寒假課程·高二數學第六講橢圓的標準方程及幾何性質【考點一：橢圓的定義與標準方程】1.橢圓定義平面內與兩個定點的距離之和為常數的動點的軌跡叫橢圓，其中兩個定點叫橢圓的焦點.當時，的軌跡為橢圓；當時，的軌跡不存在；當時，的軌跡為以為端點的線段.2.橢圓的標準方程i.中心在原點，焦點在x軸上：.ii.中心在原點，焦點在軸上：.3.點與橢圓的位置關系當時，點在橢圓外；當時，點在橢圓內；當時，點在橢圓上.4.求橢圓的標準方程的方法定義法、待定系數法，有時還可根據條件用代入法.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟是：（1）作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上.（2）設方程：根據上述判斷設方程.（3）找關系：根據已知條件，建立關于的方程組.（4）解方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.5.焦點位置的判斷由，分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上.例如橢圓，當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓.【例1】如果方程表示焦點在y軸的橢圓，那么實數k的取值范圍是____________.【解析】橢圓方程化為+=1.因焦點在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，∴0<k<1.【課堂練習】已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值.【解析】方程變形為，因為焦點在軸上，所以，解得.又，所以，適合.故.【例2】已知為橢圓上的一點，分別為圓和圓上的點，則的最小值為（）A.5B.7C.13D.15【答案】B【解析】兩圓心C、D恰為橢圓的焦點，，故的最小值為10-1-2=7.【課堂練習】2.橢圓+y2=1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則||等于___________.A.B.C.D.4【解析】設橢圓的右焦點為F1，左焦點為F2，過F1垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限的交點為P.∵+y2=1，∴a=2，b=1，c=.∴F1（，0）.設P（，yP）代入+y2=1，得yP=，∴P（，），|PF1|=.又∵|PF2|+|PF1|=2a=4，∴|PF2|=4－|PF1|=4－=.3.如圖，把橢圓的長軸分成8等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_____.【解析】由橢圓的對稱性知：.【考點二：橢圓的幾何性質】標準方程性質參數關系焦點焦距范圍頂點對稱性關于x軸、y軸和原點對稱離心率【例3】已知m，n，m+n成等差數列m，n，mn成等比數列，則橢圓的離心率為__________.【解析】，橢圓的離心率為【課堂練習】4.在中，.若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率___________.【解析】，，【例4】已知橢圓的左、右焦點分別，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為.【解析】因為在中，由正弦定理得則由已知得，即由橢圓的定義知，由橢圓的幾何性質知，則，即，所以解得，故橢圓的離心率【例5】已知實數滿足，求的最大值與最小值【解析】由得，，當時，取得最小值，當時，取得最大值6.【課堂練習】5.是橢圓上一點，是橢圓的兩個焦點，求的最大值與最小值.【解析】當時，取得最大值，當時，取得最小值6.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為（）A.2 B.3 C.6 D.8【答案】C【解析】由題意，F（-1，0），設點P，則有，解得，因為，，所以==，此二次函數對應的拋物線的對稱軸為，因為，所以當時，取得最大值，選C.【考點三：焦點三角形】1.焦點三角形：橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理.解題中通過變形，使之出現或的結構，這樣就可以應用橢圓或雙曲線的定義，從而可得到有關，的關系式.設橢圓上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點面積為，①，焦點三角形的周長為，橢圓上一點到焦點的最短距離為，最長距離為.②當即為短軸端點時，最大；③，當即為短軸端點時，的最大值為bc；【例6】已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則=____________.【答案】3【解析】方法一：依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.方法二：顯然，=9，∴b＝3.【課堂練習】7.橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則；的大小為.【解析】∵，∴，∴，又，∴，又由余弦定理，得，∴.8.過橢圓（）的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【解析】因為，再由有從而可得，故選B【例7】已知橢圓的焦點是，Ｐ為橢圓上一點，且是和的等差中項.（1）求橢圓的方程；（2）若點P在第三象限，且∠＝120°，求.【解析】（1）由題設｜｜＋｜｜＝２｜｜＝4，∴，2c=2，∴ｂ＝，∴橢圓的方程為.（2）設∠，則∠＝60°－θ.由正弦定理得：由等比定理得：，.整理得，，故，.【課后練習】基礎訓練（A類）1設定點F1（0，－3）、F2（0，3），動點P滿足條件，則點P的軌跡是（）A.橢圓 B.線段C.不存在 D.橢圓或線段2.橢圓的焦點，AB是過的弦，則的周長（）A.10B.12C.16D.203.已知橢圓E的短軸長為6，焦點F到長軸的一個端點的距離等于9，則橢圓E的離心率等于（）A. B C. D.4.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于（）A. B. C. D.5.