，從“如果p，那么q；如果q，那么r”；合取可得到“如果p，那么r”，其他假言判斷也是如此。基于假言判斷聯結詞的傳遞關系，又根據假言推理的相關規則，以兩個或兩個以上的假言判斷為前提，可進行假言連鎖推理。這里，只介紹假言連鎖推理的基本形式（二）假言連鎖推理的基本形式1．充分條件假言連鎖推理的肯定前件式充分條件假言連鎖推理的肯定前件式，是以兩個或兩個以上的充分條件假言判斷為前提，由肯定第一個充分條件假言判斷的前件，而肯定最后一個充分條件假言判斷后件的推理。例①要取得好成績，就必須努力學習；要努力學習，就要有充足的學習時間；要有充足的學習時間，就不能過多地娛樂消遣；所以，要取得好成績，就不能過多地娛樂消遣。例①就是一個肯定前件式的充分條件假言連鎖推理。其形式結構為：如果p，那么q；如果q，那么r；如果r，那么s；所以，如果p，那么s。用符號公式可表示為：（（p→q）∧（q→r）∧（r→s））→（p→s）2．充分條件假言連鎖推理的否定后件式

充分條件假言連鎖推理的否定后件式，是以兩個或兩個以上的充分條件假言判斷為前提，由否定最后一個充分條件假言判斷的后件，而否定第一個充分條件假言判斷前件的推理。

例②要盡快使國家富強，就要保持經濟增長；要保持經濟增長，就要堅持競爭機制；要堅持競爭機制，就要打破分配上的平均主義；所以，不打破分配上的平均主義，就不能盡快使國家富強。例②就是一個否定后件式的充分條件假言連鎖推理。其形式結構為：

如果p，那么q；如果q，那么r；如果r，那么s；所以，如果非s，那么非p可用符號公式表示為：（（p→q）∧（q→r）∧（r→s））→（┐s→┐p）3．必要條件假言連鎖推理的否定前件式

必要條件假言連鎖推理的否定前件式，是以兩個或兩個以上的必要條件假言判斷為前提，由否定第一個必要條件假言判斷的前件，而否定最后一個必要條件假言判斷前件的推理。

例③只有報名，才有資格參加預賽；只有通過預賽，才能參加復賽；只有通過復賽，才能進入決賽；所以，如果小王沒有報名，那么他不可能進入決賽。

例③就是一個否定前件式的必要條件假言連鎖推理。其結構式為：

只有p，才q；只有q，才r；只有r，才s；所以，如果非p，那么非s。用符號公式可表示為：（（p←q）∧（q←r）∧（r←s））→（┐p→┐s）2．必要條件假言連鎖推理的肯定后件式

必要條件假言連鎖推理的肯定后件式，是以兩個或兩個以上的必要條件假言判斷為前提，由肯定最后一個必要條件假言判斷的后件，而肯定第一個必要條件假言判斷前件的推理。

例④只有有效治理污染，才能保護環境；只有保護環境，才能維持生態平衡；只有維持生態平衡，社會才能持續發展；所以，如果社會能夠持續發展，那就說明有效治理了污染。例④就是一個必要條件假言連鎖推理的肯定后件式，其結構式為：

只有p，才q；只有q，才r；只有r，才s；所以，如果s，那么p。用符號公式可表示為：（（p←q）∧（q←r）∧（r←s））→（s→p）二、假言選言推理（一）什么是假言選言推理

假言選言推理是以兩個充分條件假言判斷和一個選言判斷為前提，并根據充分條件假言判斷和選言判斷的邏輯性質進行的推理。假言選言推理的結論有時會使推論者陷入進退維谷、左右為難的境地，故它又稱“二難推理”。例①

如果武松打老虎，老虎要吃掉他；

如果武松不打老虎，老虎也要吃掉他；

武松或者打或者不打老虎；總之，老虎都要吃掉他。

（二）假言選言推理的主要形式1．簡單構成式假言選言推理的簡單構成式，是選言前提肯定兩個假言前提不同的前件，結論肯定假言前提共有的后件的推理。例②如果某人是故意犯罪，那么應追究他的法律責任；如果某人是過失犯罪，那么也應追究他的法律責任；某人犯罪或是故意的，或是過失的；所以，都應追究他的法律責任。例②就是一個簡單構成式的二難推理，其結構式為：