平面的投影第一節平面上的點和直線第二節直線、平面與平面的相對位置第三節第2章平面1/11/20231東華大學機械工程學院2.1平面的投影a'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abca'b'c'abc1.用幾何元素表示平面1/11/20232東華大學機械工程學院2.平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ1/11/20233東華大學機械工程學院平面相對投影面的位置平面//P平面P反映實形實形性積聚成直線積聚性P平面∠P類似形類似性1/11/20234東華大學機械工程學院平面在三投影面體系中的投影特性一般位置平面投影面垂直面投影面平行面H面：鉛垂面V面：正垂面W面：側垂面∥H面：水平面∥V面：正平面∥W面：側平面特殊位置平面（垂直于一個投影面且同時傾斜于另兩個投影面）（同時傾斜于三個投影面）（平行于一個投影面）1/11/20235東華大學機械工程學院投影面垂直面積聚性投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚成直線，且反映平面與投影面的傾角另二投影為類似形類似形a'b'c'c"b"a"acb類似形1/11/20236東華大學機械工程學院投影面平行面投影特性在所平行的投影面上的投影反映實形另二投影分別平行于相應的投影軸平行OX軸平行OY軸abca'b'c'c"a"b"反映實形1/11/20237東華大學機械工程學院一般位置平面投影特性在H、V、W面上的投影皆為空間平面圖形的類似形a'b'c'b"a"c"abc1/11/20238東華大學機械工程學院點在平面上的幾何條件是：點在平面內的某一直線上。

1.平面上取點和直線2.2平面上的點、直線直線在平面上的幾何條件是：①通過平面上的兩點；②通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。1/11/20239東華大學機械工程學院例2-1已知點E在

ABC上，試求點E的正面投影。ee'1/11/202310東華大學機械工程學院例2-2點K在平面內,已知k'，求k。1'1k1'1ka'c'cabk'b'a'c'cabk'b'方法一方法二1/11/202311東華大學機械工程學院例2-3

已知AC為正平線，完成四邊形的水平投影。cda'b'c'd'ab1/11/202312東華大學機械工程學院2.平面上的最大斜度線1.平面上的最大斜度線—平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2.平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂直。3.平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正立投影面、水平投影面及側立投影面三組最大斜度線。（1）平面上對水平投影面的最大斜度線（2）平面上對正面投影面的最大斜度線（3）平面上對側面投影面的最大斜度線1/11/202313東華大學機械工程學院ABP,KLPAB//HKLABKL為平面內對H面的最大斜度線。屬于定平面并垂直于該平面的投影面平行線的直線稱為最大斜度線。最大斜度線對投影面的角度最大。最大斜度線的幾何意義：測定平面對投影面的角度。HABKklLP1ab1/11/202314東華大學機械工程學院HABKklLP1ab投影特性kl

ab(直角投影定理）KL與H面的傾角即為平面P與

H面的傾角KL是平面內對H面傾角最大的直線1/11/202315東華大學機械工程學院

例題2-4

求作

ABC平面上對水平面的最大斜度線BE

。bd'de'e1/11/202316東華大學機械工程學院

例題2-5

求

ABC平面與水平投影面的夾角。be

BEb1/11/202317東華大學機械工程學院例題2-6

已知直線EF為某平面對H面的最大斜度線，試作出該平面。aa給題1/11/202318東華大學機械工程學院2.3直線、平面與平面的相對位置

一、平行問題

1、直線與平面平行幾何條件若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題的依據。有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。

2、平面與平面平行幾何條件若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據。兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。1/11/202319東華大學機械工程學院例題2-7

試判斷直線AB是否平行于定平面

fgfg結論：直線AB不平行于定平面1/11/202320東華大學機械工程學院例題2-8

試過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面

baaffb1/11/202321東華大學機械工程學院例題2-9

試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行1/11/202322東華大學機械工程學院例題2-10

已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk1/11/202323東華大學機械工程學院二、相交問題

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩平面的共有線。

求線面交點、面面交線的實質是求共有點、共有線的投影1/11/202324東華大學機械工程學院直線與平面相交直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKA1/11/202325東華大學機械工程學院M平面與平面相交兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL1/11/202326東華大學機械工程學院bbaaccmmnn（1）直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk1/11/202327東華大學機械工程學院判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn

特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。

1/11/202328東華大學機械工程學院()

例題2-12求鉛垂線EF與一般位置平面△ABC的交點并判別其可見性。

k21k'2'1'1/11/202329東華大學機械工程學院（2）一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf1/11/202330東華大學機械工程學院判斷平面的可見性1/11/202331東華大學機械工程學院

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。（4）兩一般位置平面相交llnmmnPVQV1221kkee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。1/11/202332東華大學機械工程學院兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL1/11/202333東華大學機械工程學院利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3421()121/11/202334東華大學機械工程學院例題2-13

試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。1/11/202335東華大學機械工程學院分析

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH1/11/202336東華大學機械工程學院作圖mnhhnmPV11221．過點K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點H。3．連接KH，KH即為所求。1/11/202337東華大學機械工程學院直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。

三、垂直問題1/11/202338東華大學機械工程學院定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。1/11/202339東華大學機械工程學院h例題2-15

試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）1/11/202340東華大學機械工程學院

兩平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD1/11/202341東華大學機械工程學院g

例題2-17

平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg1/11/202342東華大學機械工程學院例題2-18

試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。1/11/202343東華大學機械工程學院例題2-19