橢圓的焦點在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（）A.B.C.2D.46.已知橢圓的離心率，則的值為 （）A.3 B.3或eq\f(25,3)C.eq\r(15) D.eq\r(15)或eq\f(5\r(15),3)7.如圖所示，橢圓中心在原點，是左焦點，直線與交于D，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.8.橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為（）A.4B.2C.8D.【參考答案】1.【答案】A【解析】，等號取不到，所以是橢圓.2.【答案】D【解析】的周長為3.【答案】B【解析】4.【答案】D【解析】5.【答案】A【解析】6.【答案】B【解析】若焦點在x軸上，則有，若焦點在y軸上，則有，7.【答案】B【解析】8.【答案】A【解析】設橢圓的另一個焦點為，由橢圓的定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A.提高訓練（B類）1.短軸長為，離心率的橢圓兩焦點為，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為（） A.3 B.6 C.12 D.242.設為橢圓的兩焦點，P在橢圓上，當面積為1時，的值為（）A.0B.1C.2D.33.已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點.若，則橢圓的離心率是（）A.B.C.D.4.橢圓的焦點坐標為______________，離心率為______________.[5.在中，若以為焦點的橢圓經過點，則該橢圓的離心率_____.6.橢圓對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點構成一個正三角形，焦點到橢圓上的點的最短距離是，則這個橢圓方程為_________7.橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程.8.已知橢圓的中心在原點，且經過點，，求橢圓的標準方程.【參考答案】1.【答案】C【解析】長半軸a=3，△ABF2的周長為4a=12.2.【答案】A【解析】，P的縱坐標為，從而P的坐標為，3.【答案】D【解析】對于橢圓，因為，則4.【答案】，【解析】將橢圓方程化為標準方程，得∴焦點坐標為，5.【答案】【解析】設，，則，故.6.【答案】或，【解析】，所求方程為或7.【解析】（1）當為長軸端點時，，，橢圓的標準方程為：；（2）當為短軸端點時，，，橢圓的標準方程為：；8.【解析】當焦點在軸上時，設其方程為.由橢圓過點，知.又，代入得，，故橢圓的方程為.當焦點在軸上時，設其方程為.由橢圓過點，知.又，聯立解得，，故橢圓的方程為.綜合遷移（C類）1.設是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且，則的面積為（）A.4B.6C.D.2.已知點A是橢圓上一點，F為橢圓的一個焦點，且AF⊥x軸，|AF|＝焦距，則橢圓的離心率是 （）A.eq\f(1＋\r(5),2) B.eq\r(3)－1C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)－eq\f(1,2)3.已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為.4.已知橢圓的兩焦點為，點滿足，則||+|的取值范圍為_______，直線與橢圓C的公共點個數_____.5.設橢圓的中心在原點，坐標軸為對稱軸，一個焦點與短軸兩端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸上較近的端點距離為，求此橢圓方程.的邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡.7.在直角坐標系xOy中，設橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a＞b＞0）的左右兩個焦點分別為F1、F2，過右焦點F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個交點為M（eq\r(2)，1）.（1）求橢圓C的方程；（2）若橢圓C的一個頂點為B（0，－b），直線BF2交橢圓C于另一點N，求△F1BN的面積.[來8.在面積為1的中，，，建立適當的坐標系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程.【參考答案】1.【答案】B2.【答案】C【解析】設左焦點為M，|AF|＝2c，|AM|＝2a－2c，|MF|＝2c，∴ΔMAF是等腰直角三角形，2a－2c＝eq\r(2)×2c，∴eq\f(c,a)＝eq\r(2)－1.3.【答案】【解析】設橢圓方程為，設，F分BD所成的比為2，，代入，4.【答案】，0【解析】依題意知，點P在橢圓內部.畫出圖形，由數形結合可得，當P在原點處時，當P在橢圓頂點處時，為，故范圍為.因為在橢圓的內部，則直線上的點均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點，故交點數為0個.5.【解析】設橢圓的方程為或，由題，得，解之得：，b=c＝4.則所求的橢圓的方程為或.6.【解析】（1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系.設點坐標為，由知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點.因，，有，故其方程為.（2）設，，則.①由題意有代入①，得軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除軸上兩點）.7.【解析】（1）∵l⊥x軸，∴F2的坐標為（eq\r(2)，0）.由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,a2)＋\f(1,b2)＝1，,a2－b2＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝2.))∴所求