專題37解直角三角形聚焦考點(diǎn)☆溫習(xí)理解一、銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：sinA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)＝eq\f(a,c)余弦：cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq\f(b,c)余切：tanA＝eq\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)＝eq\f(a,b)二、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形解直角三角形的常用關(guān)系在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么：(1)三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊與角關(guān)系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；(4)sin2A＋cos2四、解直角三角形的應(yīng)用常用知識(shí)1.仰角和俯角：仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i＝________坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角名師點(diǎn)睛☆典例分類考點(diǎn)典例一、銳角三角函數(shù)的定義【例1】如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D．假設(shè)⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，那么tan∠APB的值是〔〕A． B．C．D．【答案】B.在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽R(shí)t△OAF．∴，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2-PB2=FB2∴〔PA+AF〕2-PB2=FB2∴〔r+BF〕2-〔r〕2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB=，應(yīng)選：B．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形及三角函數(shù)的定義，解決此題的關(guān)鍵是切線與相似三角形相結(jié)合，找準(zhǔn)線段及角的關(guān)系．【舉一反三】〔2022山東淄博第9題〕如圖是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，P，Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB，PQ相交于點(diǎn)M，那么圖中∠QMB的正切值是〔〕 B．1 C． D．2【答案】D.考點(diǎn)：相似三角形的判定及性質(zhì)；勾股定理．考點(diǎn)典例二、銳角三角函數(shù)的計(jì)算【例2】〔涼山州〕在△ABC中，假設(shè)|cosA-|+〔1-tanB〕2=0，那么∠C的度數(shù)是〔〕A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；三角形內(nèi)角和定理．【點(diǎn)睛】利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算，往往與絕對(duì)值、乘方、開方、二次根式相結(jié)合．此題考查了特殊角的三角形函數(shù)值及絕對(duì)值、偶次方的非負(fù)性，屬于根底題，關(guān)鍵是熟記一些特殊角的三角形函數(shù)值，也要注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理．【舉一反三】〔2022湖南永州第11題〕以下式子錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕A．cos40°=sin50°B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1D．sin60°=2sin30°【答案】D．【解析】試題分析：選項(xiàng)A，sin40°=sin〔90°﹣50°〕=cos50°，式子正確；選項(xiàng)Btan15°?tan75°=tan15°?cot15°=1，式子正確；選項(xiàng)C，sin225°+cos225°=1正確；選項(xiàng)D，sin60°=，sin30°=，那么sin60°=2sin30°錯(cuò)誤．故答案選D．考點(diǎn)：互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系；同角三角函數(shù)的關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值．考點(diǎn)典例三、解直角三角形【例3】〔寧夏〕在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的長(zhǎng)．【答案】2+1．考點(diǎn)：解直角三角形；勾股定理．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的高的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADB與Rt△ADC，得出BD=2，DC=1是解題的關(guān)鍵．將三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形時(shí)，注意盡量不要破壞所給條件．【舉一反三】(2022湖北襄陽第9題)如圖，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，那么sinA的值為()【答案】B.考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)函數(shù)；三角形面積公式；勾股定理.考點(diǎn)典例四、解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用【例4】〔2022四川達(dá)州第21題〕如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長(zhǎng)為的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．以輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測(cè)得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．〔1〕假設(shè)輪船照此速度與航向航向，何時(shí)到達(dá)海岸線？〔2〕假設(shè)輪船不改變航向，該輪船能否停靠在碼頭？請(qǐng)說明理由．〔參考數(shù)據(jù)：≈，≈〕【答案】〔1〕輪船照此速度與航向航向，上午11：：00到達(dá)海岸線；〔2〕輪船不改變航向，輪船可以停靠在碼頭，理由詳見解析.【解析】試題分析：(1〕延長(zhǎng)AB交海岸線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥l于F，易證△ABC是直角三角形，再證明∠BAC=30°，再求出BD的長(zhǎng)即可解決問題．〔2〕在RT△BEC中，求出CD的長(zhǎng)度，和CN、CM比擬即可解決問題．試題解析：〔1〕延長(zhǎng)AB交海岸線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥l于F，如下圖．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是理解方位角角的定義，及勾股定理的表達(dá)式，要注意根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．【舉一反三】〔2022河南第19題〕〔9分〕如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處，測(cè)得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°，旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°.升旗時(shí)，國旗上端懸掛在距地面米處.假設(shè)國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端，那么國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？〔參考數(shù)據(jù)：sian37°=，cos37°=，tan37°=〕【答案】國旗應(yīng)以米/秒的速度勻速上升.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.課時(shí)作業(yè)☆能力提升1.〔2022遼寧沈陽第9題〕如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，那么BC的長(zhǎng)是〔〕B．4C．8D．4【答案】D.考點(diǎn)：解直角三角形.2.〔2022湖南懷化第10題〕在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，那么BC的長(zhǎng)度為〔〕A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm【答案】C．【解析】試題分析：sinA==，設(shè)BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+〔4x〕2=〔5x〕2，解得：x=2或x=﹣2〔舍〕，所以BC=4x=8cm，故答案選C．考點(diǎn)：解直角三角形．3.〔2022浙江寧波第16題〕如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1m，那么旗桿高BC為m〔結(jié)果保存根號(hào)〕【答案】10+1.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.4.〔2022江蘇蘇州第8題〕如圖，長(zhǎng)4m的樓梯AB的傾斜角∠ABD為60°，為了改善樓梯的平安性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角∠ACD為45°，那么調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為〔〕A．2EQ\R(,3)mB．2EQ\R(,6)mC．〔2EQ\R(,3)﹣2〕mD．〔2EQ\R(,6)﹣2〕m【答案】B.【解析】試題分析：在Rt△ABD中，∠D=90°，∵sin∠ABD=EQ\F(AD,AB)，∴AD=4sin60°=2EQ\R(,3)〔m〕，在Rt△ACD中，∠D=90°，∵sin∠ACD=EQ\F(AD,AC)，∴AC=〔m〕．應(yīng)選B.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.5.〔2022年福建龍巖第13題〕如圖，假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，那么sin∠1=．【答案】.考點(diǎn)：1三角函數(shù)；2坐標(biāo)與圖形性質(zhì).6.〔2022黑龍江大慶第16題〕一艘輪船在小島A的北偏東60°方向距小島80海里的B處，沿正西方向航行3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，那么該船行駛的速度為海里/小時(shí)．【答案】.【解析】試題分析：設(shè)該船行駛的速度為x海里/時(shí)，3小時(shí)后到達(dá)小島的北偏西45°的C處，由題意得：AB=80海里，BC=3x海里，在Rt△ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在Rt△AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+40=3x，解得：．即該船行駛的速度為海里/時(shí).考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.7.〔2022新疆第14題〕如圖，測(cè)量河寬AB〔假設(shè)河的兩岸平行〕，在C點(diǎn)測(cè)得∠ACB=30°，D點(diǎn)測(cè)得∠ADB=60°，又CD=60m，那么河寬AB為m〔結(jié)果保存根號(hào)〕．【答案】30EQ\R(,3).考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.8.〔2022湖南岳陽第14題〕如圖，一山坡的坡度為i=1：，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200米到達(dá)點(diǎn)B，那么小辰上升了米．【答案】100．【解析】試題分析：根據(jù)坡比的定義可得tan∠A=，即可得∠A=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得BC=AB=×200=100m．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.9.〔2022湖北黃石第22題〕〔本小題總分值8分〕如圖，為測(cè)量一座山峰的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為和兩段，每一段山坡近似是“直〞的，測(cè)得坡長(zhǎng)米，米，坡角，.〔1〕求段山坡的高度；〔2〕求山峰的高度.〔，結(jié)果精確到米〕【答案】(1)400;(2)541.考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.10.〔2022湖北鄂州第21題〕〔此題總分值9分〕為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度。一天，我兩艘海監(jiān)船剛好在我某島東西海岸線上的A、B兩處巡邏，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一艘不明國籍的船只停在C處海域。如下圖，AB＝60海里，在B處測(cè)得C在北偏東45o的方向上，A處測(cè)得C在北偏西30o的方向上，在海岸線AB上有一燈塔D，測(cè)得AD＝120海里。〔1〕〔4分〕分別求出A與C及B與C的距離AC，BC〔結(jié)果保存根號(hào)〕〔5分〕在燈塔D周圍100海里范圍內(nèi)有暗礁群，我在A處海監(jiān)船沿AC前往C處盤查，途中有無觸礁的危險(xiǎn)？〔參考數(shù)據(jù)：＝，＝，＝〕【答案】〔1〕AC=120海里，BC=120海里；〔2〕無觸礁危險(xiǎn).在△AFD中,DF=DA∴DF=×60(－)=60(3－)≈＞100所以無觸礁危險(xiǎn).考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.11.〔2022山東濟(jì)寧第18題〕某地的一座人行天橋如下圖，天橋高為6米，坡面BC的坡度為1：1，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為1：．〔1〕求新坡面的坡角a；〔2〕原天橋底部正前方8米處〔PB的長(zhǎng)〕的文化墻PM是否需要拆橋？請(qǐng)說明理由．【答案】〔1〕30°；〔2〕文化墻PM不需要撤除，理由詳見解析.∴文化墻PM不需要撤除．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.12.〔2022新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第19題〕如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)得校園里旗桿AB的高度，在操場(chǎng)的平地上選擇一點(diǎn)C，測(cè)得旗桿頂端A的仰角為30°，再向旗桿的方向前進(jìn)16米，到達(dá)點(diǎn)D處〔C、D、B三點(diǎn)在同一直線上〕，又測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45°，請(qǐng)計(jì)算旗桿AB的高度〔結(jié)果保存根號(hào)〕【答案】旗桿AB的高度是〔8+8〕米．考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用.13.〔2022湖南婁底第22題〕蕪湖長(zhǎng)江大橋是中國跨度最大的公路和鐵路兩用橋梁，大橋采用低塔斜拉橋橋型〔如甲圖〕，圖乙是從圖甲引申出的平面圖，假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是30°，拉索CD與水平橋面的夾角是60°，兩拉索頂端的距離BC為2米，兩拉索底端距離AD